浙教版九上数学第三章：圆的基本性质培优训练
选择题：
1.如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6cm，OC⊥AB于点C，则OC＝( )
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数是( )
A．40° B．50° C．60° D．100°
3.如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为( )
A．19 B．16 C．18 D．20
4.如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°21·cn·jy·com
5.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上弧AB=弧BC，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ）2·1·c·n·j·y
A．60° B．45° C．35° D．30°【来源：21·世纪·教育·网】
6.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
8.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：21·世纪*教育网
①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ）www-2-1-cnjy-com
②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤
如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=，则图中阴影部分的面积是（ ）A． B． C． D．
10.若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C．或 D．或
二．填空题：
11.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=
12.⊙O的半径为1，弦AB=，弦AC=，则∠BAC度数为
13.如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为 2-1-c-n-j-y
14.如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为_____
15.如图，阴影部分是两个半径为1的扇形，若α=120°，β=60°，则大扇形与小扇形的面积之差为______________21世纪教育网版权所有
16.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为______
17.如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA=AC=2，将正方形绕O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是
如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是 21教育网
19.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则弧AC的长______
20.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作弧OC交弧AB于点C，若OA=2，则阴影部分的面积为 21cnjy.com
三．解答题：
21.如图，已知圆O的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．（1）请证明：是的中点；（2）若，求的长．
22.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC = 60(，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作交PQ于点D．
（1）求证：△CDQ是等腰三角形；（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．
23.如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E
（1）求证：DE=AB；
（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF=FC=1，求扇形ABG的面积．（结果保留π）www.21-cn-jy.com
24.如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB＝13，AC＝5.
(1)如图（1），若点P是的中点，求PA的长; (2)如图（2），若点P是的中点，求PA的长.
25.已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D.
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（2）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长.
浙教版九上数学第三章：圆的基本性质培优训练答案
选择题：
1.答案：B
解析：显然利用垂径定理．连结OA，∵AB＝6，AC＝AB＝3cm，
又⊙O的半径为5cm，所以OA＝5cm，
在Rt△AOC中，OC＝(cm)．
答案：B．
答案：B
解析：因为，，所以，所以
故选择B
答案：D
解析：延长AO交BCD，作OE⊥BC于E，
∵，
为等边感触形
又
，故选择D
4.答案：C
解析：先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】：解：∵在⊙O中，弧AB=弧AC，
∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=40°，∴∠AOC=40°，∴∠ADC=∠AOC=20°，故选C．
答案：D
解析：直接根据圆周角定理求解．
【解答】：解：连结OC，如图，
∵弧AB=弧BC，
∴∠BDC=∠AOB=×60°=30°．故选D．
6.答案：A
解析：由菱形的性质得出AD=AB=6，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．
【解答】：解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴AD=AB=6，∠ADC=180°﹣60°=120°，
∵DF是菱形的高，∴DF⊥AB，
∴DF=AD?=6×=3，
∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积=6×3﹣．故选：A．
【分析】：本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．21cnjy.com
7.答案：D
解析：作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．
【解答】：解：作DH⊥AE于H，
∵∠AOB=90°，OA=3，OB=2，
∴AB=，
由旋转的性质可知，OE=OB=2，DE=EF=AB=，△DHE≌△BOA，
∴DH=OB=2，
阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积
=， 故选：D．
8.答案：D
解析：①由直径所对圆周角是直角，
②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，
③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC；
④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；
⑤用三角形的中位线得到结论；
⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．
【解答】：解：①、∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，
②、∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，
∴∠AOC≠∠AEC，
③、∵OC∥BD，∴∠OCB=∠DBC，
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴CB平分∠ABD，
④、∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，
∵OC∥BD，∴∠AFO=90°，
∵点O为圆心，∴AF=DF，
⑤、由④有，AF=DF，
∵点O为AB中点，
∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF，
⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，
∴△CEF与△BED不全等，故选D
【分析】：此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握圆的性质．21·cn·jy·com
9.答案：A
解析：先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．
【解答】：解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC=，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，
∴S△AOC=S△BOC，OA=AC=1，
∴S阴影部分=S扇形AOC=．故选A．
【分析】：本题考查了扇形面积的计算：圆面积公式：S=πr2，（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法； ②和差法； ③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
10.答案：C
解析：根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下△ABC的面积，本题得以解决．www.21-cn-jy.com
【解答】：解：由题意可得，如右图所示，
存在两种情况，
当△ABC为△A1BC时，连接OB、OC，
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D，
∴CD=1，OD=，
∴
当△ABC为△A2BC时，连接OB、OC，
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D，
∴CD=1，OD=，
∴，
由上可得，△ABC的面积为或，故选C．
填空题：
11.答案：
解析：连接OC，根据垂径定理得出CE=ED=CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度，最后由BE=OB﹣OE，即可求出BE的长度．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】：解：如图，连接OC．
∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，
∴CE=ED=CD=3．
∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，
∴OE=
∴BE=OB﹣OE=．
故答案为．
【分析】：本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、ED的长度．
12.答案：75°或15°．
解析：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可．
【解答】：解：有两种情况：
①如图1所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，
，∴∠OAE=30°，，∠OAF=45°，∴∠BAC=30°+45°=75°；
②如图2所示：
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，
∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=45°﹣30°=15°；
故答案为：75°或15°．
13.答案：
解析：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．21·世纪*教育网
【解答】：解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，www-2-1-cnjy-com
连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，
∴
∵∠AMN=40°，
∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，
∴∠A′OB=120°，
过O作OQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′OQ中，OA′=2，
∴A′B=2A′Q=，
即PA+PB的最小值．
故答案为．
14.答案：
解析：连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圆的半径，在RT△OEM中利用30度角的性质即可解决问题．2-1-c-n-j-y
【解答】：解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴AC是直径，AC=
∴OE=OF=2，∵OM⊥EF，∴EM=MF，
∵△EFG是等边三角形，∴∠GEF=60°，
在RT△OME中，∵OE=，∠OEM=∠CEF=30°，
∴OM=，EM=OM=
∴EF=
故答案为
答案：
解析：利用扇形的面积公式分别求出两个扇形的面积，再用较大面积减去较小的面积即可．
【解答】：解：，故答案为
16.答案：
解析：∵∠O＝2∠A＝2×45°＝90°．
∴S阴影＝S扇形OBC－S△OBC＝－×2×2＝π－2．
故答案为：
17.答案：
解析：如图，用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上正方形ABCD的面积．
【解答】：解：∵OA=AC=2，
∴AB=BC=CD=AD=，OC=4，
S阴影=，
故答案为：2π+2．
【分析】：此题考查了扇形的面积公式和旋转的性质以及勾股定理，能够把不规则图形的面积转换为规则图形的面积是解答此题的关键．21世纪教育网版权所有
18.答案：
解析：连接OM交AB于点C，连接OA、OB，根据题意OM⊥AB且OC=MC=，继而求出∠AOC=60°、AB=2AC=，然后根据S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB、S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM计算可得答案．2·1·c·n·j·y
【解答】：解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，
由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=，
在RT△AOC中，∵OA=1，OC=，
∴，AC=
∴∠AOC=60°，AB=2AC=，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，
则S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB
=，
S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM=．
故答案为：
【分析】：本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．
19.答案：
解析：连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．
【解答】：解：连接OA、OC，
∵∠B=135°，∴∠D=180°﹣135°=45°，
∴∠AOC=90°，
则弧AC的长=．
故答案为：．
【分析】：本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式。
20.答案：
解析：连接OC、AC，根据题意得到△AOC为等边三角形，∠BOC=30°，分别求出扇形△COB的面积、△AOC的面积、扇形AOC的面积，计算即可． 21*cnjy*com
【解答】：解：连接OC、AC，
由题意得，OA=OC=AC=2，
∴△AOC为等边三角形，∠BOC=30°，
∴扇形△COB的面积为：，
△AOC的面积为：，
扇形AOC的面积为：，
则阴影部分的面积为：，
故答案为：．
【分析】：本题考查的是扇形面积计算，掌握等边三角形的性质、扇形的面积公式是解题的关键．
三．解答题：
21.答案：（1）证明过程如下；（2）
解析：（1）连接AC利用垂径定理说明△ACD是等边三角形，再得到∠OAF=，再利用
，从而得证；
（2）利用直角△CEO求出CE，即可求CD
【解答】：（1）证明：连接，如图
，且过圆心
，，是等边三角形．
在中，，点为的中点
（2）解：在中，
又，
【分析】：本题的关键在于连接AC，证明△ACD为等边三角形为突破口。
22.答案：（1）证明过程如下；（2）
解析：（1）利用OA=OC，，，得到，
利用直角三角形APQ得到，即得证；
（2）设圆半径为1，利用直角三角形求出BP和PO即可。
【解答】：（1）证明：由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠Q=30°，∠BCO=∠ABC=30°.
∵CD⊥OC，∴∠DCQ=∠BCO=30°，
∴∠DCQ=∠Q，∴△CDQ是等腰三角形.
（2）解：设⊙O的半径为1，则AB=2，OC=1，AC=，BC=.
∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，∴CQ=BC=.
∵AQ=AC+CQ=1+，AP=，
∴BP=AB－AP= PO=AP－AO=，
∴BP∶PO=.
23.解析：（1）根据矩形的性质得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，求出∠DAE=∠AFB，∠AED=90°=∠B，根据AAS推出△ABF≌△DEA即可；21教育网
（2）根据勾股定理求出AB，解直角三角形求出∠BAF，根据全等三角形的性质得出DE=DG=AB=，∠GDE=∠BAF=30°，根据扇形的面积公式求得求出即可．
【解答】：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AFB，
∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°=∠B，
在△ABF和△DEA中，
∴△ABF≌△DEA（AAS），∴DE=AB；
（2）解：∵BC=AD，AD=AF，∴BC=AF，
∵BF=1，∠ABF=90°，
∴由勾股定理得：AB=，
∴∠BAF=30°，
∵△ABF≌△DEA，
∴∠GDE=∠BAF=30°，DE=AB=DG=，
∴扇形ABG的面积=．
【分析】：本题考查了弧长公式，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，矩形的性质的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
24.解析：：(1)如图①，连接PB.
∵ AB是⊙O的直径，P是弧AB的中点，
∴ PA=PB，∠APB=90°.
∵ AB=13，∴ PA=AB= .
(2)如图②，连接BC,OP,且它们交于点D，连接PB.
∵ P是的中点，
∴ OP⊥BC，BD=CD.
∵ OA=OB，∴ OD=AC=.
∵ OP=AB=，
∴ PD=OP-OD=-=4.
∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACB=90°.
∵ AB=13，AC=5，∴ BC=12.∴ BD=BC=6.
∴ PB= ==2.
∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠APB=90°.
∴ PA===3.
解析：（1）由BC为直径，得∠CAB=∠BDC=90°.在Rt△CAB中应用勾股定理求AC.
由AD为∠CAB的平分线，得CD=BD,在Rt△BDC中应用勾股定理求解.（2）连接OB、OD,
证明△OBD是等边三角形，利用等边三角形的性质求BD的长.
【解答】：（1）由已知，BC为⊙O的直径，得∠CAB=∠BDC=90°.
在Rt△CAB中，BC=10,AB=6,
∴ AC===8.
∵ AD平分∠CAB，∴弧CD=弧BD ，∴ CD=BD.
在Rt△BDC中，BC=10,CD2+BD2=BC2，
∴ BD2=CD2=50.∴ BD=CD＝5.
（2）如图，连接OB，OD.
∵ AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
