识别与构造：全等三角形、直角三角形、等腰三角形（含答案）

角转移带来了直角三角形，边转移带来了等腰三角形（1）
夯实基础，稳扎稳打
正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点。
三角形的顶点都在小正方形的顶点处的三角形称为格点三角形。
1．（1）在图①网格中画出格点直角三角形，使其斜边的长为无理数，两直角边长是有理数．
（2）在图②网格中画出格点等腰三角形，使其至少有一条边的长是无理数
（3）在图③网格中画出格点等腰直角三角形，使其三边的长都是无理数．
2 ．(1)在图1中画一条线段，使，线段的端点在格点上；
(2)在图2中画一个斜边长为的格点等腰直角三角形，并求的面积．

连续递推，豁然开朗
3．如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上．
(1)在图1中，借助于网格，只用无刻度的直尺作等腰直角；
(2)在图2中，借助于网格，只用无刻度的直尺作的角平分线．
4.【尝试探索】(1) 如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，
过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA.
【拓展提升】 (2) 如图2，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD=90°，AC=AD，∠DBA=∠DAB，AB=，求点C到AB边的距离．
思维拓展，更胜一筹
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线与轴交于点，，为直线上一动点．
(1)求点C的坐标；直线AC的函数表达式．
(2)当点P运动到某一位置时，是直角三角形，求点的坐标．
角转移带来了直角三角形，边转移带来了等腰三角形（2）
夯实基础，稳扎稳打
1.请按以下要求：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；
③标注相关字母.）
画出格点△ABC 的角平分线 BE.
2．已知：的顶点均在格点上，的值
连续递推，豁然开朗
3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，连接，的度数．
4．在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4．点P是△ABC内的一点，连接PC，以PC为直角边在PC的右上方作等腰Rt△PCD．连接AD，若AD∥BC，AD=2，求BP的长．
思维拓展，更胜一筹
5．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点．若．①求的长．②若是等腰三角形，求点的坐标
识别与构造：全等三角形+Rt△+等腰△（1）
1．如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交BC于点M．若AH＝HE，求CM的长．
2.如图①，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点，
且a，b满足，过点B作的垂线段，使，连接．
(1)求点C的坐标；(2)若点P从点A出发沿x轴向左平移，连接、以点B为直角顶点作等腰Rt△，连接，当点P在线段上时，求证：；(3)在（2）的条件下，若C，Q，P三点在同一条直线上，如图②，求的度数及点P的坐标．
3．如图①，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点．（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；（3）如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以为腰的是等腰直角三角形，求出相应m的值．
4.△ABC和△DBE是两个等腰Rt△（BA＝BC，BE＝BD，∠DBE＝∠ABC＝90°）的三角板．
【问题初探】（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，
连接AD、CE，请证明：AD＝CE；
【类比探究】（2）当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断AD与CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图（3），在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，BCCD，
连接AC，BD，∠ACD＝45°，点A到直线CD的距离为5，请求出BD的长．
识别与构造：全等三角形+Rt△+等腰△（2）
1．已知在中，．
【基础】（1）如图1，分别以为边向外作正方形和正方形，若正方形的面积为9，正方形的面积为16，求的长；
【变式】（2）如图2，分别以为边向外作等腰和等腰，连结．若，求的度数；
【拓展】（3）如图3，以为边向形外作等边三角形，以为边向上作等边三角形，连结．若，求AB的长．
2．如图，在等边三角形的，边上分别取点，，使，连结，相交于点．(1)求的度数．(2)若，，求的长．
(3)如图，连结，若，，求的长．
3．如图1，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点B坐标为，以线段AB为底边向右作等腰直角△ABC，点C坐标为，点D为OA的中点，连接BD．
(1)求点A的坐标；(2)如图2，将四边形向右平移个单位，记平移后的四边形为，点恰好在直线上，求直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，若点为直线上的动点，使，求点的坐标．
4．如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E．
(1)求点C的坐标，点A的坐标（点A用含k的代数式表示）．
(2)若点A关于y轴的对称点恰好落在△BDE的内部，求k的取值范围．
(3)如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
角转移带来了直角三角形，边转移带来了等腰三角形（1）
4.（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∴，
在和中，，∴；
（2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，
∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，
在和中，，点C到的距离为；
5.解：∵，，，，，则点，
设直线的表达式为，∴，解得：，，
（2）设点，由点A、B、P的坐标得，，，，当为斜边时，则，
解得：（舍去）或，∴点；
当为斜边时，,解得，∴点P，
当为斜边时，解得：（舍去），
综上，点P的坐标为：或；
角转移带来了直角三角形，边转移带来了等腰三角形（2）
1.解：如图所示：
2.
3.，
4.【解答】解：如图，作PF⊥BC于点F，延长FP交AD于点E，
∵AD∥BC，∴∠PFC=∠DEP=90°，∴∠CPF+∠PCF=90°，
∵∠DPC=90°，∴∠CPF+∠DPE=90°，∴∠PCF=∠DPE，
在△PCF和△DPE中，∵ ，∴△PCF≌△DPE（AAS），∴PF=DE、PE=CF，
设PF=DE=x，则PE=CF=4﹣x，∵AD=2，∴AE=BF=2﹣x，∴FC=BC﹣BF=4﹣（2﹣x）=2+x，可得2+x=4﹣x，解得x=1，∴BP= = ，
5.①∵直线与轴，轴分别交于，两点，当时，，当时，，∴，，∴，，∴，
∵，∴
②如图所示，过点作轴于点，
设，则，则，
在中，，∴ ，解得：（负值舍去），∴，∴，设，则，，
∵是等腰三角形，当时，则，当时，则，解得：（舍去）或 ，当时，则，解得：，∴或或；
识别与构造：全等三角形+Rt△+等腰△（1）
1.解：设与交于点K，如图所示：∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，
由题意得：，
∴，，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴．
∵，∴，∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，解得：，∴
2.（1）解：∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴；
如图所示，过点C作轴于点H，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴；
（2）证明：∵是等腰直角三角形，且点B为直角顶点，
∴，∵，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴；
（3）解：∵是等腰直角三角形，且点B为直角顶点，
∴，∴，
由（2）可得，∴，∴，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴．
3.（1）解：∵点在直线上，∴，解得，∴，
将代入直线，得，∴，∴直线的解析式为：；
（2）设点P的坐标为，∵直线的解析式为：，∴，∴，
∵，∴或，∴点P的坐标为或；
（3）解：（3）以BC为腰的三角形是等腰直角三角形，分以下两种情况：
①当时，过点C作轴于M，过点Q作轴于N，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，，
∵，，∴，，∴，∴；
②当时，过点C作轴于M，延长交直线l于N，
同理：，∴，，
∴，∴；综上，m的值为4或6．
4.（1）∵△ABC和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，
∴，，，∴，∴；
（2），，理由如下：
∵，∴，
∵，，∴，∴，，
延长与交于点，

∵，∴，∴，
∴，∴，∴；
（3）过作交延长线于，过作交于，
∵，∴，∴，
∵∴，∴，
∴，，∴，
∵A到直线的距离为5，∴AN=5，，CM=2AN=10,∵，，∴CD=BC=
识别与构造：全等三角形+Rt△+等腰△（2）
1.解：（1）在中，正方形的面积为，正方形的面积为． ；
（2）等腰和等腰，
是中垂线（三线合一）；；
（3）解：和是等边三角形 ，

，∴，设，
由勾股定理得：，解得：（舍负）∴在中，，，在中，
2.（1）解：是等边三角形，，，，
在和中，，，，
；
（2）解：如图，过点作于点，
，，，，，，；
（3）解：如图，过点作于点，设，在中，，，，在等边三角形中，，，
又，，又，，
在和中，，，，，在中，，，解得：，，，．
3．（1）解：如图1，过点C作轴与N，过点B作，交的延长线于M，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∵点B坐标为，点C坐标为，∴，∴，∴，∴；
（2）解：点C坐标为，向右平移m个单位，坐标为，坐标为，
∵过，，，坐标为，坐标为，
设的解析式为，可得，，直线的解析式：；
（3）解：作轴于S，作，交于T，∵，
∴，∴，
∴，∴，同理（1）得，，
∴，∴，∴，由（2）可知：，
设直线的解析式为，则有：，解得，
∴直线的解析式为，由，可得，∴，
延长至，使，连接，∴，∴，
∵，，∴根据中点坐标公式可得：∴，
综上所述：点坐标为．
4．（1）解：当时，，，，，，，
（2）解：∵点与点关于y轴对称，∴，
∵，恰好落在△的内部，直线与直线相交于点E．
∴解得：．
（3）解：如图1，
当点落在轴上时，设，关于直线的对称点为，，，当时，，，点是的中点，，
，，，，，
轴，，，，轴，，
过，，，，由得，，，
如图2，当点在轴上时，
，，，，
，，，即，
设直线的解析式为：，，
，，由得，，，
综上所述：或．