浙教版数学八年级下册 2.2.2 一元二次方程的解法 三阶训练
一、选择题
1．（2025八下·义乌月考）已知实数满足，则的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．2
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∴或，
故选：C．
【分析】设，通过变移，转化关于k的一元二次方程求解，再代回求出待求代数式的值．
2．（2024八下·杭州期中）已知方程甲：ax2+2bx+a＝0，方程乙：bx2+2ax+b＝0都是一元二次方程，其中a≠b．以下说法中错误的是（ ）
A．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解
B．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解
C．若x＝1是方程甲的解，则x＝1也是方程乙的解
D．若x＝n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1取﹣1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、若方程甲有两个不相等的实数解，则，即，
所以，因此乙方程没有实数解，故A正确，不符合题意；
B、若方程甲有两个相等的实数解，则，
因此乙方程也有两个相等的实数解，故B正确，不符合题意；
C、若x＝1是方程甲的解，则a+2b+a=2a+2b=0，故b+2a+b=0也成立，
故x＝1也是方程乙的解 ，故C正确，不符合题意；
D、若x＝n是方程甲的解， 又是方程乙的解，
则an2+2bn+a=0，bn2+2an+b =0，
两式相减得：(a－b)n2+2(b－a)n+(a－b)=0，即(a－b)(n2－2n+1)=0，
∵a≠b，
∴n2－2n+1=0，解得n=1，故D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】通过一元二次方程根的判别式可确定A、B正确，C正确；将x=n分别代入甲、乙方程求出n的值即可确定D错误.
3．若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是( )
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于 的一元二次方程 有实数根，
∴1-2a0，，，
解得： 且 ，
故答案为：C。
【分析】根据一元二次方程的概念、根的判别式和二次根式有意义的条件求解。
4．（2024八下·绍兴期中）下列给出的四个命题，真命题的有（ ）个
①若方程两根为1和-3，则；
②若，则；
③若，则方程一定无实数根；
④若m为非负数，则．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：方程两根为1和，
（I），（Ⅱ），
（I）（Ⅱ）得：，
，故①是真命题；
，
或，
当时，，
，故②是假命题；
当，方程有两个相等的实数解，故③是假命题；
为非负数，
当时，，，
此时，故④是假命题；
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把根代入，然后利用加减法进行计算可得出①是真命题；解方程求出a，得出时，，进而可得出②是假命题；根据判别式的意义可得③是假命题；举出反例可判定④是假命题．
5．（2024八下·浙江期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列说法正确的是( )
A．1可能是方程的根 B．0一定不是方程的根
C．-1不可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2b）2-4（a+c）2=0，
∴4（a+b+c）（b-a-c）=0，
∴a+b+c=0或a-b+c=0，
当x=1时，代入方程ax2+bx+c=0，得a+b+c=0，
当x=-1时，代入方程ax2+bx+c=0，得a-b+c=0，故A选项正确，C选项错误；
当1和-1都时方程ax2+bx+c=0的根时，a+b+c=a-b+c=0，得b=a+c=0，不符合题意，故D选项错误；
∵方程为一元二次方程，
∴a+c≠0，满足a≠-c，
即c可以为0，
当x=0时，代入方程ax2+bx+c=0，得c=0，故B选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得Δ=（2b）2-4（a+c）2=0，求得a+b+c=0或a-b+c=0，逐项分析即可得出答案.
6．（2024八下·海曙月考）方程；，其中，则以下四个结论：
①若ac<0，则方程P有两个不相等的实数根；②若方程P有两个不相等的实数根，则方程Q必定也有两个不相等的实数根；③若5是方程P的一个根，则是方程Q的一个根；④若方程P和方程Q有相同的根，则.
正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①若ac＜0，那么方程p中△=b2-4ac＞0，则方程P有两个不相等的实数根，故①正确；
②由①如果方程P有两个不相等的实数根，则ac<0，则方程Q的根的判断式△=(-b)2-4ca=b2-4ac＞0，所以方程Q必定也有两个不相等的实数根，故②正确；
③如果5是方程P的一个根，那么25a+5b+c=0，
方程两边同时除以25，得 ，即
所以是方程Q的一个根，故③正确；
④如果方程P和方程Q有一个相同的根，那么ax2+bx+c= ，
解得：x=1，b=0，所以，故④正确，
综上，正确的有①②③④，共4个.
故答案为：D．
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，据此可判断①和②；③如果5是方程P的一个根，反代回方程，通过变形得，据此可判断③；解方程ax2+bx+c= ，解方程可判断④．
7．已知m，n都是实数，且 =0，则 的值为 （ ）
A．-1 B．3 C．1或3 D．-1或3
【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：令t=m2+n2，
∵m2+n2≥0，
故t≥0；
则原等式可转化为t（t-2）-3=0，
整理得：t2-2t-3=0，
则（t-3）（t+1）=0
∴t-3=0，t+1=0，
解得：t=3或t=-1（舍去）；
故答案为：B.
【分析】令m2+n2，根据十字相乘法解一元二次方程即可求出t的值.
8．在分式方程=5中，设=y，可得到关于y的整式方程为（ ）
A．y2+5y+5=0 B．y2-5y+5=0 C．y2+5y+1=0 D．y2-5y+1=0
【答案】D
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： =5
设=y，
∴原方程化为y-=5，
去分母得：y2-5y+1=0.
故答案为：D.
【分析】设=y，则，原方程化为y-=5，再去分母即可.
9．（2022八下·杭州月考）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=（2ax0+b）2.
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①∵当x＝1时，a+b+c＝0，
∴x=1是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，
∴b2﹣4ac≥0成立，
∴①正确，符合题意；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，
∴②正确，符合题意；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴ac2+bc+c＝0，
∴当c≠0时，ac+b+1＝0，
当c＝0时，ac+b+1不一定等于0，
∴③不一定正确，不符合题意；
④∵（2ax0+b）2＝4a2x02+4abx0+b2，
∴b2﹣4ac＝4a2x02+4abx0+b2，
∵a≠0，
∴ax02+bx0+c＝0，
∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴ax02+bx0+c＝0成立，
∴④正确，符合题意，
综上所述，说法正确的有①②④．
故答案为：A.
【分析】①当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，可推断出②正确；③由c是方程ax2+bx+c＝0得一个根，得ac2+bc+c＝0，因此当c≠0，则ac+b+1＝0，当c＝0，则ac+b+1不一定等于0，③不一定正确；④由2ax0+b）2＝4a2x02+4abx0+ b2，得b2﹣4ac＝4a2x02+4abx0+b2，从而得ax02+bx0+c＝0，结合x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可判断④正确，据此得出正确选项即可.
二、填空题
10．（2025八下·舟山期末） 定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵[x，m]*[x+5，5]=0，
∴x(x+5)-5m=0，即x2+5x-5m=0，
∵关于x的方程[x，m]*[x+5，5]=0有两个不相等的实数根，
∴25+20m>0，
解得，
故答案为：.
【分析】将定义运算展开为二次方程，再根据判别式求解参数范围.
11．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 .
【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=4-4a（2-c）=0，
即1-2a+ac=0，
∵a≠0，
∴
∴；
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程根的判别式：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，可得出a与c的等式，结合一元二次方程的定义即可求解.
12．（2023八下·杭州期中）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）①若b2-4ac＝0，则ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根；②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝as2+bs+c；③若ax2+bx+c+2＝0与方程（x+2）（x-3）＝0的解相同，则4a-2b+c＝-2，以上说法正确的是 .
【答案】①③
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①∵b2-4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，故①正确；
②∵一元二次方程ax2+bx+c＝k（k为常数）最多有两个解，故②错误；
③∵方程（x+2）（x-3）＝0的解为x1＝-2，x2＝3，将x＝-2代入ax2+bx+c+2＝0，得4a-2b+c+2＝0，
∴4a-2b+c＝-2，故③正确.
故答案为：①③.
【分析】根据△=b2-4ac＝0可判断①；一元二次方程ax2+bx+c＝k（k为常数）最多有两个解，据此判断②； 方程(x+2)(x-3)＝0的解为x1＝-2，x2＝3，将x＝-2代入ax2+bx+c+2＝0中并化简可判断③.
13．（2025八下·义乌月考）如果一元二次方程有两个有理根，其中为自然数，则 ．
【答案】3或6或11
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程有两个有理根，
∴，
∵该方程有2个有理根，其中为自然数，
∴是完全平方数，
令（m为整数），
∴，
∴将该方程看作关于的一元二次方程，
∴，
∴为完全平方数，
令（k为整数），
∴，
∴或
解得：或
当，，解得：或（舍）；
当，，解得或，
综上：或或，
故答案为：3或6或11．
【分析】根据方程有2个有理根，可知判别式为完全平方数，转化为待求字母的方程组求解．
14．（2024八下·萧山期中）已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ．
【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ∵关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
令x+3=y，
∴关于y的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
即关于的一元二次方程的解是，，
∴.
故答案为：.
【分析】令x+3=y，观察发现方程和是同一个方程，解相同，故可根据的解得到方程的解.再解关于x的方程，即可得到的解.
15．（2017八下·丽水期末）在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则该三角形的面积是
【答案】6或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x +(c 4)x+ =0有两个相等的实数根，
∴△=(c 4) 4×1× =0，
解得：c=5或3，
当c=5时，
∵a=3，b=4，
∴a +b =c ，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC的面积是 ×3×4=6；
当c=3时，如图，
，
AB=BC=3，过B作BD⊥AC于D，
则AD=DC=2，
∵由勾股定理得：BD= ，
∴△ABC的面积是 ×4× =2 ；
故答案为：6或2 .
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积，等腰三角形性质的应用，关键是求出三角形ABC的高，题目比较好，用了分类讨论思想.
三、解答题
16．（2025八下·西湖月考）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）；
（3）如果此方程的两个根刚好是某个三角形的两条边长，已知第三边长为5，求k的取值范围．
【答案】（1）证明：
∵，
此方程总有两个实数根
（2）解：，
，
，，
此方程的两个根分别为2和
（3）解：由（2）可得此方程的两个根分别为2和，
三角形的两条边长为2，，
三角形的第三条边长为5，
，
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）由已知可得，又由于，结合偶次方的非负性，即可得证此方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法（十字相乘法）解方程即可；
（3）根据三角形的三边关系，可列出关于k的一元一次不等式组，即可求出k的取值范围．
（1）解：证明：
，
此方程总有两个实数根；
（2）解：解：，
，
，，
此方程的两个根分别为2和；
（3）解：此方程的两个根刚好是某个三角形的两条边长，
三角形的两条边长为2，，
又此三角形的第三条边长为5，
，
解得：
答：k的取值范围为
17．（2024八下·鄞州期中）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
（1）“快乐方程”的“快乐数”为________；
（2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
【答案】（1）
（2）解：方程，
∴，
∵，
∴，
又方程是“快乐方程”，
∴4m+13是完全平方数，
∴或36，
∴，（舍去），
∴方程为可化为：，
∴，
故其“快乐数”数是；
（3）解：∵为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
设，a为整数，
则，
∴或或或或或或或
解得或或（舍）或(舍)，
∴方程为：或；
∵为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
，
当时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得：或（舍），
当时，，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得：，
综上，n的值为0或3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）由定义可得：方程的“快乐数为：，
故答案为：；
【分析】（1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”；
（2）先计算，再跟m的取值范围得到4m+13的取值范围，再根据“快乐方程”为完全平方数，得到或36，最后根据m为整数，确定m的值，再代入方程，求其“快乐数”即可；
（3）由关于x的一元二次方程是“快乐方程”，计算，并令，分解因式即可求出整数m的值，再求出方程的“快乐数”，最后根据“开心数”的定义即可求出n的值．
1 / 1浙教版数学八年级下册 2.2.2 一元二次方程的解法 三阶训练
一、选择题
1．（2025八下·义乌月考）已知实数满足，则的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．2
2．（2024八下·杭州期中）已知方程甲：ax2+2bx+a＝0，方程乙：bx2+2ax+b＝0都是一元二次方程，其中a≠b．以下说法中错误的是（ ）
A．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解
B．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解
C．若x＝1是方程甲的解，则x＝1也是方程乙的解
D．若x＝n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1取﹣1
3．若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是( )
A． B．
C． 且 D． 且
4．（2024八下·绍兴期中）下列给出的四个命题，真命题的有（ ）个
①若方程两根为1和-3，则；
②若，则；
③若，则方程一定无实数根；
④若m为非负数，则．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2024八下·浙江期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列说法正确的是( )
A．1可能是方程的根 B．0一定不是方程的根
C．-1不可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
6．（2024八下·海曙月考）方程；，其中，则以下四个结论：
①若ac<0，则方程P有两个不相等的实数根；②若方程P有两个不相等的实数根，则方程Q必定也有两个不相等的实数根；③若5是方程P的一个根，则是方程Q的一个根；④若方程P和方程Q有相同的根，则.
正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知m，n都是实数，且 =0，则 的值为 （ ）
A．-1 B．3 C．1或3 D．-1或3
8．在分式方程=5中，设=y，可得到关于y的整式方程为（ ）
A．y2+5y+5=0 B．y2-5y+5=0 C．y2+5y+1=0 D．y2-5y+1=0
9．（2022八下·杭州月考）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=（2ax0+b）2.
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题
10．（2025八下·舟山期末） 定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
11．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 .
12．（2023八下·杭州期中）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）①若b2-4ac＝0，则ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根；②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝as2+bs+c；③若ax2+bx+c+2＝0与方程（x+2）（x-3）＝0的解相同，则4a-2b+c＝-2，以上说法正确的是 .
13．（2025八下·义乌月考）如果一元二次方程有两个有理根，其中为自然数，则 ．
14．（2024八下·萧山期中）已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ．
15．（2017八下·丽水期末）在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则该三角形的面积是
三、解答题
16．（2025八下·西湖月考）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）；
（3）如果此方程的两个根刚好是某个三角形的两条边长，已知第三边长为5，求k的取值范围．
17．（2024八下·鄞州期中）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
（1）“快乐方程”的“快乐数”为________；
（2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∴或，
故选：C．
【分析】设，通过变移，转化关于k的一元二次方程求解，再代回求出待求代数式的值．
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、若方程甲有两个不相等的实数解，则，即，
所以，因此乙方程没有实数解，故A正确，不符合题意；
B、若方程甲有两个相等的实数解，则，
因此乙方程也有两个相等的实数解，故B正确，不符合题意；
C、若x＝1是方程甲的解，则a+2b+a=2a+2b=0，故b+2a+b=0也成立，
故x＝1也是方程乙的解 ，故C正确，不符合题意；
D、若x＝n是方程甲的解， 又是方程乙的解，
则an2+2bn+a=0，bn2+2an+b =0，
两式相减得：(a－b)n2+2(b－a)n+(a－b)=0，即(a－b)(n2－2n+1)=0，
∵a≠b，
∴n2－2n+1=0，解得n=1，故D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】通过一元二次方程根的判别式可确定A、B正确，C正确；将x=n分别代入甲、乙方程求出n的值即可确定D错误.
3．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于 的一元二次方程 有实数根，
∴1-2a0，，，
解得： 且 ，
故答案为：C。
【分析】根据一元二次方程的概念、根的判别式和二次根式有意义的条件求解。
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：方程两根为1和，
（I），（Ⅱ），
（I）（Ⅱ）得：，
，故①是真命题；
，
或，
当时，，
，故②是假命题；
当，方程有两个相等的实数解，故③是假命题；
为非负数，
当时，，，
此时，故④是假命题；
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把根代入，然后利用加减法进行计算可得出①是真命题；解方程求出a，得出时，，进而可得出②是假命题；根据判别式的意义可得③是假命题；举出反例可判定④是假命题．
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2b）2-4（a+c）2=0，
∴4（a+b+c）（b-a-c）=0，
∴a+b+c=0或a-b+c=0，
当x=1时，代入方程ax2+bx+c=0，得a+b+c=0，
当x=-1时，代入方程ax2+bx+c=0，得a-b+c=0，故A选项正确，C选项错误；
当1和-1都时方程ax2+bx+c=0的根时，a+b+c=a-b+c=0，得b=a+c=0，不符合题意，故D选项错误；
∵方程为一元二次方程，
∴a+c≠0，满足a≠-c，
即c可以为0，
当x=0时，代入方程ax2+bx+c=0，得c=0，故B选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得Δ=（2b）2-4（a+c）2=0，求得a+b+c=0或a-b+c=0，逐项分析即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①若ac＜0，那么方程p中△=b2-4ac＞0，则方程P有两个不相等的实数根，故①正确；
②由①如果方程P有两个不相等的实数根，则ac<0，则方程Q的根的判断式△=(-b)2-4ca=b2-4ac＞0，所以方程Q必定也有两个不相等的实数根，故②正确；
③如果5是方程P的一个根，那么25a+5b+c=0，
方程两边同时除以25，得 ，即
所以是方程Q的一个根，故③正确；
④如果方程P和方程Q有一个相同的根，那么ax2+bx+c= ，
解得：x=1，b=0，所以，故④正确，
综上，正确的有①②③④，共4个.
故答案为：D．
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，据此可判断①和②；③如果5是方程P的一个根，反代回方程，通过变形得，据此可判断③；解方程ax2+bx+c= ，解方程可判断④．
7．【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：令t=m2+n2，
∵m2+n2≥0，
故t≥0；
则原等式可转化为t（t-2）-3=0，
整理得：t2-2t-3=0，
则（t-3）（t+1）=0
∴t-3=0，t+1=0，
解得：t=3或t=-1（舍去）；
故答案为：B.
【分析】令m2+n2，根据十字相乘法解一元二次方程即可求出t的值.
8．【答案】D
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： =5
设=y，
∴原方程化为y-=5，
去分母得：y2-5y+1=0.
故答案为：D.
【分析】设=y，则，原方程化为y-=5，再去分母即可.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①∵当x＝1时，a+b+c＝0，
∴x=1是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，
∴b2﹣4ac≥0成立，
∴①正确，符合题意；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，
∴②正确，符合题意；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴ac2+bc+c＝0，
∴当c≠0时，ac+b+1＝0，
当c＝0时，ac+b+1不一定等于0，
∴③不一定正确，不符合题意；
④∵（2ax0+b）2＝4a2x02+4abx0+b2，
∴b2﹣4ac＝4a2x02+4abx0+b2，
∵a≠0，
∴ax02+bx0+c＝0，
∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴ax02+bx0+c＝0成立，
∴④正确，符合题意，
综上所述，说法正确的有①②④．
故答案为：A.
【分析】①当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，可推断出②正确；③由c是方程ax2+bx+c＝0得一个根，得ac2+bc+c＝0，因此当c≠0，则ac+b+1＝0，当c＝0，则ac+b+1不一定等于0，③不一定正确；④由2ax0+b）2＝4a2x02+4abx0+ b2，得b2﹣4ac＝4a2x02+4abx0+b2，从而得ax02+bx0+c＝0，结合x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可判断④正确，据此得出正确选项即可.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵[x，m]*[x+5，5]=0，
∴x(x+5)-5m=0，即x2+5x-5m=0，
∵关于x的方程[x，m]*[x+5，5]=0有两个不相等的实数根，
∴25+20m>0，
解得，
故答案为：.
【分析】将定义运算展开为二次方程，再根据判别式求解参数范围.
11．【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=4-4a（2-c）=0，
即1-2a+ac=0，
∵a≠0，
∴
∴；
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程根的判别式：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，可得出a与c的等式，结合一元二次方程的定义即可求解.
12．【答案】①③
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①∵b2-4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，故①正确；
②∵一元二次方程ax2+bx+c＝k（k为常数）最多有两个解，故②错误；
③∵方程（x+2）（x-3）＝0的解为x1＝-2，x2＝3，将x＝-2代入ax2+bx+c+2＝0，得4a-2b+c+2＝0，
∴4a-2b+c＝-2，故③正确.
故答案为：①③.
【分析】根据△=b2-4ac＝0可判断①；一元二次方程ax2+bx+c＝k（k为常数）最多有两个解，据此判断②； 方程(x+2)(x-3)＝0的解为x1＝-2，x2＝3，将x＝-2代入ax2+bx+c+2＝0中并化简可判断③.
13．【答案】3或6或11
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程有两个有理根，
∴，
∵该方程有2个有理根，其中为自然数，
∴是完全平方数，
令（m为整数），
∴，
∴将该方程看作关于的一元二次方程，
∴，
∴为完全平方数，
令（k为整数），
∴，
∴或
解得：或
当，，解得：或（舍）；
当，，解得或，
综上：或或，
故答案为：3或6或11．
【分析】根据方程有2个有理根，可知判别式为完全平方数，转化为待求字母的方程组求解．
14．【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ∵关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
令x+3=y，
∴关于y的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
即关于的一元二次方程的解是，，
∴.
故答案为：.
【分析】令x+3=y，观察发现方程和是同一个方程，解相同，故可根据的解得到方程的解.再解关于x的方程，即可得到的解.
15．【答案】6或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x +(c 4)x+ =0有两个相等的实数根，
∴△=(c 4) 4×1× =0，
解得：c=5或3，
当c=5时，
∵a=3，b=4，
∴a +b =c ，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC的面积是 ×3×4=6；
当c=3时，如图，
，
AB=BC=3，过B作BD⊥AC于D，
则AD=DC=2，
∵由勾股定理得：BD= ，
∴△ABC的面积是 ×4× =2 ；
故答案为：6或2 .
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积，等腰三角形性质的应用，关键是求出三角形ABC的高，题目比较好，用了分类讨论思想.
16．【答案】（1）证明：
∵，
此方程总有两个实数根
（2）解：，
，
，，
此方程的两个根分别为2和
（3）解：由（2）可得此方程的两个根分别为2和，
三角形的两条边长为2，，
三角形的第三条边长为5，
，
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）由已知可得，又由于，结合偶次方的非负性，即可得证此方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法（十字相乘法）解方程即可；
（3）根据三角形的三边关系，可列出关于k的一元一次不等式组，即可求出k的取值范围．
（1）解：证明：
，
此方程总有两个实数根；
（2）解：解：，
，
，，
此方程的两个根分别为2和；
（3）解：此方程的两个根刚好是某个三角形的两条边长，
三角形的两条边长为2，，
又此三角形的第三条边长为5，
，
解得：
答：k的取值范围为
17．【答案】（1）
（2）解：方程，
∴，
∵，
∴，
又方程是“快乐方程”，
∴4m+13是完全平方数，
∴或36，
∴，（舍去），
∴方程为可化为：，
∴，
故其“快乐数”数是；
（3）解：∵为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
设，a为整数，
则，
∴或或或或或或或
解得或或（舍）或(舍)，
∴方程为：或；
∵为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
，
当时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得：或（舍），
当时，，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得：，
综上，n的值为0或3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）由定义可得：方程的“快乐数为：，
故答案为：；
【分析】（1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”；
（2）先计算，再跟m的取值范围得到4m+13的取值范围，再根据“快乐方程”为完全平方数，得到或36，最后根据m为整数，确定m的值，再代入方程，求其“快乐数”即可；
（3）由关于x的一元二次方程是“快乐方程”，计算，并令，分解因式即可求出整数m的值，再求出方程的“快乐数”，最后根据“开心数”的定义即可求出n的值．
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