1.3 二次根式的运算—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八下·三台月考）下列二次根式中，化简后能与可以合并是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八下·阜平期中）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．10
3． 如图，已知斜坡AB，且 BC⊥AC，则斜坡 AB 的坡比指的是（ ）
A．AB：BC B．AB：AC C．AC：BC D．BC：AC
4．用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 ABCD，它的面积是75， ，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·濮阳经济技术开发月考）下列二次根式中，与不属于同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八下·杭州月考）估算的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．（2020八下·射阳期中）已知 ， ，则a与b的关系为（ ）.
A．a=b B．ab=1 C．a=－b D．ab=－1
8．（2025八下·临海月考） 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）若等腰三角形的两边长分别为 和 ，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． 或 C． D．
10．（2024八下·开州期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，，，如的整数部分为，小数部分为所以根据以上信息，下列说法正确的有( )
；
的小数部分为；
；
．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八下·阿克苏月考）计算： ．
12．（2025八下·惠州期末）最简二次根式与可以合并，则a= ．
13．（2025八下·成华月考）已知，求代数式的值是 ．
14．若 则A B(填“>”“<”或“=”).
15．（2024八下·平湖期末）已知，则的值为 ．
16．（2025八下·海曙期中）定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024八下·城厢月考）计算
（1）；（2）
18．在数学课上，老师将一个长方形纸片的长增加 ，宽增加7 cm，就得到一个面积为 192 cm2 的正方形纸片，求原长方形纸片的面积.
19．如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD（i=CE：ED，单位：m）.
20．（2025八下·朝阳期末）已知，，求代数式的值．
21．（2024八下·合江月考）先化简，再求值： 其中
22．（2025八下·义乌月考）配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题：
（1）已知：，求的值；
（2）已知：，，求的值；
（3）已知：，，，求的值．
23．阅读学习：
计算：
可以用下面的方法解决上面的问题：
利用上面的方法解决下列问题：
（1）计算：
（2）当 n= 时，等式 成立.
24．（2024八下·安次月考）嘉琪在学习《二次根式》时，发现一些含有根号的式子也可以写成完全平方式的形式，如，善于思考的嘉琪进行了如下探索：
设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．
所以．这样，嘉琪找到了把类似的式子化为完全平方式的方法请你仿照嘉琪的方法探索并解决问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a和b；
（2）利用所探索的结论，找一组满足（1）中关系式的正整数a，b．m．n；
（3）若．且a，b，m，n均为正整数，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、不能与合并，故本选项不符合题意；
B、不能与合并，故本选项不符合题意；
C、，能与合并，故本选项不符合题意；
D、，不能与合并，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式性质将各个选项中的二次根式化为最简二次根式，如果被开方数是3，就能与合并，否则就不能，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：，
∵最简二次根式与能够合并，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，再求出a的值即可。
3．【答案】D
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：斜坡 AB 的坡比指的是，即 BC：AC .
故答案为：D.
【分析】根据坡比的定义作答.
4．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的实际应用；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：由题意，得AB2=75，
∴AB==5.
∵AE=3，
∴BE=5-3=2，
∴小正方形的边长为3-2=，
∴这个小正方形的周长为4×=4.
故选B.
【分析】根据大正方形的面积得其边长，结合图形及AE的长确定小正方形的边长，从而计算小正方形的周长.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、与是同类二次根式，故该选项不符合题意；
B、与是同类二次根式，故该选项不符合题意；
C、与是同类二次根式，故该选项不符合题意；
D、与不是同类二次根式，故该选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】将各个二次根式根据二次根式的性质分别化为最简二次根式（被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因式或因数的二次根式），然后根据“被开方数完全相同的几个最简二次根式就是同类二次根式”逐一判断得出答案.
6．【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先将原式进行化简，再根据无理数的估算方法进行估算即可．
7．【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：因为b= ，所以a=b，
故答案为：A.
【分析】利用分母有理化，可求出b=+1，然后与a比较即可.
8．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，无法合并为，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、 ，故选项D正确
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加减、乘除法则进行判断.
9．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】设此等腰三角形腰长为 或 ，由三角形的三边关系判断此两个等腰三角形都存在，故其周长为 + = 或 + = ，故选B．
【分析】能够根据题意判断等腰三角形的腰长取值，要求用到三角形三边的数量关系，求解周长要求正确进行根式的加法运算．
10．【答案】C
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵的整数部分为2，小数部分为，
根据题意得，其整数部分为6，小数部分为；
，其整数部分为10，小数部分为；
，其整数部分为14，小数部分为；
，其整数部分为18，小数部分为；
，其整数部分为22，小数部分为；
，其整数部分为26，小数部分为；
…
，
∴①，故①正确；
②a2025的小数部分为，故②正确；
③，故③错误；
④
=
=
=
=
=
=
=
故④正确，
故答案为：C.
【分析】根据定义分别求出，从而找到an的规律，再逐个判断即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先化简二次跟上，再合并同类二次根式即可．
12．【答案】3
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴，
解得：，
故答案为：3．
【分析】因为题干所给两个二次根式为最简二次根式，且二者可以合并，所以它们的被开方数相等，即2a-1=5，所以可以求得a的值.
13．【答案】14
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：14．
【分析】利用提公因式法和平方差公式计算求解即可.
14．【答案】>
【知识点】实数的大小比较；分母有理化
【解析】【解答】解：∵===，
又，
∴>5-4=1，
即A>B，
故答案为：>.
【分析】先对A进行分母有理化进行化简并估算，再与B对比即可.
15．【答案】32
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
∴，
故答案为：32．
【分析】先将，b分母有理化，再将代数式配方，然后代入求解．
16．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：若多项式，，，（是实数）是一组黄金多项式，有三种情况，
①
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时：舍去，
②
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时，符合题意；
③
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时；
综上所述，的值为．
故答案为：
【分析】
按照新定义的概念分三种情况进行讨论，即：①；②；③，再进一步计算并检验即可.
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先把每个二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算即可；
（2）先利用平方差公式、完全平方公式进行去括号，然后进行二次根式的加减运算即可.
18．【答案】解：∵面积为192 cm2的正方形纸片的边长为8 cm，
∴原长方形纸片的长为8-2=6(cm)，宽为8-7=(cm)，
∴原长方形纸片的面积为6×=18(cm2).
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的实际应用；二次根式的乘法
【解析】【分析】根据正方形面积得其边长，再根据题意确定长方形的长与宽，从而计算其面积.
19．【答案】解：如图，过点B作BF⊥AD于点F，则BF=CE=4 m，EF=BC=4.5 m.
在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF===3(m).
在Rt△CED中，根据i=，
可知ED===4(m)，
则 AD=AF+EF+ED=3+4.5+4=(7.5+4)m.
答：坝底宽AD为(7.5+4)m.
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】根据勾股定理得AF的长，根据坡比i的值计算得ED的长，从而计算坝底宽AD的长.
20．【答案】解：∵，，
∴，，
∴
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】根据，，先求出、，然后再对原式因式分解得到
，最后整体代入计算即可．
21．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先对括号中异分母分式通分并进行加法运算，再化除法为乘法，再对分子分母分别分解因式并约分，再把结果化为最简分式或整式，最后再把值代入计算即可．
22．【答案】（1）解：∵，
∴.
（2）解：，，
，
，
∴
．
（3）解：∵，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）运用完全平方公式的变形求解；
（2）分别求出再求出的值，然后配成完全平方，接着代入求值；
（3）将变形为完全平方：，再整体代入求解．
（1）解：∵，
∴；
（2）解：，，
，
，
则
．
（3）解：∵，，
∴．
23．【答案】（1）解：原式=(-)+(-)+(-)+…+(-)
=(1-)+(-)+(-)+…+(-)
=1-
=.
（2）1
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：(2)∵++=，
∴-+-+-=，
∴=，
解得n=1.
故答案为：1.【分析】（1）将算式中每一项进行裂项相消计算即可.
（2）对进行化简得=，解出n的值即可.
24．【答案】（1）解：
（2）解：答案不唯一，如
提示：利用逆推，先确定m，n的值，再确定a，b的值，
选，则
（3）解：由可得，即
a，m，n均为正整数，
或
当时，；
当时，
综上，a的值为13或7．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式展开得到a+b=m2+3n2+2mn，从而可分别用m、n表示a、b；
（2）由（1）得a=m2+3n2，b=2mn，
先确定符合条件m、n的值，分别在求出a、b的值即可解决（答案不唯一）
（3）由于a=m2+3n2，b=2mn=4，则mn=2．利用有理数的整除性得到m=1，n=2或m=2，n=1．然后计算出对应的a的值。
1 / 11.3 二次根式的运算—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八下·三台月考）下列二次根式中，化简后能与可以合并是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、不能与合并，故本选项不符合题意；
B、不能与合并，故本选项不符合题意；
C、，能与合并，故本选项不符合题意；
D、，不能与合并，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式性质将各个选项中的二次根式化为最简二次根式，如果被开方数是3，就能与合并，否则就不能，据此逐一判断得出答案.
2．（2022八下·阜平期中）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．10
【答案】A
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：，
∵最简二次根式与能够合并，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，再求出a的值即可。
3． 如图，已知斜坡AB，且 BC⊥AC，则斜坡 AB 的坡比指的是（ ）
A．AB：BC B．AB：AC C．AC：BC D．BC：AC
【答案】D
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：斜坡 AB 的坡比指的是，即 BC：AC .
故答案为：D.
【分析】根据坡比的定义作答.
4．用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 ABCD，它的面积是75， ，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的实际应用；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：由题意，得AB2=75，
∴AB==5.
∵AE=3，
∴BE=5-3=2，
∴小正方形的边长为3-2=，
∴这个小正方形的周长为4×=4.
故选B.
【分析】根据大正方形的面积得其边长，结合图形及AE的长确定小正方形的边长，从而计算小正方形的周长.
5．（2024八下·濮阳经济技术开发月考）下列二次根式中，与不属于同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、与是同类二次根式，故该选项不符合题意；
B、与是同类二次根式，故该选项不符合题意；
C、与是同类二次根式，故该选项不符合题意；
D、与不是同类二次根式，故该选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】将各个二次根式根据二次根式的性质分别化为最简二次根式（被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因式或因数的二次根式），然后根据“被开方数完全相同的几个最简二次根式就是同类二次根式”逐一判断得出答案.
6．（2025八下·杭州月考）估算的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先将原式进行化简，再根据无理数的估算方法进行估算即可．
7．（2020八下·射阳期中）已知 ， ，则a与b的关系为（ ）.
A．a=b B．ab=1 C．a=－b D．ab=－1
【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：因为b= ，所以a=b，
故答案为：A.
【分析】利用分母有理化，可求出b=+1，然后与a比较即可.
8．（2025八下·临海月考） 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，无法合并为，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、 ，故选项D正确
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加减、乘除法则进行判断.
9．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）若等腰三角形的两边长分别为 和 ，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】设此等腰三角形腰长为 或 ，由三角形的三边关系判断此两个等腰三角形都存在，故其周长为 + = 或 + = ，故选B．
【分析】能够根据题意判断等腰三角形的腰长取值，要求用到三角形三边的数量关系，求解周长要求正确进行根式的加法运算．
10．（2024八下·开州期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，，，如的整数部分为，小数部分为所以根据以上信息，下列说法正确的有( )
；
的小数部分为；
；
．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵的整数部分为2，小数部分为，
根据题意得，其整数部分为6，小数部分为；
，其整数部分为10，小数部分为；
，其整数部分为14，小数部分为；
，其整数部分为18，小数部分为；
，其整数部分为22，小数部分为；
，其整数部分为26，小数部分为；
…
，
∴①，故①正确；
②a2025的小数部分为，故②正确；
③，故③错误；
④
=
=
=
=
=
=
=
故④正确，
故答案为：C.
【分析】根据定义分别求出，从而找到an的规律，再逐个判断即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八下·阿克苏月考）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先化简二次跟上，再合并同类二次根式即可．
12．（2025八下·惠州期末）最简二次根式与可以合并，则a= ．
【答案】3
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴，
解得：，
故答案为：3．
【分析】因为题干所给两个二次根式为最简二次根式，且二者可以合并，所以它们的被开方数相等，即2a-1=5，所以可以求得a的值.
13．（2025八下·成华月考）已知，求代数式的值是 ．
【答案】14
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：14．
【分析】利用提公因式法和平方差公式计算求解即可.
14．若 则A B(填“>”“<”或“=”).
【答案】>
【知识点】实数的大小比较；分母有理化
【解析】【解答】解：∵===，
又，
∴>5-4=1，
即A>B，
故答案为：>.
【分析】先对A进行分母有理化进行化简并估算，再与B对比即可.
15．（2024八下·平湖期末）已知，则的值为 ．
【答案】32
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
∴，
故答案为：32．
【分析】先将，b分母有理化，再将代数式配方，然后代入求解．
16．（2025八下·海曙期中）定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：若多项式，，，（是实数）是一组黄金多项式，有三种情况，
①
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时：舍去，
②
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时，符合题意；
③
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时；
综上所述，的值为．
故答案为：
【分析】
按照新定义的概念分三种情况进行讨论，即：①；②；③，再进一步计算并检验即可.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024八下·城厢月考）计算
（1）；（2）
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先把每个二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算即可；
（2）先利用平方差公式、完全平方公式进行去括号，然后进行二次根式的加减运算即可.
18．在数学课上，老师将一个长方形纸片的长增加 ，宽增加7 cm，就得到一个面积为 192 cm2 的正方形纸片，求原长方形纸片的面积.
【答案】解：∵面积为192 cm2的正方形纸片的边长为8 cm，
∴原长方形纸片的长为8-2=6(cm)，宽为8-7=(cm)，
∴原长方形纸片的面积为6×=18(cm2).
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的实际应用；二次根式的乘法
【解析】【分析】根据正方形面积得其边长，再根据题意确定长方形的长与宽，从而计算其面积.
19．如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD（i=CE：ED，单位：m）.
【答案】解：如图，过点B作BF⊥AD于点F，则BF=CE=4 m，EF=BC=4.5 m.
在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF===3(m).
在Rt△CED中，根据i=，
可知ED===4(m)，
则 AD=AF+EF+ED=3+4.5+4=(7.5+4)m.
答：坝底宽AD为(7.5+4)m.
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】根据勾股定理得AF的长，根据坡比i的值计算得ED的长，从而计算坝底宽AD的长.
20．（2025八下·朝阳期末）已知，，求代数式的值．
【答案】解：∵，，
∴，，
∴
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】根据，，先求出、，然后再对原式因式分解得到
，最后整体代入计算即可．
21．（2024八下·合江月考）先化简，再求值： 其中
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先对括号中异分母分式通分并进行加法运算，再化除法为乘法，再对分子分母分别分解因式并约分，再把结果化为最简分式或整式，最后再把值代入计算即可．
22．（2025八下·义乌月考）配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题：
（1）已知：，求的值；
（2）已知：，，求的值；
（3）已知：，，，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴.
（2）解：，，
，
，
∴
．
（3）解：∵，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）运用完全平方公式的变形求解；
（2）分别求出再求出的值，然后配成完全平方，接着代入求值；
（3）将变形为完全平方：，再整体代入求解．
（1）解：∵，
∴；
（2）解：，，
，
，
则
．
（3）解：∵，，
∴．
23．阅读学习：
计算：
可以用下面的方法解决上面的问题：
利用上面的方法解决下列问题：
（1）计算：
（2）当 n= 时，等式 成立.
【答案】（1）解：原式=(-)+(-)+(-)+…+(-)
=(1-)+(-)+(-)+…+(-)
=1-
=.
（2）1
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：(2)∵++=，
∴-+-+-=，
∴=，
解得n=1.
故答案为：1.【分析】（1）将算式中每一项进行裂项相消计算即可.
（2）对进行化简得=，解出n的值即可.
24．（2024八下·安次月考）嘉琪在学习《二次根式》时，发现一些含有根号的式子也可以写成完全平方式的形式，如，善于思考的嘉琪进行了如下探索：
设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．
所以．这样，嘉琪找到了把类似的式子化为完全平方式的方法请你仿照嘉琪的方法探索并解决问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a和b；
（2）利用所探索的结论，找一组满足（1）中关系式的正整数a，b．m．n；
（3）若．且a，b，m，n均为正整数，求a的值．
【答案】（1）解：
（2）解：答案不唯一，如
提示：利用逆推，先确定m，n的值，再确定a，b的值，
选，则
（3）解：由可得，即
a，m，n均为正整数，
或
当时，；
当时，
综上，a的值为13或7．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式展开得到a+b=m2+3n2+2mn，从而可分别用m、n表示a、b；
（2）由（1）得a=m2+3n2，b=2mn，
先确定符合条件m、n的值，分别在求出a、b的值即可解决（答案不唯一）
（3）由于a=m2+3n2，b=2mn=4，则mn=2．利用有理数的整除性得到m=1，n=2或m=2，n=1．然后计算出对应的a的值。
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