第1章 二次根式章节过关（基础)—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八下·三台月考）下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八下·海淀期中）以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，2， B．1，，2 C．3，6，7 D．6，8，12
3．（2025八下·三台月考）下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·拱墅期末）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八下·梓潼期中）估计的值在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
6．（2025八下·三台月考）如果实数满足，那么点在（ ）
A．第二象限 B．第四象限
C．第二象限或坐标轴上 D．第四象限或坐标轴上
7．（2025八下·象山竞赛）已知，，则用a，b表示为（ ）
A． B． C． D．
8． 计算 ， 结果是( )
A． B．-1 C． D．
9．（新人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除 同步训练）已知 是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
10．（2020八下·龙口期中）设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八下·诸暨期末）代数式中x的取值范围是 .
12．（2023八下·嘉鱼期末）当 时，和两个最简二次根式是同类二次根式．
13．一块面积为5 m2 的正方形桌布，其边长为 m，这个边长 （填“是”或“不是”）二次根式.
14． 如图，在一次春游活动中，某中学八(1)班学生从A 地出发，沿北偏东 52°方向走了600 m到达 B地，然后由 B 地沿北偏西38°方向走了( 到达目的地点C，则A，C两地之间的距离为 .
15．（2024八下·西城期中）已知，那么的值为 ．
16．（2024八下·黄陂期中） 任意一个二次根式（为正整数），都可以进行这样的分解：（都是正整数，且），在的所有这种分解中，若最小，我们就称是的最佳分解，并记为：．例如可以分解成或，显然是的最佳分解，此时．若正整数满足，，且，则的值为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17． 计算：
（1）
（2）
18．如图，在等边三角形ABC中，CD⊥AB 于点 D.若 求CD的长.
19．婷婷对“化简： 的解答过程如下：
解：原式 2=12.
婷婷的解答过程是否正确 若正确，请你再写出一种解答过程；若不正确，请你写出正确的解答过程.
20．化简：
（1）
（2）
21．（2025八下·临海期中）已知，求的值．
22．（2025八下·三台月考）石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米．
（1）求长方形空闲地块的周长．
（2）除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元
23．（2025八下·柳江期中）我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：．
在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析：
小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较；
小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系．
根据小智与小慧的思路，请解答下列问题：
（1）填空：
∵ ， ，
∴，
∴．
（2）如图，以，，为三边构造△ABC．
①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由；
②根据图形直接写出与的大小关系．
24．（2024八下·惠城期中）阅读理解：
[材料一]两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，．
[材料二]小明在学习了上述材料后，结合所学知识，灵活解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
请你根据材料中的方法，探索并解决下列问题：
（1）的一个有理化因式是______，分母有理化：______；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A、的被开方数是负数，故不是二次根式；
B、是二次根式；
C、的根指数是3，故不是二次根式；
D、当a，b异号时，不是二次根式.
故答案为：B．
【分析】 形如“”的式子叫二次根式，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故B符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意．
故选：B
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、，故此选项不成立；
B、， 故此选项不成立 ；
C、， 故此选项不成立 ；
D、， 故此选项成立 .
故答案为：D．
【分析】根据“”可判断、B、C三个选项；根据“”可判断D选项.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解： ，
未知数项的系数化为1，得.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，在等式的两边都除以未知数项的系数“”将未知数项的系数化为1，结合二次根式的除法法则计算可得答案.
5．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
；
∵，
∴，
∴
∴，
即在4到5之间．
故答案为：B．
【分析】
，再根据二次根式的乘法法则：进行化简，再通过比较被开方数与完全平方数的大小，利用算术平方根的性质估算的范围，进而确定整个式子的取值范围，由此可得出答案．
6．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴b≥0，a≤0
∴在第二象限或坐标轴上．
故答案为：C．
【分析】根据根据二次根式的双重非负性得出b≥0且-ab≥0，根据不等式的性质得出a≤0，然后根据点的坐标与象限的关系即可判断得出答案.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：.
故选：D.
【分析】转化为，然后替换为a，b即可解题.
8．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的混合运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据，把与成，再依据计算，再计算与后一个因式相乘即可。
9．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】解答：由题意是正整数所以 >0，且n为整数，所以12－n>0，所以n<12，所以n最大取11，故选B
分析：利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程
10．【答案】B
【知识点】代数式求值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由于根号下的数要是非负数，
∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，
a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
=0，
所以有x=-y，
即：y=-x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x=-y代入原式得：
原式= ．
故答案为：B．
【分析】根据根号下的数是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案。
11．【答案】x≥-1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴，即.
故答案为：.
【分析】依据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；通过解，即可得出答案.
12．【答案】3
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵和两个最简二次根式是同类二次根式，
∴，
解得：．
故答案为3．
【分析】同类二次根式：化简为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，故能得出，求解可得出x的值．
13．【答案】；是
【知识点】二次根式的概念；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a（a>0），
根据题意知：a2=5，
∴a=（a=-舍去），
∴正方形边长是，是二次根式.
故答案为：；是.
【分析】根据正方形面积公式列式，进行开方运算得边长，再根据二次根式的定义作答.
14．【答案】1800m
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理
【解析】【解答】解：
如图，连结AC
根据题意，得∠DAB=52°，∠EBC=38°.
∵EF∥AD，
∴∠FBA=∠DAB=52°，
∴∠ABC=180°-(∠EBC+∠FBA)=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=====×=600×3=1800(m).
故A，C两地之间的距离为1800 m.
故答案为：1800m.
【分析】根据题意得Rt△ABC，再根据勾股定理计算出AC的长.
15．【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：1．
【分析】先根据绝对值以及算术平方根的非负性得到的值，然后代入求值计算即可．
16．【答案】或
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，其中k为正整数，
则m=20k2，
∵20∴m=20，
∵F(n)=1，
∴n为一个正整数的平方数，
∵20∴0∴n=1或4，
n=1时，，
n=4时，
故答案为：或 .
【分析】可设，其中k为正整数，由2017．【答案】（1）解：原式=2-2+3=3
（2）解：原式= + -2=2+-2=
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】⑴先将算式中各二次根式化为最简二次根式，再进行计算即可.
⑵先将算式中各二次根式化为最简二次根式，再进行计算即可
18．【答案】解：∵△ABC为等边三角形，AB=，CD⊥AB，
∴AC=AB=，AD=AB=.
在Rt△ADC中，由勾股定理，得CD====
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；二次根式的除法
【解析】【分析】根据等边三角形三线合一性质得AD的长，再根据勾股定理计算CD的长.
19．【答案】解：婷婷的解答过程正确.
另一种解答过程如下：
×===12
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的性质化简求值即可.
20．【答案】（1）解：==-m
（2）解：原式=
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】⑴先确定m的符号，再对进行化简，注意.
⑵先确定b的符号，再根据及进行化简.
21．【答案】解：∵，∴．
又∵，∴，
∴，，
∴
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求出a的值，然后得到b的值，代入计算解题即可.
22．【答案】（1）解： （米），
∴长方形的周长为米．
（2）解：通道的面积为：（平方米）
，购买地砖的花费为：（元），
∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费1400元．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）根据长方形的周长等于长加宽的和乘以2列式计算即可；
（2）先利用长方形面积公式结合长方形空地的面积减去绿地面积等于通道面积列出算式，根据二次根式混合运算法则计算出通道面积，最后用通道面积乘以地砖的单价即可．
（1）解： （米），
∴长方形的周长为米．
（2）解：通道的面积为：（平方米），
购买地砖的花费为：（元），
∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费1400元．
23．【答案】（1）18；10
（2）①为直角三角形；理由：
∵，
∴为直角三角形；
②
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算；三角形三边关系；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
，
故答案为：18，10；
（2）②
∴．
【分析】（1）根据完全平方公式，结合二次根式混合运算即可求出答案.
（2）①根据勾股定理逆定理即可求出答案.
②根据三角形三边关系即可求出答案.
（1）解：∵，
，
故答案为：18，10；
（2）①为直角三角形；理由：
∵，
∴为直角三角形；
②
∴．
24．【答案】（1），
（2）解：
．
（3）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】∵，
∴的一个有理化因式是，
∵，
故答案为：，．
【分析】
（1）根据有理化因式的定义，需要找到一个代数式与相乘后结果不含二次根式。显然，自身就是一个满足条件的代数式，
；
（2）根据分母有理化的方法，将分子分母同时乘以分母的有理化因 式化简后，再 计算即可；
（3）根据有理化因式的定义将a化简，然后代入代数式进行计算即可．
1 / 1第1章 二次根式章节过关（基础)—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八下·三台月考）下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A、的被开方数是负数，故不是二次根式；
B、是二次根式；
C、的根指数是3，故不是二次根式；
D、当a，b异号时，不是二次根式.
故答案为：B．
【分析】 形如“”的式子叫二次根式，据此逐一判断得出答案.
2．（2025八下·海淀期中）以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，2， B．1，，2 C．3，6，7 D．6，8，12
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故B符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意．
故选：B
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025八下·三台月考）下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、，故此选项不成立；
B、， 故此选项不成立 ；
C、， 故此选项不成立 ；
D、， 故此选项成立 .
故答案为：D．
【分析】根据“”可判断、B、C三个选项；根据“”可判断D选项.
4．（2023八下·拱墅期末）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解： ，
未知数项的系数化为1，得.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，在等式的两边都除以未知数项的系数“”将未知数项的系数化为1，结合二次根式的除法法则计算可得答案.
5．（2025八下·梓潼期中）估计的值在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
；
∵，
∴，
∴
∴，
即在4到5之间．
故答案为：B．
【分析】
，再根据二次根式的乘法法则：进行化简，再通过比较被开方数与完全平方数的大小，利用算术平方根的性质估算的范围，进而确定整个式子的取值范围，由此可得出答案．
6．（2025八下·三台月考）如果实数满足，那么点在（ ）
A．第二象限 B．第四象限
C．第二象限或坐标轴上 D．第四象限或坐标轴上
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴b≥0，a≤0
∴在第二象限或坐标轴上．
故答案为：C．
【分析】根据根据二次根式的双重非负性得出b≥0且-ab≥0，根据不等式的性质得出a≤0，然后根据点的坐标与象限的关系即可判断得出答案.
7．（2025八下·象山竞赛）已知，，则用a，b表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：.
故选：D.
【分析】转化为，然后替换为a，b即可解题.
8． 计算 ， 结果是( )
A． B．-1 C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的混合运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据，把与成，再依据计算，再计算与后一个因式相乘即可。
9．（新人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除 同步训练）已知 是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】解答：由题意是正整数所以 >0，且n为整数，所以12－n>0，所以n<12，所以n最大取11，故选B
分析：利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程
10．（2020八下·龙口期中）设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】代数式求值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由于根号下的数要是非负数，
∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，
a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
=0，
所以有x=-y，
即：y=-x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x=-y代入原式得：
原式= ．
故答案为：B．
【分析】根据根号下的数是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八下·诸暨期末）代数式中x的取值范围是 .
【答案】x≥-1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴，即.
故答案为：.
【分析】依据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；通过解，即可得出答案.
12．（2023八下·嘉鱼期末）当 时，和两个最简二次根式是同类二次根式．
【答案】3
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵和两个最简二次根式是同类二次根式，
∴，
解得：．
故答案为3．
【分析】同类二次根式：化简为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，故能得出，求解可得出x的值．
13．一块面积为5 m2 的正方形桌布，其边长为 m，这个边长 （填“是”或“不是”）二次根式.
【答案】；是
【知识点】二次根式的概念；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a（a>0），
根据题意知：a2=5，
∴a=（a=-舍去），
∴正方形边长是，是二次根式.
故答案为：；是.
【分析】根据正方形面积公式列式，进行开方运算得边长，再根据二次根式的定义作答.
14． 如图，在一次春游活动中，某中学八(1)班学生从A 地出发，沿北偏东 52°方向走了600 m到达 B地，然后由 B 地沿北偏西38°方向走了( 到达目的地点C，则A，C两地之间的距离为 .
【答案】1800m
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理
【解析】【解答】解：
如图，连结AC
根据题意，得∠DAB=52°，∠EBC=38°.
∵EF∥AD，
∴∠FBA=∠DAB=52°，
∴∠ABC=180°-(∠EBC+∠FBA)=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=====×=600×3=1800(m).
故A，C两地之间的距离为1800 m.
故答案为：1800m.
【分析】根据题意得Rt△ABC，再根据勾股定理计算出AC的长.
15．（2024八下·西城期中）已知，那么的值为 ．
【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：1．
【分析】先根据绝对值以及算术平方根的非负性得到的值，然后代入求值计算即可．
16．（2024八下·黄陂期中） 任意一个二次根式（为正整数），都可以进行这样的分解：（都是正整数，且），在的所有这种分解中，若最小，我们就称是的最佳分解，并记为：．例如可以分解成或，显然是的最佳分解，此时．若正整数满足，，且，则的值为 ．
【答案】或
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，其中k为正整数，
则m=20k2，
∵20∴m=20，
∵F(n)=1，
∴n为一个正整数的平方数，
∵20∴0∴n=1或4，
n=1时，，
n=4时，
故答案为：或 .
【分析】可设，其中k为正整数，由20三、解答题（共8题，共72分）
17． 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=2-2+3=3
（2）解：原式= + -2=2+-2=
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】⑴先将算式中各二次根式化为最简二次根式，再进行计算即可.
⑵先将算式中各二次根式化为最简二次根式，再进行计算即可
18．如图，在等边三角形ABC中，CD⊥AB 于点 D.若 求CD的长.
【答案】解：∵△ABC为等边三角形，AB=，CD⊥AB，
∴AC=AB=，AD=AB=.
在Rt△ADC中，由勾股定理，得CD====
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；二次根式的除法
【解析】【分析】根据等边三角形三线合一性质得AD的长，再根据勾股定理计算CD的长.
19．婷婷对“化简： 的解答过程如下：
解：原式 2=12.
婷婷的解答过程是否正确 若正确，请你再写出一种解答过程；若不正确，请你写出正确的解答过程.
【答案】解：婷婷的解答过程正确.
另一种解答过程如下：
×===12
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的性质化简求值即可.
20．化简：
（1）
（2）
【答案】（1）解：==-m
（2）解：原式=
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】⑴先确定m的符号，再对进行化简，注意.
⑵先确定b的符号，再根据及进行化简.
21．（2025八下·临海期中）已知，求的值．
【答案】解：∵，∴．
又∵，∴，
∴，，
∴
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求出a的值，然后得到b的值，代入计算解题即可.
22．（2025八下·三台月考）石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米．
（1）求长方形空闲地块的周长．
（2）除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元
【答案】（1）解： （米），
∴长方形的周长为米．
（2）解：通道的面积为：（平方米）
，购买地砖的花费为：（元），
∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费1400元．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）根据长方形的周长等于长加宽的和乘以2列式计算即可；
（2）先利用长方形面积公式结合长方形空地的面积减去绿地面积等于通道面积列出算式，根据二次根式混合运算法则计算出通道面积，最后用通道面积乘以地砖的单价即可．
（1）解： （米），
∴长方形的周长为米．
（2）解：通道的面积为：（平方米），
购买地砖的花费为：（元），
∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费1400元．
23．（2025八下·柳江期中）我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：．
在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析：
小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较；
小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系．
根据小智与小慧的思路，请解答下列问题：
（1）填空：
∵ ， ，
∴，
∴．
（2）如图，以，，为三边构造△ABC．
①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由；
②根据图形直接写出与的大小关系．
【答案】（1）18；10
（2）①为直角三角形；理由：
∵，
∴为直角三角形；
②
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算；三角形三边关系；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
，
故答案为：18，10；
（2）②
∴．
【分析】（1）根据完全平方公式，结合二次根式混合运算即可求出答案.
（2）①根据勾股定理逆定理即可求出答案.
②根据三角形三边关系即可求出答案.
（1）解：∵，
，
故答案为：18，10；
（2）①为直角三角形；理由：
∵，
∴为直角三角形；
②
∴．
24．（2024八下·惠城期中）阅读理解：
[材料一]两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，．
[材料二]小明在学习了上述材料后，结合所学知识，灵活解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
请你根据材料中的方法，探索并解决下列问题：
（1）的一个有理化因式是______，分母有理化：______；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
【答案】（1），
（2）解：
．
（3）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】∵，
∴的一个有理化因式是，
∵，
故答案为：，．
【分析】
（1）根据有理化因式的定义，需要找到一个代数式与相乘后结果不含二次根式。显然，自身就是一个满足条件的代数式，
；
（2）根据分母有理化的方法，将分子分母同时乘以分母的有理化因 式化简后，再 计算即可；
（3）根据有理化因式的定义将a化简，然后代入代数式进行计算即可．
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