中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025-2026学年八年级下数学第1章 二次根式 尖子生测试卷
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1． 计算 ， 结果是( )
A． B．-1 C． D．
2．若的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
3．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，，，如的整数部分为，小数部分为所以根据以上信息，下列说法正确的有( )
；
的小数部分为；
；
．
A．个 B．个 C．个 D．个
4． a，b为有理数，且满足等式 ，则a+b 的值为( ).
A．2 B．4 C．6 D．8
5．表示不大于x的最大整数，如，，，则的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
6．已知两个二次根式：，（），将这两个二次根式进行如下操作：
第一次操作：将与的和记为，差记为；第二次操作：将与的和记为，差记为；第三次操作：将与的和记为，差记为；…；以此类推．下列说法：
①当时，；②；③（n为自然数）．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．记，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数a满足条件 ，那么 的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
9．已知：m， n是两个连续自然数（mA．总是奇数 B．总是偶数
C．有时奇数，有时偶数 D．有时有理数，有时无理数
10．如图，在中，，从点射出的光线经过、反射恰好回到点，根据光的反射性质，有，，连结．若，以下结论正确的是（ ）
①，②，③，④平分．
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．小明用图 R6-22①所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状(如图②).若A，B，C三点共线且点D，A，E，F在矩形的边上，则矩形的长与宽之比为 .
12．已知，，则 .
13．如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例：，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则 ．
14．
（1）已知a<0，化简 .
（2）当 1≤x≤2 时，经化简， .
15．小明在解方程时采用了下面的方法：
由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则 ．
16．如图，在四边形中，，且，，，．则边的长是 ．
三、解答题（本题有8小题，每题10分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．（1）设实数x，y 满足 求x+y的值.
（2）已知实数x，y 满足 求 的值.
18．（1）已知方程①+=，②++=3请判断这两个方程是否有解 并说明理由；
（2）已知+=2023，求的值。
19．嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律：
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）．
（2）观察、归纳，得出猜想：
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．
（3）证明你的猜想；
（4）应用运算规律：
①化简：______；
②若（a，b均为正整数），则的值为______．
20．【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：
，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简；
例如：化简；
且，
，
，
由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
【方法运用】
（1）填空：①__________；②__________；
【方法应用】
（2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长；
【迁移运用】
（3）已知为常数（），满足，求的值．
21．【阅读材料】当，时，
，，
【获得结论】
当，时，；
当且仅当时，等号成立，即；
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用．
【应用举例】
例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为
【解决问题】
（1）函数，y的最小值为 ，此时， ．
（2）当时，的最小值为 ，此时， ．
（3）如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为 时，所用的篱笆的总长度最短，最短为 米．
22．在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：；
方法二：；
（1）请用以上两种方法化简：；
（2）计算：；
（3）若，求的值.
23．先阅读，再解答问题：
恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.
例如：当时，求的值.
为解答这道题，若直接把代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.
方法：将条件变形，因，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.
由，可得，即，.
原式.
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）若，求的值；
（2）已知，求的值.
24．（1）问题再现
学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 ；
（2）应用
如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是 ；
（3）类比迁移
已知a，b均为正数，且，求的最大值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025-2026学年八年级下数学第1章 二次根式 尖子生测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1． 计算 ， 结果是( )
A． B．-1 C． D．
【答案】C
【解析】
故答案为：C.
2．若的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【解析】
或
当时，，则原式；
当时，，则原式；
故答案为：D.
3．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，，，如的整数部分为，小数部分为所以根据以上信息，下列说法正确的有( )
；的小数部分为；；
．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】∵的整数部分为2，小数部分为，
根据题意得，其整数部分为6，小数部分为；
，其整数部分为10，小数部分为；
，其整数部分为14，小数部分为；
，其整数部分为18，小数部分为；
，其整数部分为22，小数部分为；
，其整数部分为26，小数部分为；
…
，
∴①，故①正确；
②a2025的小数部分为，故②正确；
③，故③错误；
④
=
+
=
=
=
=
=
=
故④正确，
故答案为：C.
4． a，b为有理数，且满足等式 ，则a+b 的值为( ).
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为： B.
5．表示不大于x的最大整数，如，，，则的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【解析】∵，，，…，
∴
=
=
，
∴=
；
故答案为：D.
6．已知两个二次根式：，（），将这两个二次根式进行如下操作：
第一次操作：将与的和记为，差记为；第二次操作：将与的和记为，差记为；第三次操作：将与的和记为，差记为；…；以此类推．
下列说法：①当时，；②；③（n为自然数）．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由题意得：
，；
，；
，；
，；
，；
，；
，；
，；
，；
，；
，；
，，
∴当时，
，
∴①的说法正确；
由以上计算可知：，
∴②的说法正确；
∵；
；
；
…
∵
∴③的说法正确，
综上可知：正确的个数为3个，
故答案为：D．
7．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
，
，
，
，
，
则
故答案为：D.
8．已知实数a满足条件 ，那么 的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
【答案】C
【解析】∵ 有意义，
∴a-2012≥0，∴a≥2012，
∴2011-a＜0，∴ ，∴
∴a-2012=20112，∴a-20112=2012.
故答案为：C.
9．已知：m， n是两个连续自然数（mA．总是奇数 B．总是偶数
C．有时奇数，有时偶数 D．有时有理数，有时无理数
【答案】A
【解析】m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1，
∵q=mn，
∴q=m（m+1)，
∴q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2，q-m=m（m+1)-m=m2，
∴
=m+1+m=2m+1，
即p的值总是奇数．
故选A．
10．如图，在中，，从点射出的光线经过、反射恰好回到点，根据光的反射性质，有，，连结．若，以下结论正确的是（ ）
①，②，③，④平分．
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【解析】设，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∴，，
假设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，此时与重合，不符合题意，
故②错误；
如图，作交延长线于，过作交于，交延长线于，则，，
∵，，，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
故④正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵中，，
∴，解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，
综上所述，正确的有①③④．
故选：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．小明用图 R6-22①所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状(如图②).若A，B，C三点共线且点D，A，E，F在矩形的边上，则矩形的长与宽之比为 .
【答案】
【解析】如图，线段MN的长度即为矩形的长，DP的长度即为矩形的宽，
设AB=a，可得
∵
∴，
∴矩形的长与宽之比为
故答案为： .
12．已知，，则 .
【答案】123
【解析】 ，，
，，
.
同理，
，
观察发现规律：，
，
，
，
，
，
.
故答案为：123.
13．如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例：，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则 ．
【答案】33或127
【解析】“神奇区间”为，
、为连续正整数，
，其中，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，
符合条件的，有，，；，，．
①当，，时，
∴，，
则=33，
当，，时，
∴，，
则=127，
故的值为或，
故答案为：或．
14．（1）已知a<0，化简 .
（2）当 1≤x≤2 时，经化简， .
【答案】（1）-2 （2）2
【解析】（1）原式，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：-2；
（2）原式，
∵，
∴原式，
故答案为：2.
15．小明在解方程时采用了下面的方法：
由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则 ．
【答案】39
【解析】∵
，
而，
∴，
两式相减得，即，
两边平方得到，
∴，经检验是原方程的解，
故答案为：．
16．如图，在四边形中，，且，，，．则边的长是 ．
【答案】
【解析】如图所示，
将绕点逆时针旋转，得到，交于点，则
∵，
∴点旋转后与点重合，
则
∴，，，
∴是等腰直角三角形，则，
设
∴，
在中，
在中，，
在中，
∴
设，则
∴
解得：
∴
在中，
∴
在中，，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，每题10分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．
（1）设实数x，y 满足 求x+y的值.
（2）已知实数x，y 满足 求 的值.
【答案】（1）解：∵，，
∴①，
∵，，
∴②，
∴①+②得：，
整理得：，
∴
（2）解：∵，，
∴①，
∵，，
∴②，
①＋②得：，
整理得：，
∴，
∴原式
18．
（1）已知方程①+=，②++=3请判断这两个方程是否有解 并说明理由；
（2）已知+=2023，求的值。
【答案】（1）解：理由是：①由x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023∵x≥2023，∴+的最小值为>，方程①无解
②由 x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024当x≥2024时，
++的最小值为+1<3，：方程有解
（2）解：+=2023 (1)
设=y (2)
由(1)×(2)得到：(3x+2023)-（3x-2023）=2023y∴y=2
19．嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律：特例1：，
特例2：，特例3：，
特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）．
（2）观察、归纳，得出猜想：
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．
（3）证明你的猜想；
（4）应用运算规律：
①化简：______；
②若（a，b均为正整数），则的值为______．
【答案】（1）；（答案不唯一）
（2）
（3）解：，
等式左边等式右边；
（4）①；②18
【解析】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：，
故答案为：；
（2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：，
故答案为：；
（4）①解：．
故答案为：
②，
，
，
．
故答案为：18
20．【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：
，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简；
例如：化简；
且，
，
，
由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
【方法运用】
（1）填空：①__________；②__________；
【方法应用】
（2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长；
【迁移运用】
（3）已知为常数（），满足，求的值．
【答案】解：（1）①；②；
（2）由题可知，新正方形花圃面积为（平方米），
，
则新正方形花圃的边长为米；
（3）∵，
∴，
∴，
∴．
∴
===，
∴的值为．
【解析】（1）
①；
②；
故答案为：；；
21．【阅读材料】当，时，
，，
【获得结论】
当，时，；
当且仅当时，等号成立，即；
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用．
【应用举例】
例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为
【解决问题】
（1）函数，y的最小值为 ，此时， ．
（2）当时，的最小值为 ，此时， ．
（3）如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为 时，所用的篱笆的总长度最短，最短为 米．
【答案】（1）6；3
（2）；
（3）10；40
【解析】（1）根据题意得：当时，
，
，
当且仅当，即时，有最小值，最小值为
故答案为：6；
（2）根据题意得：当时，
，
，
当且仅当，即时，有最小值，最小值为
故答案为：；
（3）如图，
设米，则米，
篱笆的总长度
，
，
当且仅当，即时，有最小值，最小值为
∴当这个矩形花园的宽为米时，所用的篱笆的总长度最短，最短为米．
故答案为：；
22．在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：；
方法二：；
（1）请用以上两种方法化简：；
（2）计算：；
（3）若，求的值.
【答案】（1）解：方法一：
方法二：
（2）解：由题意可得：
=
=
（3）解：
23．先阅读，再解答问题：
恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.
例如：当时，求的值.
为解答这道题，若直接把代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.
方法：将条件变形，因，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.
由，可得，即，.
原式.
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）若，求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：∵，
∴x＋1＝，
∴（x＋1）2＝2，即x2＋2x＋1＝2，
∴x2＋2x＝1，
∴原式＝2x（x2＋2x） 3x＋1＝2x 3x＋1＝ x＋1＝ （ 1）＋1＝2 ；
（2）解：∵，
∴x 2＝，
∴（x 2）2＝3，
即x2 4x＋4＝3，
∴x2 4x＝ 1或x2＝4x 1，
∴原式＝＝（16x2 8x＋1 4x2＋x 36x＋9 5x＋5）
＝ [12（4x 1） 48x＋15]＝（48x 12 48x＋15）＝×3＝.
24．（1）问题再现
学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 ；
（2）应用
如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是 ；
（3）类比迁移
已知a，b均为正数，且，求的最大值．
【答案】（1）；（2）；
（3）解：模仿（1）可知，构造图形如下：
矩形中，于C，，，，，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
∴，
即的值最大，就是的值最大，
∵，
∴的最大值为，
过点D作于点G，
则，，
在中，由勾股定理，得，
故的最大值为．
【解析】（1）如图，，，
由勾股定理，得，
∴的最小值是 13，
故答案为：13；
（2）如图，
设这4个全等直角三角形的短边为x，则，，
由勾股定理，得，
由勾股定理，得，
则，
构造图形如下：
∵，，，
设，则，
可得，，
∴，
∴的最小值为的长，
过点M作交延长线于Q，则，，
∴，，
∴，
由勾股定理，
∴的最小值为，
故答案为：；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
