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分课时学案
课题 1.3二次根式的运算第1课时 单元 一 学科 数学 年级 八
学习 目标 1.掌握二次根式的乘除运算法则，能正确进行根式乘除运算；能规范将运算结果化为最简二次根式，实现分母不含根式； 2.经历“法则推导—基础运算—拓展应用”的过程，提升运算求解与策略选择能力； 3.发展运算素养与推理意识，建立“法则应用—策略优化—结果规范”的运算思维； 4.感受二次根式运算的实用性，培养规范运算、细致严谨的习惯，激发对复杂根式运算的探究兴趣。
重点 1.掌握二次根式的乘除运算法则，能正确进行简单的根式乘除运算； 2.规范运算结果，确保化为最简二次根式(分母不含根式、根号内无开得尽方的因数或因式)。
难点 灵活选择运算策略(先运算再化简或先化简再运算)，解决含小数、幂、几何情境的复杂根式乘除问题，同时保证运算过程的严谨性与结果的规范性。
教学过程
导入新课 情景创设 要制作一个底面为正方形的长方体收纳盒，底面边长为厘米，高为厘米；另外要计算一个直角三角形木板的面积，两条直角边分别为厘米和厘米。 提问引导 1.计算长方体底面的面积和体积，直接用根式相乘如何计算？先化简再计算是否更简便？ 2.直角三角形的面积是多少？计算结果的根式形式是否符合 “最简” 要求？怎样规范二次根式的运算结果？
新知讲解 探究活动一：二次根式的乘除运算法则 如图，架在消防车上的云梯长为，，云梯底部与地面的距离为。你能求出云梯的顶端离地面的距离吗？ 总结归纳： 根据二次根式的性质，我们可以得到： _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 上述法则可以用于二次根式的乘除运算. 探究活动二：例题精讲 例1 计算： ； ； 探究活动三：二次根式乘除的应用 例3：如图1-2，一个正三角形图案边长为分米，求这个图案的面积。
课堂练习 课堂练习 1.下列运算错误的是( ) A. B. C. D. 2.下列各式中属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 3.下列二次根式中，最简二次根式是( ) A. B. C. D. 4.(1) ；(2) . 5.计算：①×＝ ，②＝ ，③＝ . 6.计算 7.设矩形的面积为S，相邻两边长分别为a、b，对角线长为l，已知S=2，b＝，求a和l. 8.观察下列各式： ， ， ，…，请你将发现的规律用含自然数 的形式表示出来，并证明.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？
作业设计 基础达标： 1. 的值是 ( ) A. 2.下列计算正确的是 ( ) A.=±2 B. C. D. 3.下列等式不成立的是 ( ) A. C. 4.计算的结果是 ( ) A. 5.长方形的面积为4，一条边的长为，则其邻边的长为 ( ) A. 能力提升： 6.解方程： (1)3=0； (2)3(x-1)=. 7.长方体的体积为36，长为2，宽为，则它的高为多少 8.计算的结果为 ( ) A. C.2 D.4a 9.若=3，则m= . 10.计算：2÷= . 拓展迁移： 11.若，则a-b= . 12.计算：4. 13. 阅读下列运算过程： ①， ② 数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”.模仿上述运算过程，完成下列各题： (1)； (2)。
情景创设：
1.底面面积：平方厘米；体积：立方厘米(或先化简无更优空间)；直角三角形直角边相乘：，先化简 ，再计算，两种方法均可行，先化简更易规避复杂计算；
2.三角形面积：平方厘米，运算结果需化为最简二次根式(如遇需化为)。
探究一：
解：设，则，
在中，由勾股定理得：
，
即：，
解得：，
即，
则，
答：云梯的顶端离地面的距离为。
例1：解：；
；
.
例2：解：如图1-2，作于点，则.
在Rt△ACD中，
.
所以(平方分米)。
答：这个图案的面积为平方分米.
课堂练习：
答案：1.C；2.D；3.B；4.；；5.；5；；
6. 解： .
7. 解：，
，
又由勾股定理：，
.
8. 【答案】解：上述式子的规用含自然数n(n为正整数)的代数式可表示为
∵左边= =右边
∴ .
作业设计：
答案：1.B .
2.C =2，所以A错误；
，所以B错误；
，所以C正确；
，所以D错误.
故选C.
3.C ，所以C中等式不成立.
4.C =1.
5.B 因为长方形的面积为4，一条边的长为，
所以其邻边的长为4.
6.解析 (1)3=0，
方程两边同时除以3，得x-1=0，
移项，得x=1.
(2)3(x-1)=，
即3(x-1)=3，
方程两边同时除以3，得x-1=，
移项，得x=+1.
7.解析 36÷2.
答：它的高为3.
8.C =2.
9.
解析 因为=3，
所以，所以m=.
10.
解析 原式=2×.
11.-4
解析 ∵，
∴a=2，b=6，∴a-b=2-6=-4.
12.解析 由题可知6a3≥0，≥0，≠0，∴a>0，
∴原式=4a
=4.
13.(1)解：原式.
(2)解：原式
＝＝=9.
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课题名称：1.3二次根式的运算第1课时
第一章：二次根式
初中数学
学习目标
经历“法则推导—基础运算—拓展应用”的过程，提升运算求解与策略选择能力；
02
掌握二次根式的乘除运算法则，能正确进行根式乘除运算；能规范将运算结果化为最简二次根式，实现分母不含根式；
01
发展运算素养与推理意识，建立“法则应用—策略优化—结果规范”的运算思维；
03
感受二次根式运算的实用性，培养规范运算、细致严谨的习惯，激发对复杂根式运算的探究兴趣。
04
提问引导：
1.正方形展示区的边长应该如何表示？这个表示形式与我们学过的算术平方根有什么关系？
2.圆形标语牌的半径可以表示为 ，这个式子有什么特点？它是否有意义？为什么？
情景创设
要制作一个底面为正方形的长方体收纳盒，底面边长为 厘米，高为 厘米；另外要计算一个直角三角形木板的面积，两条直角边分别为 厘米和 厘米。
1.计算长方体底面的面积和体积，直接用根式相乘如何计算？先化简再计算是否更简便？
1.底面面积：平方厘米；体积：立方厘米；直角三角形直角边相乘：，先化简 ，再计算，两种方法均可行，先化简更易规避复杂计算；
提问引导：
1.正方形展示区的边长应该如何表示？这个表示形式与我们学过的算术平方根有什么关系？
2.圆形标语牌的半径可以表示为 ，这个式子有什么特点？它是否有意义？为什么？
情景创设
要制作一个底面为正方形的长方体收纳盒，底面边长为 厘米，高为 厘米；另外要计算一个直角三角形木板的面积，两条直角边分别为 厘米和 厘米。
2.直角三角形的面积是多少？计算结果的根式形式是否符合 “最简” 要求？怎样规范二次根式的运算结果？
2.三角形面积：平方厘米，运算结果需化为最简二次根式(如遇需化为)。
探究新知
探究一：二次根式的乘除运算法则
解：设，则，
在中，由勾股定理得：，
即：，解得：，即，
则，
答：云梯的顶端离地面的距离为
如图，架在消防车上的云梯长为，，云梯底那与地面的距离为。你能求出云梯的顶端离地面的距离吗？
根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
探究新知
总结归纳：二次根式的乘除运算法则
根据二次根式的性质，我们可以得到：
上述法则可以用于二次根式的乘除运算.
；
.
探究新知
探究二：例题精讲
例1：计算； ； ；
解：；
；
.
根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
探究新知
强调：
二次根式运算的结果，应使所含的二次根式为最简二次根式，且分母中不含二次根式。
注意：不能写成.
探究新知
探究三：二次根式乘除的应用
解：如图1-2，作于点，则.
在Rt△ACD中，
.
所以(平方分米)。
答：这个图案的面积为平方分米.
例2：如图1-2，一个正三角形图案边长为分米，求这个图案的面积。
探究新知
方法总结：
几何情境中二次根式运算四步法：
① 明确几何公式(如面积、体积公式)；
② 代入含根式的已知条件；
③ 选择运算策略(先化简 / 先运算)；
④ 规范化为最简二次根式。
课堂练习
1.下列运算错误的是( )
A. B.
C. D.
2.下列各式中属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
C
D
B
课堂练习
4.(1) ；(2) .
5.计算：①×＝ ，②＝ ，③＝ .
6.计算
解：
，
.
课堂练习
7.设矩形的面积为S，相邻两边长分别为a、b，对角线长为l，已知S=2，b＝，求a和l.
解：，
，
又由勾股定理：，
.
课堂练习
8.观察下列各式： ， ， ，…，请你将发现的规律用含自然数 的形式表示出来，并证明.
解：上述式子的规用含自然数n(n为正整数)的代数式可表示为
∵左边= =右边
∴ .
课堂小结
知识点：
1.乘除运算法则：
乘法法则： ，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；
除法法则： ，即二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
2.运算核心要求：
先判断法则适用条件，再进行运算；
运算结果必须化为最简二次根式(根号内无分母、无开得尽方的因数或因式，分母不含根式)；
复杂题型优先选择 “先化简再运算”，降低计算难度。
3.实际应用：
能将几何求值、实际测量等问题转化为二次根式乘除运算，规范求解并检验结果。
知识梳理
作业设计
基础作业：
1. 的值是 ( )
A.
2.下列计算正确的是 ( )
A.=±2 B. C. D.
3.下列等式不成立的是 ( )
A. C.
B
C
C
课后提升
基础作业：
4.计算的结果是 ( )
A.
5.长方形的面积为4，一条边的长为，则其邻边的长为 ( )
A.
C
B
课后提升
提升作业：
6.解方程：； .
(1)3=0，
方程两边同时除以3，得x-1=0，
移项，得x=1.
(2)3(x-1)=，
即3(x-1)=3，
方程两边同时除以3，得x-1=，
移项，得x=+1.
课后提升
提升作业：
7.长方体的体积为36，长为2，宽为，则它的高为多少
解：由题意可列：
36÷2
.
答：它的高为3.
课后提升
提升作业：
8.计算的结果为 ( )
A. C.2 D.4a
9.若=3，则m= .
10.计算：= .
C
课后提升
拓展作业：
11.若，则 .
12.计算：4.
解：由题可知，
∴a>0，
原式=.
课后提升
拓展作业：
13. 阅读下列运算过程：
①，
②
数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”.模仿上述运算过程，完成下列各题：
(1)；
(2)。
课后提升
拓展作业：
(1)解：原式.
(2)解：原式
.
Thanks!
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1.3 二次根式的运算第1课时教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 1.3二次根式的运算第1课时 课时 1
课标要求 本节课需落实 “数与代数” 领域核心要求：引导学生掌握二次根式的乘除运算法则，能依据法则进行简单的根式乘除运算，发展运算素养与符号意识；理解运算与性质的关联，明确运算结果需化为最简二次根式(根号内无分母、无开得尽方的因数或因式)；通过 “法则应用 — 运算化简 — 实际建模” 的过程，培养数学运算与问题解决能力；体会二次根式运算在几何求值、实际问题中的应用价值，为后续根式加减运算、混合运算奠定基础，契合新课标 “强化运算规范，发展核心素养” 的导向。
教材分析 本节课是二次根式章节的核心运算课，承接前两课时的性质探究，聚焦“性质到运算的转化与应用”。教材以二次根式的乘除性质为逻辑起点，直接推导乘除运算法则，再通过分层例题(基础运算→含小数/幂的运算→几何求值)示范运算流程，明确“先运算再化简”或“先化简再运算”的灵活思路。内容编排遵循“性质—法则—应用”的递进逻辑，既强化性质的工具价值，又规范运算的步骤与结果要求，是连接二次根式性质与复杂运算的关键环节，体现新课标 “以运算为核心，以应用为目标” 的编写理念。
学情分析 学生已掌握二次根式的定义、核心性质及最简二次根式标准，能进行简单的性质应用与化简。但存在明显短板：一是法则应用不灵活，易机械套用公式，不会根据题型选择 “先化简再运算”(如先化简再计算更简便)；二是运算结果不规范，如未将化为，或分母含根式未有理化；三是结合几何求值时，难以将实际问题转化为根式运算(如求直角三角形边长)，个体差异集中在 “运算策略选择” 与 “结果规范化简” 上。
教学目标 1.掌握二次根式的乘除运算法则，能正确进行根式乘除运算；能规范将运算结果化为最简二次根式，实现分母不含根式； 2.经历“法则推导—基础运算—拓展应用”的过程，提升运算求解与策略选择能力； 3.发展运算素养与推理意识，建立“法则应用—策略优化—结果规范”的运算思维； 4.感受二次根式运算的实用性，培养规范运算、细致严谨的习惯，激发对复杂根式运算的探究兴趣。
教学重点 1.掌握二次根式的乘除运算法则，能正确进行简单的根式乘除运算； 2.规范运算结果，确保化为最简二次根式(分母不含根式、根号内无开得尽方的因数或因式)。
教学难点 灵活选择运算策略(先运算再化简或先化简再运算)，解决含小数、幂、几何情境的复杂根式乘除问题，同时保证运算过程的严谨性与结果的规范性。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 情景创设 要制作一个底面为正方形的长方体收纳盒，底面边长为厘米，高为厘米；另外要计算一个直角三角形木板的面积，两条直角边分别为厘米和厘米。 提问引导 1.计算长方体底面的面积和体积，直接用根式相乘如何计算？先化简再计算是否更简便？ 2.直角三角形的面积是多少？计算结果的根式形式是否符合 “最简” 要求？怎样规范二次根式的运算结果？ 预设答案 1.底面面积：平方厘米；体积：立方厘米(或先化简无更优空间)；直角三角形直角边相乘：，先化简 ，再计算，两种方法均可行，先化简更易规避复杂计算； 2.三角形面积：平方厘米，运算结果需化为最简二次根式(如遇需化为)。 结合长方体收纳盒制作、直角三角形面积计算的实际情景设问，引导学生对比 “直接运算” 与 “先化简再运算” 的优劣，引出二次根式乘除运算法则的探究需求。 尝试用已有知识计算根式乘积 / 商，感受不同运算顺序的差异，产生对规范运算法则的需求。 衔接几何求值的实际应用，激发运算探究兴趣，建立 “运算策略选择” 的初步意识，契合新课标 “运算服务于实际问题” 的导向。
探究活动一：二次根式的乘除运算法则 如图，架在消防车上的云梯长为，，云梯底部与地面的距离为。你能求出云梯的顶端离地面的距离吗？ 解：设，则， 在中，由勾股定理得： ， 即：， 解得：， 即， 则， 答：云梯的顶端离地面的距离为。 总结归纳： 根据二次根式的性质，我们可以得到： ; . 上述法则可以用于二次根式的乘除运算. 借助云梯高度求解的几何情境，引导学生推导乘除运算法则，强调法则的适用条件。 参与法则推导与验证，明确法则的形式与适用范围，尝试用法则解决基础运算问题。 经历 “情境建模 — 法则推导 — 初步应用” 的过程，培养逻辑推理素养，落实 “理解运算本质” 的新课标要求。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：例题精讲 例1 计算： ； ； 解：; ; . 注意：不能写成. 强调：二次根式运算的结果，应使所含的二次根式为最简二次根式，且分母中不含二次根式。 解析例题中 “先化简再运算”“先运算再化简” 的灵活选择，强调运算结果需化为最简二次根式（根号内无分母、无开得尽方的因数 / 因式，分母不含根式）。 跟随例题规范步骤完成运算，掌握结果化简的核心要点，纠正 “运算不彻底”“分母含根式” 等问题。 强化运算规范，突破 “策略选择” 与 “结果最简” 的难点，提升运算素养。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三：二次根式乘除的应用 例2：如图1-2，一个正三角形图案边长为分米，求这个图案的面积。 解：如图1-2，作于点，则. 在Rt△ACD中， . 所以(平方分米)。 答：这个图案的面积为平方分米. 方法总结：几何情境中二次根式运算四步法：① 明确几何公式（如面积、体积公式）；② 代入含根式的已知条件；③ 选择运算策略（先化简 / 先运算）；④ 规范化为最简二次根式。 以正三角形面积求解为例，引导学生将几何问题转化为根式运算，组织小组总结应用步骤，强调 “先转化数量关系，再选择运算策略，最后规范化简”。 运用乘除法则解决几何求值问题，参与方法总结，深化 “运算服务于实际问题” 的认知。 搭建 “运算 — 几何应用” 的桥梁，培养问题转化能力，落实新课标 “运算与应用融合” 的要求。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.下列运算错误的是( ) A. B. C. D. 2.下列各式中属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 3.下列二次根式中，最简二次根式是( ) A. B. C. D. 4.(1) ；(2) . 5.计算：①×＝ ，②＝ ，③＝ . 6.计算 7.设矩形的面积为S，相邻两边长分别为a、b，对角线长为l，已知S=2，b＝，求a和l. 8.观察下列各式： ， ， ，…，请你将发现的规律用含自然数 的形式表示出来，并证明. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点： 1.乘除运算法则： 乘法法则：，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变； 除法法则：，即二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 2.运算核心要求： 先判断法则适用条件，再进行运算； 运算结果必须化为最简二次根式（根号内无分母、无开得尽方的因数或因式，分母不含根式）； 复杂题型优先选择 “先化简再运算”，降低计算难度。 3.实际应用： 能将几何求值、实际测量等问题转化为二次根式乘除运算，规范求解并检验结果。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 1.3 二次根式的运算（第 1 课时） 一、核心运算法则(含条件！) 乘法法则：; 除法法则：. 二、运算关键 策略选择：复杂根式优先 “先化简再运算”，简化计算； 结果规范：必须是最简二次根式（①分母无根式；②根号内无开得尽方的因数 / 因式）； 易错点：忽略法则条件（如除法中b>0）、化简不彻底。 三、应用示例（几何求值） 例2： 四、方法总结（几何情境运算） 转化：实际问题→数学公式→二次根式运算； 运算：遵循法则，优选策略； 检验：结果是否为最简二次根式。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1. 的值是 ( ) A. 2.下列计算正确的是 ( ) A.=±2 B. C. D. 3.下列等式不成立的是 ( ) A. C. 4.计算的结果是 ( ) A. 5.长方形的面积为4，一条边的长为，则其邻边的长为 ( ) A. 能力提升： 6.解方程：； . 7.长方体的体积为36，长为2，宽为，则它的高为多少？ 8.计算的结果为 ( ) A. C.2 D.4a 9.若=3，则m= . 10.计算：2÷= . 拓展迁移： 11.若，则a-b= . 12.计算：4. 13. 阅读下列运算过程： ①， ② 数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”.模仿上述运算过程，完成下列各题： (1)； (2)。
教学反思 本节课通过实际情景有效衔接了性质与运算，多数学生能掌握基本法则并完成基础运算。但存在两点不足：一是部分学生运算策略选择不当，如计算 时未先化简，导致计算量增大；二是结果规范意识薄弱，如将结果写成(未化简彻底)或正确但分母含根式的情况未修正。后续需增加 “策略对比练习”(同一题目两种运算顺序对比)，设计分层运算题(基础运算→几何应用→复杂混合运算)，并强调 “先看题型选策略，运算结束验最简” 的流程，帮助学生形成规范高效的运算思维，更好落实运算素养的培养目标。
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