2.4等腰三角形的判定 教学设计 浙教版（2024）数学八年级上册

等腰三角形的判定
教学目标
1、理解等腰三角形的判定与证明，掌握等腰三角形的判定。
2、区分等腰三角形的性质与判定，并能正确应用。
3、让学生参与探索发现，领略知识形成过程。让学生学会用等腰三角形判定来证明两条线段相等，它是三角形中直角相等转化为边相等的重要依据。
4、在体验中获得成功，增加学生学习数学的自信心。在自主探索和合作交流中，培养学生善于合作、团结互助的精神。通过学习，提高逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。
重点：等腰三角形的判定及其应用。
难点：等腰三角形的判定的证明与应用。
教学过程：
一、新课探索
问题引入：
如图，C表示灯塔，轮船从A处出发以每小时
18海里的速度向AN方向航行，测得∠CAN=40°，
∠CBN=80°，2小时后到达B处，求B处到灯塔C
的距离。
解：∵ ∠CBN=∠C+∠A（三角形的一个角等于和它不相邻的两个外角的和）
∴ ∠C=∠CBN－∠A（等式性质）
又∵ ∠CBN=80°，∠A=40°（已知）
∴ ∠C=80°－40°=40°（等量代换）
∴ ∠A=∠C（等量代换）
∴ BC=AB（等角对等边）
∵ AB=18×2=36（已知）
∴ BC=36（等量代换）
∴ B处到灯塔C的距离为36海里。
探索等腰三角形的判定
操作：用直尺和量角器画一个等腰三角形（多种方法）
A：画两条边相等
B：画两个角相等
C：画一线段，在线段的中垂上取一点
论证：
已知：△ABC中，∠B=∠C。则AB=AC吗？
解：作∠BAC的平分线AD，则∠1=∠2，
沿AD翻折，AB落在AC上。
∵ 在△ABD中，∠1＋∠B＋∠ADB=180°
∴ ∠ADB=180°－∠1－∠B
同理∠ADC=180°－∠2－∠C
又∵ ∠1=∠2，∠B=∠C
∴ ∠ADB=∠ADC
沿AD翻折，BD落在DC上。
（∴ AB和BD的交点B落在AC与DC的交点C上，即B与C重合）
∴ AB=AC。
结论：
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形，简称：等边对等角。
数学表达式：∵ 在△ABC中，∠B=∠C。
∴ AB=AC（等角对等边）
4、如图，下列推理正确吗？
（1） （2）
1） ∵ ∠BAD=∠DAC 2） ∵ ∠ACD=∠ACB
∴ BD=DC ∴ DC=BC
（等角对等边） （等角对等边）
强调大前提：在一个三角形中。
5、等腰三角形性质与判定的区别与联系：
条 件 结 论
性 质 两条边相等（∵ AB=AC） 这两条边所对的两个角相等（∴ ∠B=∠C）
判 定 两个角相等（∵ ∠B=∠C） 这两个角所对的两条边相等（∴ AB=AC）
（三）等腰三角形的判定的应用：
例1，在△ABC中，∠A=40 ，∠B=70
1）∠C等于几度？；
2）若AB=10cm，求AC的长；
3）△ABC是轴对称图形吗？如果是，说出它的对称轴。
解：1）∵ 在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C=180°（三角形内角和为180°）
∴ ∠C=180°－∠A－∠B（等式性质）
又∵ ∠A=40 ，∠B=70 （已知）
∴ ∠C=180°－40 －70 =70 （等量代换）
2）∵ ∠C=70°（已求），∠B=70 （已知）
∴ ∠B=∠C（等量代换）A
∴ AB=AC（等角对等边）
又∵ ∠A=10cm（已知）
∴ AC=10 cm（等量代换）
3）∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∴△ABC是轴对称图形
过点A作AD⊥BC，垂足为D，则直线AD是△ABC的对称轴。
例2，已知△ABC中，DE∥BC，BE平分∠ABC，
问图中哪个三角形为等腰三角形？为什么？
解：∵ DE∥BC（已知）
∴ ∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
∵ BE平分∠ABC（已知）
∴ ∠2=∠3（角平分线定义）
∴ ∠1=∠3（等量代换）
∴ BD=DE（等角对等边）
即△BDE是等腰三角形。
结论：角平分线和平行线通常构成等腰三角形。
变式1：若增加条件：AB=AC，图中有哪几个等腰三角形？为什么？
变式2：若增加条件：AB=AC，∠A=36°，图中有哪几个等腰三角形？为什么？
二、课内练习
已知△ABC中，AD⊥BC，∠B=63 ，∠BAC=54 。
问：⑴△ABC是什么三角形？
⑵若BD=5cm，求BC的长。
解：⑴∵∠B+∠C+∠BAC=180 （三角形三内角和等于180 ）
∠B=63 ，∠BAC=54 （已知）
∴∠C=63
∴∠B=∠C
∴AB=AC（等角对等边）
即：△ABC是等腰三角形。
⑵∵AB=AC，AD⊥BC
∴BC=BD（等腰三角形的三线合一）
又∵BD=5cm,
∴BC=10cm
如图，△ABC中，AB=AC，DE∥BC。
那么，DB=EC吗？
解：∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵DE∥BC（已知）
∴∠ADE=∠B
∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
∴∠ADE=∠AED
∴AD=AE（等角对等边）
∴DB=EC
3、把一张对边平行的纸条，
三、小结：
这节课我们学习了什么？
1、等腰三角形的判定方法。
⑴ 两条边相等的三角形是等腰三角形
⑵ 如果一个三角形有两个角相等，那么这个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形（简写：等角对等边）。
2、已知等腰三角形用性质；要得到等腰三角形用判定。
3、等边对等角和等角对等边的大前提是在一个三角形中。
4、等边对等角是判定两个角相等的一个方法；等角对等边是判定两条边相等的一个方法。
角平分线和平行线通常构成等腰三角形。
四、作业布置：B册 习题12.2(3)
五、拓展练习
1、在△ABC中， ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O作DE∥BC。
⑴ 问图中有几个等腰三角形？
⑵ DE、DB、EC有什么关系？
变式：若上图中AB=AC，问：
⑴ 图中有几个等腰三角形？为什么？
⑵ DE、DB、EC有什么关系？
2、△ABC是一个三角形纸片，AB=AC，∠A=108 。
⑴ 能否把△ABC分割成两个等腰三角形纸片？能的话，画出分割图形。
⑵ 能否把△ABC分割成三个等腰三角形纸片？能的话，画出分割图形。
⑶ 能否把△ABC分割成四个等腰三角形纸片？能的话，画出分割图形。
⑷△ABC能分割成多少个等腰三角形纸片？怎样分割？
C
A
B
N
C
A
B
N
A
B
C
C
A
B
C
D
D
2
1
B
A
A
B
C
D
E
A
O
E
D
C
B