初中数学浙教版九年级下册2.3 三角形的内切圆 教学设计(表格式)
文档属性
| 名称 | 初中数学浙教版九年级下册2.3 三角形的内切圆 教学设计(表格式) |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 425.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-08 00:00:00 | ||
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文档简介
2.3 三角形的内切圆
课题 2.3 三角形的内切圆 单元 第2单元 学科 数学 年级 九
单元内容分析 本节课是浙教版数学九年级下册直线和圆的位置关系第三节内容。学生在学习了圆的基本知识和直线与圆的位置关系之后，在本节开始学习三角形的内切圆的性质及相关计算。本节课是在学习了直线与圆的位置关系基础上的加深与拓展，即圆与三角形的三边同时相切就演变成了三角形的内切圆。因此在本章的教学中具有重要作用，要求学生有较强的综合能力。本节课隶属于“图形与几何”领域中“圆”的主题。核心要求是探索三角形的内切圆概念，理解其作图原理（尺规作图），掌握内心的性质，并能够运用这些知识解决相关的计算与简单实际问题。它是对三角形和圆两大几何图形的综合性深化，是“切线长定理”的直接应用
核心素养分析 通过本节课的学习，应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力，通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心。在运用环节，要注重从基础到综合的梯度，强化面积公式这一核心数形关系式的推导与应用，使学生不仅掌握知识，更领悟其中蕴含的数学思想方法（数形结合、转化、方程），最终实现从“学会”到“会学”的升华，有效发展几何直观、推理能力和应用意识等核心素养。
学习目标 1.了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。2.通过探究作三角形内切圆的过程，归纳内心的性质，进一步提高归纳能力与作图能力。3.学握画三角形的内切圆的方法，能借助三角形内切圆的性质解决有关几何问题。
重点 了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念
难点 掌握画三角形的内切圆的方法，能借助三角形内切圆的性质解决有关几何问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 怎样从一块三角形钢化玻璃上裁下一个半径尽可能大的圆来做一圆桌的桌面？ 学生思考回答问题。 激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。
讲授新课 【思考】当裁得的圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？(1）如果最大圆存在,它与三角形的各边应有怎样的位置关系 2．⊙O按其位置与三角形的边是否相切分四种情形:由上图可知，哪种情况下，使剪下的圆面积最大？这个圆应与三角形的三边都相切，圆心到三角形的三边距离相等。 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心。这个三角形叫做圆的外切三角形.问题1 与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？如何确定这个圆的圆心和半径？与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在这个角的角平分线上.问题2 如图，如果⊙O 与△ABC 的三边都相切，那么圆心 O 应该在什么位置？两个内角的角平分线交点为圆心，以交点到三角形的任一边的距离为半径.问题3 现在你知道如何画△ABC 的内切圆了吗？作法1.如图,作△ABC的∠BAC、∠ABC平分线AD、BE ,设它们交于点O.2.过点O作 OM⊥AB于点M.3.以点O为圆心、OM为半径作⊙O.则⊙O即为所作.画三角形的内切圆的方法:画角平分线定内心→定半径→画圆三角形内心的性质三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边距离相等.例1 如图，等边三角形ABC的边长为3cm，求△ABC的内切圆⊙O的半径.分析：(1)图中的⊙O与△ABC有何关系？那么怎样作出⊙O的半径 (2)要计算半径OD的长，需要构造怎样的直角三角形？为此，怎样添加辅助线 （3）AO与∠BAC有什么关系 AD与BD相等吗 根据什么？由此可见Rt△AOD可解吗？解：如图，设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD.∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AO，BO 是∠BAC，∠ABC的角平分线.∵△ABC是等边三角形，∴∠OAΒ=∠OBA=30°.∵OD⊥AB，AB=3cm， ∴AD=BD=AB=1.5(cm)，∴OD=ADtan 30°= (cm). 答：△ABC的内切圆的半径为cm.变式1：求边长为 3 cm 的等边三角形外接圆半径变式2：求边长为 a 的等边三角形的内切圆半径 r 与外接圆半径 R 的比. 学生探究三角形的内切圆的定义。总结相关概念。学生在教师的引导下探究怎样画三角形的内切圆。学生根据所学知识做例题。 在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。通过画图，培养学生动手操作的能力。通过例题来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
课堂练习巩固提高 1. 设△ ABC 的面积为 S ，周长为 l ，△ ABC 内切圆的半径为 r ，则 S ，l 与 r 之间存在怎样的数量关系？ 2. 如图，直角三角形的两直角边分别是 a、b，斜边为 c，则其内切圆的半径 r 为 （用含 a、b、c 的代数式表示）.3.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载:“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为:“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步？” 学生做练习，教师订正答案。渗透数学史与数学文化，利用巩固提高2解决问题，排样学生解决问题的能力。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆；2.内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形；3.三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.4.三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三角形各边的距离相等;(2)三角形的内心在三角形的角平分线上;(3)内心在三角形内部. 学生先发言总结本节课的知识和思想方法，在教师的引导下总结归纳。 充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：2.3 三角形的内切圆一、三角形的内切圆.二、三角形的内心.三、三角形内心的性质.
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课题 2.3 三角形的内切圆 单元 第2单元 学科 数学 年级 九
单元内容分析 本节课是浙教版数学九年级下册直线和圆的位置关系第三节内容。学生在学习了圆的基本知识和直线与圆的位置关系之后，在本节开始学习三角形的内切圆的性质及相关计算。本节课是在学习了直线与圆的位置关系基础上的加深与拓展，即圆与三角形的三边同时相切就演变成了三角形的内切圆。因此在本章的教学中具有重要作用，要求学生有较强的综合能力。本节课隶属于“图形与几何”领域中“圆”的主题。核心要求是探索三角形的内切圆概念，理解其作图原理（尺规作图），掌握内心的性质，并能够运用这些知识解决相关的计算与简单实际问题。它是对三角形和圆两大几何图形的综合性深化，是“切线长定理”的直接应用
核心素养分析 通过本节课的学习，应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力，通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心。在运用环节，要注重从基础到综合的梯度，强化面积公式这一核心数形关系式的推导与应用，使学生不仅掌握知识，更领悟其中蕴含的数学思想方法（数形结合、转化、方程），最终实现从“学会”到“会学”的升华，有效发展几何直观、推理能力和应用意识等核心素养。
学习目标 1.了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。2.通过探究作三角形内切圆的过程，归纳内心的性质，进一步提高归纳能力与作图能力。3.学握画三角形的内切圆的方法，能借助三角形内切圆的性质解决有关几何问题。
重点 了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念
难点 掌握画三角形的内切圆的方法，能借助三角形内切圆的性质解决有关几何问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 怎样从一块三角形钢化玻璃上裁下一个半径尽可能大的圆来做一圆桌的桌面？ 学生思考回答问题。 激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。
讲授新课 【思考】当裁得的圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？(1）如果最大圆存在,它与三角形的各边应有怎样的位置关系 2．⊙O按其位置与三角形的边是否相切分四种情形:由上图可知，哪种情况下，使剪下的圆面积最大？这个圆应与三角形的三边都相切，圆心到三角形的三边距离相等。 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心。这个三角形叫做圆的外切三角形.问题1 与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？如何确定这个圆的圆心和半径？与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在这个角的角平分线上.问题2 如图，如果⊙O 与△ABC 的三边都相切，那么圆心 O 应该在什么位置？两个内角的角平分线交点为圆心，以交点到三角形的任一边的距离为半径.问题3 现在你知道如何画△ABC 的内切圆了吗？作法1.如图,作△ABC的∠BAC、∠ABC平分线AD、BE ,设它们交于点O.2.过点O作 OM⊥AB于点M.3.以点O为圆心、OM为半径作⊙O.则⊙O即为所作.画三角形的内切圆的方法:画角平分线定内心→定半径→画圆三角形内心的性质三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边距离相等.例1 如图，等边三角形ABC的边长为3cm，求△ABC的内切圆⊙O的半径.分析：(1)图中的⊙O与△ABC有何关系？那么怎样作出⊙O的半径 (2)要计算半径OD的长，需要构造怎样的直角三角形？为此，怎样添加辅助线 （3）AO与∠BAC有什么关系 AD与BD相等吗 根据什么？由此可见Rt△AOD可解吗？解：如图，设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD.∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AO，BO 是∠BAC，∠ABC的角平分线.∵△ABC是等边三角形，∴∠OAΒ=∠OBA=30°.∵OD⊥AB，AB=3cm， ∴AD=BD=AB=1.5(cm)，∴OD=ADtan 30°= (cm). 答：△ABC的内切圆的半径为cm.变式1：求边长为 3 cm 的等边三角形外接圆半径变式2：求边长为 a 的等边三角形的内切圆半径 r 与外接圆半径 R 的比. 学生探究三角形的内切圆的定义。总结相关概念。学生在教师的引导下探究怎样画三角形的内切圆。学生根据所学知识做例题。 在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。通过画图，培养学生动手操作的能力。通过例题来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
课堂练习巩固提高 1. 设△ ABC 的面积为 S ，周长为 l ，△ ABC 内切圆的半径为 r ，则 S ，l 与 r 之间存在怎样的数量关系？ 2. 如图，直角三角形的两直角边分别是 a、b，斜边为 c，则其内切圆的半径 r 为 （用含 a、b、c 的代数式表示）.3.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载:“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为:“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步？” 学生做练习，教师订正答案。渗透数学史与数学文化，利用巩固提高2解决问题，排样学生解决问题的能力。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆；2.内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形；3.三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.4.三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三角形各边的距离相等;(2)三角形的内心在三角形的角平分线上;(3)内心在三角形内部. 学生先发言总结本节课的知识和思想方法，在教师的引导下总结归纳。 充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：2.3 三角形的内切圆一、三角形的内切圆.二、三角形的内心.三、三角形内心的性质.
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