浙教版数学七年级上册 第6章 图形的初步知识 期末复习综合练习卷
一、选择题
1．（2026七上·舟山期末）在朱自清的《春》中，描写春雨“像牛毛，像花针，像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了 ( ).
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．两点确定一条直线
【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了：点动成线，
故答案为：A .
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答．
2．（2025七上·温岭期末）如图，从甲地到乙地已有一条环山公路a，现又花费人力物力修建隧道b，能解释这一现象最合理的数学知识是（ ）
A．两点确定一直线 B．两点之间线段最短
C．点动成线 D．过一点可以作无数条直线
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：能解释这一现象最合理的数学知识是两点之间线段最短．
故答案为：B．
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短写出即可.
3．（2026七上·舟山期末）如图所示的角是30°，若用一个放大5倍的放大镜看这个角，它是 ( ).
A．30° B．70° C．110° D．150°
【答案】A
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解：用一个放大5倍的放大镜看一个的角，那么看到的仍然是的角，
故答案为：A .
【分析】角的度数的大小，只与两边张开的大小有关，所以用一个放大5倍的放大镜看一个的角，仍然是，放大镜放大的只是两边的长短．
4．（2026七上·吉林期末） 如图， 是线段 的中点， 是线段BC的中点，若线段，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由条件可知，，
∵BD=2cm，
∴，
∴AB=8cm.
故答案为：A.
【分析】根据线段中点的定义可得，则，据此即可得.
5．（2026七上·吉林期末） 互为补角的两个角的比是3：2，则这两个角中较小角的大小是( )
A．108° B．80° C．72°. D．60°.
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；补角
【解析】【解答】解：∵互为补角的两个角的比是3：2，
∴设这两个角的度数为3x、2x，
∴3x+2x=180°
解得x=36°，
∴2x=2×36°=72°，
故答案为：C.
【分析】设这两个角的度数为3x、2x，由互补的定义得出3x+2x=180°，即可求出x的值，从而求出较小角的度数.
6．（2025七上·揭阳月考）如图，从点A到点B最短的路线是( )
A．A－G－E－B B．A－C－E－B
C．A－D－G－E－B D．A－F－E－B
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：根据图形，从A地到B地，一定要经过E点且必须经过线段EB，
所以只要找出从A到E的最短路线，
根据“两点之间线段最短“的结论，从A到E的最短路线是线段AE，即A﹣F﹣E，
所以从A地到B地最短路线是A﹣F﹣E﹣B．
故答案为：D．
【分析】先结合图形，再利用两点之间线段最短分析求解即可.
7．（2026七上·临海期末）如图，用同一个圆规张开同样的角度去比较两条线段AB和A'B'的长短，下列结论正确的是( )
A．AB
A'B' D．无法确定
【答案】C
【知识点】线段的长短比较
【解析】【解答】解：由图可得 AB>A'B' .
故答案：C.
【分析】直接观察即可得结果.
8．（七上·红古期末）如图，已知线段a，b，c，现按照如下步骤作图：①作射线AP；②用圆规在射线AP上顺次向右截取线段AB=a，BC=c；（③用圆规在线段 CA 上截取线段 CD=b。则线段AD 的长度是（ )
A．a+b+c B．a+b-c C．b+c-a D．a+c-b
【答案】D
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由题意可得：AB=a，BC=c，CD=b
∴AC=AB+BC=a+c
∴AD=AC-CD=a+c-b
故答案为：D
【分析】根据线段之间的关系即可求出答案.
9．（七上·红古期末）如图，∠AOB=160°，∠COB=20°。若OD 平分∠AOC，则∠AOD 的度数为（ )
A．20° B．70° C．80° D．140°
【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠AOB=160°，∠COB=20°
∴∠AOC=∠AOB-∠COB=140°
∵OD 平分∠AOC
∴
故答案为：B
【分析】根据角之间的关系可得∠AOC，再根据角平分线定义即可求出答案.
10．（2025七上·深圳月考）如图，在大梅沙海滨公园中，月亮广场与水乐园相距米（米），阳光长廊、太阳广场和愿望塔分别位于月亮广场与水乐园之间线段上的、和点，阳光长廊到月亮广场和水乐园的距离相等（），太阳广场到月亮广场的距离是到水乐园距离的倍（），愿望塔到太阳广场和水乐园的距离相等（）；则阳光长廊和愿望塔之间的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵米，且，根据线段中点的定义，为的中点，
∴米；
∵，且米，
∴ 设，则，可得，解得，即米，米；
又∵，根据线段中点的定义，为的中点，
∴米；
∵ 阳光长廊对应点，愿望塔对应点，且、均在线段上，
∴米。
故答案为：D
【分析】本题考查线段的和差关系及线段中点的定义，解题需先根据已知条件确定各点在线段上的位置及对应线段的长度。首先由可知是中点，利用中点性质可求出的长度；再根据及的总长，通过设未知数或直接按比例分配求出的长度；接着由可知是中点，进而求出的长度；最后根据线段与、的和差关系，用减去即可得到阳光长廊和愿望塔之间的距离。
二、填空题
11．（2026七上·西和期末）如图所示，如果将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，若∠AOD=20°，那么∠BOC= ．
【答案】20°
【知识点】角的运算；余角
【解析】【解答】解：∵∠AOD＋∠BOD＝90°，∠BOC＋∠BOD＝90°，
∴∠AOD＝∠BOC，
∵∠AOD＝20°，
∴∠BOC＝20°．
故答案为：20°．
【分析】利用等角的余角相等可得∠AOD＝∠BOC，从而得解.
12．（2026七上·西和期末）比较大小：23°50' 23.1°.（选填“＞”“＜”或“=”）
【答案】＞
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的大小比较
【解析】【解答】解：23.1°＝23°＋0.1×60'＝23°6'，
∴23°50'＞23.1°，
故答案为：＞．
【分析】利用角的单位换算计算并比较大小即可.
13．（2026七上·朝阳期末）如图，点在线段上，且，延长至点，使．若，则的长为 ．
【答案】8
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
【分析】先求出线段的长，再求出线段的长即可得到答案．
14．（2026七上·龙马潭期末） 若∠A=24°28'， 则∠A的余角为 .
【答案】65°32'
【知识点】余角
【解析】【解答】解：，
的余角为．
故答案为：．
【分析】根据余角的定义，两个角互余则它们的和为，因此用减去已知角即可得解．
15．（2025七上·宝安月考）如图，有公共端点 P的两条线段MP、NP 组成一条折线M-P-N，若该折线M-P-N上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”.已知点 D是折线A-C-B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD=4，CE=10，则线段BC的长为 .
【答案】12或28
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图1，
∵点E为线段AC的中点，CE＝10，
∴AE＝CE＝10，AC＝2AE＝20，
∵点D是折线A C B的“折中点”，CD＝4，
∴AD＝CD＋BC，即20 4＝4＋BC，
解得BC＝12；
如图2，
∵点E为线段AC的中点，CE＝10，
∴AC＝2CE＝20，
∵点D是折线A C B的“折中点”，CD＝4，
∴AC＋CD＝BC CD，即20＋4＝BC 4，
解得BC＝28；
故答案为：12或28．
【分析】分类讨论，先分别画出图形，再利用线段中点的性质求出AC的长，再利用线段的和差列出方程求出BC的长即可.
16．（2024七上·盐田期末）如图是一个平角，如果，，则 ．
【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的运算
【解析】【解答】解：∵是一个平角，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】结合图形，利用角的运算和常用角的单位换算分析求解即可.
三、解答题
17．（2026七上·北京期末）如图，已知点A，B，C，D.按要求画图（尺规作图，并保留作图痕迹）：
（1）画线段AD，画直线BC：
（2）画射线AB，并在射线AB上取点E使得BE=2AB；
（3）画点P，使PA+PB+PC+PD的值最小.
【答案】（1）解：根据尺规作图方法画线段AD，画直线BC如下：
（2）解：根据尺规作图方法画射线AB，并在射线AB上取点E使得如图：
（3）解：如图，
点P就是使PA+PB+PC+PD的值最小的点.
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据尺规作图方法画线段AD，画直线BC即可.
（2）画射线AB，以B为圆心，BA为半径画圆交射线AB于一点，再以此点为圆心，BA为半径画圆交射线AB于一点E，即可得BE=2AB.
（3）连接A、C，B、D交于点P，点P就是使PA+PB+PC+PD的值最小的点.
18．（2026七上·兰州期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．
（1）求的长度；
（2）求的长度．
【答案】（1）解：∵，，
∴．
∵是的中点，
∴．
答：的长度为
（2）解：∵是的中点，
∴．
由（1）知，
∴．
答：的长度为
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）首先根据线段的和求得，进而根据点E是AB的中点，可得出；
（2）根据点D是的中点，可得出，进而即可得出．
19．（2025七上·期末）如图，O是直线 AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠DOE=90°.
（1）若∠AOD=35°，请直接写出∠COE的度数；
（2）若∠AOD=α，求∠COE的度数（用含α的代数式表示).
【答案】（1）解：35°
（2）解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=90°，
∴∠COD=90°-∠AOD=90°-
∵∠DOE=90°，
∴∠COE=∠DOE-∠COD=
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=90°，
∴∠COD=90°-∠AOD=55°
∵∠DOE=90°，
∴∠COE=∠DOE-∠COD=35°
【分析】（1）根据角平分线定义可得∠AOC=90°， 根据余角即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得∠AOC=90°， 根据余角即可求出答案.
20．（2026七上·平凉期末）【综合与实践】
【问题情景】如图，O为直线上的一点，过点O作射线，使得，将直角三角板的直角顶点放在点O处，，一边在射线上，另一边在直线的下方．
【独立思考】
（1）在图1中，的度数为 ．
（2）【实践探究】
将图1中的三角板按图2的位置摆放，使得在的平分线上，求的度数．
（3）【拓展探究】
将上述直角三角板按图3的位置摆放，使得在的内部，试猜想的度数，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：由（1）可知，
因为在的平分线上，
所以，
所以
（3）解：．
理由如下：设，
由（1）可知，
所以．
所以，
所以
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）利用和，直接求出∠BOC的度数即可；
（2）先利用角平分线的定义求出，再利用角的运算求出∠BON的度数即可；
（3）设，先求出∠BON和∠BOM的度数，再求出的度数即可.
21．（2026七上·吉林期末） 如图，点在线段上，，，点 、分别是、的中点.
（1）求的长度；
（2）求 的长度.
【答案】（1）解：由题意可得AC=8，再根据CB=AB-AC可得：
，
∴CB=AB-AC=20-8=12
（2）解：由条件可知，
则AN=AC+CN=8+6=14，
∴MN=AN-AM=14-10=4.
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】(1)由题意可得AC=8，再根据CB=AB-AC即可求解；
(2)根据题意可得AM=10，CN=6，进而得到AN=AC+CN=14，再根据MN=AN-AM即可求解.
22．（2026七上·昌邑期末）已知点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点上，并在内部作射线．
（1）如图1，三角板的一边与射线重合，的余角是 ，的补角是 ；
（2）将三角板按照如图2的方式放置，使平分，若，求的度数；
（3）若仍将三角板按照如图2的方式放置，使平分，且，直接写出的度数．
【答案】（1）；
（2）解：∵OC平分∠MOB，
∴∠COM=∠COB=∠NOC+∠NOB，
∵∠MON=90°，
∴∠AOM+∠NOB=180°-∠MON=90°，
∴∠AOM+∠NOB=∠MON=∠COM+∠NOC
∴∠AOM+∠NOB=∠NOC+∠NOB+∠NOC
∴∠AOM=2∠NOC=40°.
（3）解：30°.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；余角；补角
【解析】【解答】解：(1)当三角板的一边OM与射线OA重合，∠AOC的余角是∠CON，补角是∠COB.
故答案为：∠CON，∠COB.
(3)设∠NOC=a， 则∠BON=4∠NOC= 4x，
∵OC恰好平分∠MOB，
∴∠COM=∠COB=∠NOC+∠BON=5x，
又∵∠MON=90°， 即∠COM+∠NOC=90°，
∴5x+x=90°，
解得x=15°，
∴∠NOC=15°，
结合(2)可得，∠AOM=2∠NOC=30°.
故答案为：30°.
【分析】(1)根据余角和补角的定义，即可获得答案；
(2)首先根据角平分线的定义可得∠COM=∠COB=∠NOC+∠NOB， 结合∠MON=90°，易得∠AOM+∠NOB=∠COM+∠NOC=90°， 即可获得答案；
(3)设∠NOC=x，则∠BON=4x，结合角平分线的定义可得∠COM=5x，然后根据∠MON=90°，列出关于x的一元一次方程并求解，即可确定∠NOC的值，结合(2)可得，即可求得∠AOM的度数.
23．（2025七上·揭阳月考）如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点，，，将三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向转动，设转动时间为秒，当旋转至射线上时，三角板停止转动．
（1）如图2，若平分，则的值为_____，此时_____；
（2）当三角板转动到如图3的位置，此时、同时在直线的右侧，猜想与的数量关系（数量关系中不含），并说明理由；
（3）若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动：
①求为何值时，；
②在转动过程中，请直接写出与的数量关系（数量关系中不含）．
【答案】（1），
（2）解：猜想：；
理由如下：如图，当、同时在直线的右侧时，
由题意得：，，
∴，
∴.
（3）解：①当在内部时，如图，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当在外部时，如图，
则，
∵，
∴，
解得：；
综上所述，当t为10或20时，；
②.
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：如图，当平分时，
由题意得：，，
∵平分，
∴，
∴，
解得：，
此时，
∴，
故答案为：，；
（3）②，理由如下：
依题意得：，
∵绕点以每秒的速度按顺时针方向转动，也绕点以每秒的速度顺时针转动，
∴每秒增加，
∴，
∴．
【分析】（1）利用角平分线的定义求出，再列出方程，求出，再求出∠DOB的度数，最后求出的值即可；
（2）先结合图形并利用角的运算求出，最后求出即可；
（3）①分类讨论：当在内部时；当在外部时，先分别画出图形并利用角的运算求解即可；
②利用“绕点以每秒的速度按顺时针方向转动，也绕点以每秒的速度顺时针转动”可得每秒增加，再求出∠DOB的度数，最后求出即可.
（1）解：如图，当平分时，
由题意得：，，
∵平分，
∴，
∴，
解得：，
此时，
∴，
故答案为：，；
（2）解：猜想：；理由如下：
如图，当、同时在直线的右侧时，
由题意得：，，
∴，
∴；
（3）解：①当在内部时，如图，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当在外部时，如图，
则，
∵，
∴，
解得：；
综上所述，当t为10或20时，；
②，理由如下：
依题意得：，
∵绕点以每秒的速度按顺时针方向转动，也绕点以每秒的速度顺时针转动，
∴每秒增加，
∴，
∴．
24．（2024七上·沈阳期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
（1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则；
（2）如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒．
①当t为何值时，点C是线段的三等分点
②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度．
【答案】（1）3
（2）解：①根据题意，得，，
当时，有，
∴，
解得：；
当时，有，
∴，
解得：；
综上所述，当或时，点是线段的三等分点；
②的长为或或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）∵点是线段的一个三等分点，满足，且，
∴，
∴，
故答案为：3.
（2）②设点的速度为每秒，
根据题意，得，则，，
∵点，点分别是，的三等分点，
∴可以分四种情况讨论：
当时，有，，
分别解得：，
∴，
解得：；
当时，有，，
分别解得：，
∴，
解得：；
当时，有，，
分别解得：，
∴，
解得：；
当时，有，，
分别解得：，
∴，
解得：（舍去）；
综上所述，点，点分别是，的三等分点，的长为或或．
【分析】（1）根据三等分点的定义，且，即可求出的长；
（2）①根据题意，得的长，然后分和两种情况，列方程进行求解即可；
②设点的速度为每秒，根据题意得到的长，然后分四种情况讨论：当时，当时，当时，当时，分别列方程求出与的关系，从而得到关于的方程并解之即可.
（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）①由题意，得：，，
当时，则：，
∴
∴；
当时，则：，
∴，
∴；
综上：或；
②设点E的速度为每秒，由题意得：，则，，
∵点，点分别是，的三等分点，
∴可以分四种情况讨论：
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：（舍去）；
综上：点，点分别是，的三等分点，的长为或或．
1 / 1浙教版数学七年级上册 第6章 图形的初步知识 期末复习综合练习卷
一、选择题
1．（2026七上·舟山期末）在朱自清的《春》中，描写春雨“像牛毛，像花针，像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了 ( ).
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．两点确定一条直线
2．（2025七上·温岭期末）如图，从甲地到乙地已有一条环山公路a，现又花费人力物力修建隧道b，能解释这一现象最合理的数学知识是（ ）
A．两点确定一直线 B．两点之间线段最短
C．点动成线 D．过一点可以作无数条直线
3．（2026七上·舟山期末）如图所示的角是30°，若用一个放大5倍的放大镜看这个角，它是 ( ).
A．30° B．70° C．110° D．150°
4．（2026七上·吉林期末） 如图， 是线段 的中点， 是线段BC的中点，若线段，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026七上·吉林期末） 互为补角的两个角的比是3：2，则这两个角中较小角的大小是( )
A．108° B．80° C．72°. D．60°.
6．（2025七上·揭阳月考）如图，从点A到点B最短的路线是( )
A．A－G－E－B B．A－C－E－B
C．A－D－G－E－B D．A－F－E－B
7．（2026七上·临海期末）如图，用同一个圆规张开同样的角度去比较两条线段AB和A'B'的长短，下列结论正确的是( )
A．ABA'B' D．无法确定
8．（七上·红古期末）如图，已知线段a，b，c，现按照如下步骤作图：①作射线AP；②用圆规在射线AP上顺次向右截取线段AB=a，BC=c；（③用圆规在线段 CA 上截取线段 CD=b。则线段AD 的长度是（ )
A．a+b+c B．a+b-c C．b+c-a D．a+c-b
9．（七上·红古期末）如图，∠AOB=160°，∠COB=20°。若OD 平分∠AOC，则∠AOD 的度数为（ )
A．20° B．70° C．80° D．140°
10．（2025七上·深圳月考）如图，在大梅沙海滨公园中，月亮广场与水乐园相距米（米），阳光长廊、太阳广场和愿望塔分别位于月亮广场与水乐园之间线段上的、和点，阳光长廊到月亮广场和水乐园的距离相等（），太阳广场到月亮广场的距离是到水乐园距离的倍（），愿望塔到太阳广场和水乐园的距离相等（）；则阳光长廊和愿望塔之间的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
11．（2026七上·西和期末）如图所示，如果将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，若∠AOD=20°，那么∠BOC= ．
12．（2026七上·西和期末）比较大小：23°50' 23.1°.（选填“＞”“＜”或“=”）
13．（2026七上·朝阳期末）如图，点在线段上，且，延长至点，使．若，则的长为 ．
14．（2026七上·龙马潭期末） 若∠A=24°28'， 则∠A的余角为 .
15．（2025七上·宝安月考）如图，有公共端点 P的两条线段MP、NP 组成一条折线M-P-N，若该折线M-P-N上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”.已知点 D是折线A-C-B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD=4，CE=10，则线段BC的长为 .
16．（2024七上·盐田期末）如图是一个平角，如果，，则 ．
三、解答题
17．（2026七上·北京期末）如图，已知点A，B，C，D.按要求画图（尺规作图，并保留作图痕迹）：
（1）画线段AD，画直线BC：
（2）画射线AB，并在射线AB上取点E使得BE=2AB；
（3）画点P，使PA+PB+PC+PD的值最小.
18．（2026七上·兰州期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．
（1）求的长度；
（2）求的长度．
19．（2025七上·期末）如图，O是直线 AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠DOE=90°.
（1）若∠AOD=35°，请直接写出∠COE的度数；
（2）若∠AOD=α，求∠COE的度数（用含α的代数式表示).
20．（2026七上·平凉期末）【综合与实践】
【问题情景】如图，O为直线上的一点，过点O作射线，使得，将直角三角板的直角顶点放在点O处，，一边在射线上，另一边在直线的下方．
【独立思考】
（1）在图1中，的度数为 ．
（2）【实践探究】
将图1中的三角板按图2的位置摆放，使得在的平分线上，求的度数．
（3）【拓展探究】
将上述直角三角板按图3的位置摆放，使得在的内部，试猜想的度数，并说明理由．
21．（2026七上·吉林期末） 如图，点在线段上，，，点 、分别是、的中点.
（1）求的长度；
（2）求 的长度.
22．（2026七上·昌邑期末）已知点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点上，并在内部作射线．
（1）如图1，三角板的一边与射线重合，的余角是 ，的补角是 ；
（2）将三角板按照如图2的方式放置，使平分，若，求的度数；
（3）若仍将三角板按照如图2的方式放置，使平分，且，直接写出的度数．
23．（2025七上·揭阳月考）如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点，，，将三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向转动，设转动时间为秒，当旋转至射线上时，三角板停止转动．
（1）如图2，若平分，则的值为_____，此时_____；
（2）当三角板转动到如图3的位置，此时、同时在直线的右侧，猜想与的数量关系（数量关系中不含），并说明理由；
（3）若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动：
①求为何值时，；
②在转动过程中，请直接写出与的数量关系（数量关系中不含）．
24．（2024七上·沈阳期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
（1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则；
（2）如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒．
①当t为何值时，点C是线段的三等分点
②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了：点动成线，
故答案为：A .
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答．
2．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：能解释这一现象最合理的数学知识是两点之间线段最短．
故答案为：B．
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短写出即可.
3．【答案】A
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解：用一个放大5倍的放大镜看一个的角，那么看到的仍然是的角，
故答案为：A .
【分析】角的度数的大小，只与两边张开的大小有关，所以用一个放大5倍的放大镜看一个的角，仍然是，放大镜放大的只是两边的长短．
4．【答案】A
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由条件可知，，
∵BD=2cm，
∴，
∴AB=8cm.
故答案为：A.
【分析】根据线段中点的定义可得，则，据此即可得.
5．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；补角
【解析】【解答】解：∵互为补角的两个角的比是3：2，
∴设这两个角的度数为3x、2x，
∴3x+2x=180°
解得x=36°，
∴2x=2×36°=72°，
故答案为：C.
【分析】设这两个角的度数为3x、2x，由互补的定义得出3x+2x=180°，即可求出x的值，从而求出较小角的度数.
6．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：根据图形，从A地到B地，一定要经过E点且必须经过线段EB，
所以只要找出从A到E的最短路线，
根据“两点之间线段最短“的结论，从A到E的最短路线是线段AE，即A﹣F﹣E，
所以从A地到B地最短路线是A﹣F﹣E﹣B．
故答案为：D．
【分析】先结合图形，再利用两点之间线段最短分析求解即可.
7．【答案】C
【知识点】线段的长短比较
【解析】【解答】解：由图可得 AB>A'B' .
故答案：C.
【分析】直接观察即可得结果.
8．【答案】D
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由题意可得：AB=a，BC=c，CD=b
∴AC=AB+BC=a+c
∴AD=AC-CD=a+c-b
故答案为：D
【分析】根据线段之间的关系即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠AOB=160°，∠COB=20°
∴∠AOC=∠AOB-∠COB=140°
∵OD 平分∠AOC
∴
故答案为：B
【分析】根据角之间的关系可得∠AOC，再根据角平分线定义即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵米，且，根据线段中点的定义，为的中点，
∴米；
∵，且米，
∴ 设，则，可得，解得，即米，米；
又∵，根据线段中点的定义，为的中点，
∴米；
∵ 阳光长廊对应点，愿望塔对应点，且、均在线段上，
∴米。
故答案为：D
【分析】本题考查线段的和差关系及线段中点的定义，解题需先根据已知条件确定各点在线段上的位置及对应线段的长度。首先由可知是中点，利用中点性质可求出的长度；再根据及的总长，通过设未知数或直接按比例分配求出的长度；接着由可知是中点，进而求出的长度；最后根据线段与、的和差关系，用减去即可得到阳光长廊和愿望塔之间的距离。
11．【答案】20°
【知识点】角的运算；余角
【解析】【解答】解：∵∠AOD＋∠BOD＝90°，∠BOC＋∠BOD＝90°，
∴∠AOD＝∠BOC，
∵∠AOD＝20°，
∴∠BOC＝20°．
故答案为：20°．
【分析】利用等角的余角相等可得∠AOD＝∠BOC，从而得解.
12．【答案】＞
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的大小比较
【解析】【解答】解：23.1°＝23°＋0.1×60'＝23°6'，
∴23°50'＞23.1°，
故答案为：＞．
【分析】利用角的单位换算计算并比较大小即可.
13．【答案】8
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
【分析】先求出线段的长，再求出线段的长即可得到答案．
14．【答案】65°32'
【知识点】余角
【解析】【解答】解：，
的余角为．
故答案为：．
【分析】根据余角的定义，两个角互余则它们的和为，因此用减去已知角即可得解．
15．【答案】12或28
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图1，
∵点E为线段AC的中点，CE＝10，
∴AE＝CE＝10，AC＝2AE＝20，
∵点D是折线A C B的“折中点”，CD＝4，
∴AD＝CD＋BC，即20 4＝4＋BC，
解得BC＝12；
如图2，
∵点E为线段AC的中点，CE＝10，
∴AC＝2CE＝20，
∵点D是折线A C B的“折中点”，CD＝4，
∴AC＋CD＝BC CD，即20＋4＝BC 4，
解得BC＝28；
故答案为：12或28．
【分析】分类讨论，先分别画出图形，再利用线段中点的性质求出AC的长，再利用线段的和差列出方程求出BC的长即可.
16．【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的运算
【解析】【解答】解：∵是一个平角，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】结合图形，利用角的运算和常用角的单位换算分析求解即可.
17．【答案】（1）解：根据尺规作图方法画线段AD，画直线BC如下：
（2）解：根据尺规作图方法画射线AB，并在射线AB上取点E使得如图：
（3）解：如图，
点P就是使PA+PB+PC+PD的值最小的点.
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据尺规作图方法画线段AD，画直线BC即可.
（2）画射线AB，以B为圆心，BA为半径画圆交射线AB于一点，再以此点为圆心，BA为半径画圆交射线AB于一点E，即可得BE=2AB.
（3）连接A、C，B、D交于点P，点P就是使PA+PB+PC+PD的值最小的点.
18．【答案】（1）解：∵，，
∴．
∵是的中点，
∴．
答：的长度为
（2）解：∵是的中点，
∴．
由（1）知，
∴．
答：的长度为
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）首先根据线段的和求得，进而根据点E是AB的中点，可得出；
（2）根据点D是的中点，可得出，进而即可得出．
19．【答案】（1）解：35°
（2）解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=90°，
∴∠COD=90°-∠AOD=90°-
∵∠DOE=90°，
∴∠COE=∠DOE-∠COD=
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=90°，
∴∠COD=90°-∠AOD=55°
∵∠DOE=90°，
∴∠COE=∠DOE-∠COD=35°
【分析】（1）根据角平分线定义可得∠AOC=90°， 根据余角即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得∠AOC=90°， 根据余角即可求出答案.
20．【答案】（1）
（2）解：由（1）可知，
因为在的平分线上，
所以，
所以
（3）解：．
理由如下：设，
由（1）可知，
所以．
所以，
所以
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）利用和，直接求出∠BOC的度数即可；
（2）先利用角平分线的定义求出，再利用角的运算求出∠BON的度数即可；
（3）设，先求出∠BON和∠BOM的度数，再求出的度数即可.
21．【答案】（1）解：由题意可得AC=8，再根据CB=AB-AC可得：
，
∴CB=AB-AC=20-8=12
（2）解：由条件可知，
则AN=AC+CN=8+6=14，
∴MN=AN-AM=14-10=4.
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】(1)由题意可得AC=8，再根据CB=AB-AC即可求解；
(2)根据题意可得AM=10，CN=6，进而得到AN=AC+CN=14，再根据MN=AN-AM即可求解.
22．【答案】（1）；
（2）解：∵OC平分∠MOB，
∴∠COM=∠COB=∠NOC+∠NOB，
∵∠MON=90°，
∴∠AOM+∠NOB=180°-∠MON=90°，
∴∠AOM+∠NOB=∠MON=∠COM+∠NOC
∴∠AOM+∠NOB=∠NOC+∠NOB+∠NOC
∴∠AOM=2∠NOC=40°.
（3）解：30°.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；余角；补角
【解析】【解答】解：(1)当三角板的一边OM与射线OA重合，∠AOC的余角是∠CON，补角是∠COB.
故答案为：∠CON，∠COB.
(3)设∠NOC=a， 则∠BON=4∠NOC= 4x，
∵OC恰好平分∠MOB，
∴∠COM=∠COB=∠NOC+∠BON=5x，
又∵∠MON=90°， 即∠COM+∠NOC=90°，
∴5x+x=90°，
解得x=15°，
∴∠NOC=15°，
结合(2)可得，∠AOM=2∠NOC=30°.
故答案为：30°.
【分析】(1)根据余角和补角的定义，即可获得答案；
(2)首先根据角平分线的定义可得∠COM=∠COB=∠NOC+∠NOB， 结合∠MON=90°，易得∠AOM+∠NOB=∠COM+∠NOC=90°， 即可获得答案；
(3)设∠NOC=x，则∠BON=4x，结合角平分线的定义可得∠COM=5x，然后根据∠MON=90°，列出关于x的一元一次方程并求解，即可确定∠NOC的值，结合(2)可得，即可求得∠AOM的度数.
23．【答案】（1），
（2）解：猜想：；
理由如下：如图，当、同时在直线的右侧时，
由题意得：，，
∴，
∴.
（3）解：①当在内部时，如图，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当在外部时，如图，
则，
∵，
∴，
解得：；
综上所述，当t为10或20时，；
②.
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：如图，当平分时，
由题意得：，，
∵平分，
∴，
∴，
解得：，
此时，
∴，
故答案为：，；
（3）②，理由如下：
依题意得：，
∵绕点以每秒的速度按顺时针方向转动，也绕点以每秒的速度顺时针转动，
∴每秒增加，
∴，
∴．
【分析】（1）利用角平分线的定义求出，再列出方程，求出，再求出∠DOB的度数，最后求出的值即可；
（2）先结合图形并利用角的运算求出，最后求出即可；
（3）①分类讨论：当在内部时；当在外部时，先分别画出图形并利用角的运算求解即可；
②利用“绕点以每秒的速度按顺时针方向转动，也绕点以每秒的速度顺时针转动”可得每秒增加，再求出∠DOB的度数，最后求出即可.
（1）解：如图，当平分时，
由题意得：，，
∵平分，
∴，
∴，
解得：，
此时，
∴，
故答案为：，；
（2）解：猜想：；理由如下：
如图，当、同时在直线的右侧时，
由题意得：，，
∴，
∴；
（3）解：①当在内部时，如图，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当在外部时，如图，
则，
∵，
∴，
解得：；
综上所述，当t为10或20时，；
②，理由如下：
依题意得：，
∵绕点以每秒的速度按顺时针方向转动，也绕点以每秒的速度顺时针转动，
∴每秒增加，
∴，
∴．
24．【答案】（1）3
（2）解：①根据题意，得，，
当时，有，
∴，
解得：；
当时，有，
∴，
解得：；
综上所述，当或时，点是线段的三等分点；
②的长为或或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）∵点是线段的一个三等分点，满足，且，
∴，
∴，
故答案为：3.
（2）②设点的速度为每秒，
根据题意，得，则，，
∵点，点分别是，的三等分点，
∴可以分四种情况讨论：
当时，有，，
分别解得：，
∴，
解得：；
当时，有，，
分别解得：，
∴，
解得：；
当时，有，，
分别解得：，
∴，
解得：；
当时，有，，
分别解得：，
∴，
解得：（舍去）；
综上所述，点，点分别是，的三等分点，的长为或或．
【分析】（1）根据三等分点的定义，且，即可求出的长；
（2）①根据题意，得的长，然后分和两种情况，列方程进行求解即可；
②设点的速度为每秒，根据题意得到的长，然后分四种情况讨论：当时，当时，当时，当时，分别列方程求出与的关系，从而得到关于的方程并解之即可.
（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）①由题意，得：，，
当时，则：，
∴
∴；
当时，则：，
∴，
∴；
综上：或；
②设点E的速度为每秒，由题意得：，则，，
∵点，点分别是，的三等分点，
∴可以分四种情况讨论：
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：（舍去）；
综上：点，点分别是，的三等分点，的长为或或．
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