角的和差一浙教版数学七年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（七上·红古期末）如图，∠AOB=160°，∠COB=20°。若OD 平分∠AOC，则∠AOD 的度数为（ )
A．20° B．70° C．80° D．140°
2．（2026七上·广州期末）如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知 则 的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
3．（2023七上·冷水滩月考）如图，已知，，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025七上·深圳期末）如图，旗语操可以抽象为一个几何模型．若A，O，B三点共线，平分，，则为（ ）
A． B． C． D．
5．借助一副三角尺不能画出的角是( )
A．95° B．105° C．120° D．135°
6．下列式子中错误的是( )
A． B．
C． D．
7．（2024七上·成华期末）如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024七上·洪山期末）如图，点为线段外一点，，，，为上顺次排列的四点，连接，，，，在下列结论中：
①以为顶点的角有15个；
②若平分，平分，，则
③若为的中点，为的中点，则；
④若，，则．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2025七上·惠来月考）如图，，，则 度．
10．（2025七上·遵义期末）如图，已知，，则的度数为 ；
11．（2024七上·吉林期中）计算： ；
12．（2023七上·东乡区期中）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，那么的度数为 °．
13．若∠MON=80°，P 是平面上一点，且OA 平分∠MOP，OB 平分∠NOP.当射线OP 在∠MON 外部绕点O 旋转时，∠AOB= .
14．（2024七上·硚口期末）如图，点为直线外一点，为直线上顺次排列的五个点，连接．下列四个结论：①若平分平分，则；②若，则；③若为的中点，，则；④若平分平分，则图中以为顶点的所有角的和为．其中正确的结论是 ．（填写序号）
三、解答题
15．（2025七上·顺德期末）已知，射线在内部，平分，且．
（1）请画出符合条件的图形；
（2）求的度数．
16．（2025七上·永定期末）如图，已知∠AOD和∠BOC都是直角，∠AOC=380，OE平分∠BOD，求∠COE的度数．
17．（2024七上·新华期中）根据题意填空
如图，点在直线上，平分，请说明平分的理由．
解：点在直线上，
∴_____°，
∵，
∴____，
____=____°，
又平分，
∴ （________________），
∴ （____________________）．
18．（2025七上·平山期末）【问题初探】
在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”．
例如：图中，则射线是的“奇妙线”．
（1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”）
【类比分析】
（2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数；
【变式拓展】
（3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠AOB=160°，∠COB=20°
∴∠AOC=∠AOB-∠COB=140°
∵OD 平分∠AOC
∴
故答案为：B
【分析】根据角之间的关系可得∠AOC，再根据角平分线定义即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOD=∠COB=90°，
∴∠AOC+∠COD+∠COD+∠BOD=180°，
∴（∠AOC+∠COD+∠BOD）+∠COD=180°，即∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=160°，
∴∠COD=20°。
故答案为：A
【分析】根据题意知：∠AOD=∠COB=90°，进而得出∠AOC+∠COD+∠COD+∠BOD=180°，∠AOB+∠COD=180°，进而即可得出∠COD=20°。
3．【答案】C
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设，则，．
因为，
所以，
解得．
所以
故答案为：C．
【分析】，则，，利用，可得，再求出x的值即可.
4．【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：
∵，平分，A，O，B三点共线，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的定义求出，再根据平角为，由计算即可解答．
5．【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵一副三角尺中的已知角为：30°，45°，60°，90°，
∴95°不能由以上已知角的和差得到，所以不能画出，故A符合题意；
由105°=60°+45°，所以能画出，故B不符合题意；
由120°=90°+30°，所以能画出，故C不符合题意；
由135°=90°+45°，所以能画出，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】由一副三角尺中的已知角为：30°，45°，60°，90°，再利用已知角的和与差逐一分析各选项即可得到答案.
6．【答案】D
【知识点】常用角的度量单位及换算；角度的四则混合运算
【解析】【解答】解：对于选项A，
整数部分为38°，剩余0.78°需转换为分：0.78 ° × 60 = 46.8'，取整数部分46'，剩余0.8'需转换为秒：0.8' × 60 = 48 ″，因此，38.78°=38°46'48''，计算正确，故选项A正确；
对于选项B，
将分转换为度 ：，50°42'=50.7°，计算正确， 故选项B正确；
对于选项C，
98°45'+2°35'=（98°+2°）+（45'+35'）=100°+80'=101°20'，计算正确， 故选项C正确；
对于选项D，
108°18'-57°23'=107°78'-57°23'=（107°-57°）+（78'-23'）=50°55'，计算错误， 故选项D错误；
故选：D．
【分析】根据度、分、秒之间的进率，1°=60'，1'＝60″，逐一判断即可；
7．【答案】A
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
又∵平分平分，
∴，，
∴．
故答案为：A．
【分析】设，即可求出x的值，即可得到的度数，再利用角平分线定义得到，，然后根据解答即可．
8．【答案】B
【知识点】线段的中点；角平分线的概念
【解析】【解答】解：以O为顶点的角有个，故①正确；
由角平分线的定义可得：，，
∵，
∴
∴，
∴，
，
故②错误；
由中点定义可得：，，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∴，即，故④错误.
故选：B.
【分析】本题考查了角平分线概念，以及线段中点的相关计算，根据角的概念，求得以O为顶点的角的个数，可判断①；由角平分线的定义及角之间的和差关系，求得，可判断②；根据线段的中点，结合，求得， 可得判断③；根据，且，得到，可得判断④．
9．【答案】120
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】结合图形并利用角的运算求出∠AOC的度数即可.
10．【答案】
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】设，利用，可得，求出，最后求解即可.
11．【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据角的运算，结合角的换算单位即可求出答案.
12．【答案】20
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图，
∵在正方形中AOD=
∴，
∵在正方形中COF=
∴，
又∵，
∴．
故答案是：．
【分析】
根据正方形的角都是直角计算出，，再根据，即可求得和的度数，计算即可解答．
13．【答案】40°或140°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作边OM，ON 的反向延长线OC，OD，分三种情况讨论：
①当射线OP 在∠MOD 内部(包括边OD)绕点O 旋转时，如解图①.
∵OA 平分∠MOP，OB 平分∠NOP，
∴
②当射线OP 在∠COD 内部(不包括边OC 和OD)绕点O旋转时， 如解 图 ②.
此 时
③当射线OP 在∠CON 内部(包括边OC)绕点O 旋转时，同理于①，可知.
综上所述，∠AOB 的度数为 40°或 140°.
故答案为：40°或140°.
【分析】作边OM，ON 的反向延长线OC，OD，分三种情况讨论，当射线OP 在∠MOD 内部(包括边OD)绕点O 旋转时，当射线OP 在∠COD 内部(不包括边OC 和OD)绕点O旋转时，当射线OP 在∠CON 内部(包括边OC)绕点O 旋转时，按照角平分线的定义以及角的和差关系求解即可.
14．【答案】①③④
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，平分，
，，
，
即，
若，
，
故结论①正确，符合题意；
在中，不是的角平分线，也不是三等分线，
若，能得到，
不能得到，
故结论②不正确，不符合题意；
若为的中点，
，
，
，
，
即，
，
故结论③正确，符合题意；
以为顶点的所有角为，，，，，，，，，，
，
故结论④正确，符合题意；
正确的结论为①③④，
故答案为：①③④．
【分析】本题考查了角平分线的定义、线段中点的性质及角的和差运算.①由角平分线定义，=45°，正确；②∠EAD与∠FAD的大小关系与ED、DF的长度无关（角的大小与边的长度无关，错误）；③由F是CD中点及BC=2EF，可推得BE=DE，正确；④计算以A为顶点的所有角的和，结合角平分线的性质可得和为10∠EAF，正确.
15．【答案】（1）解：根据题意画出符合条件的图形如下：
（2）解：∵，平分，
∴，
∴，
或，
∴的度数为或．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据在内部或外部，画图即可.
（2）根据角平分线性质，结合得，再根据或计算即可得答案.
（1）解：在内部或外部，如图：
（2）解：∵，平分，
∴，
∴；
或，
∴的度数为或．
16．【答案】解：∵和是直角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴.
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】先求出，，然后根据角平分线的定义得到，从而得的度数.
17．【答案】，，，，角平分线定义，等量代换
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：点在直线上，
，
，
，，
又平分，
（角平分线定义），
（等量代换），
故答案为：，，，，角平分线定义，等量代换.
【分析】根据平角的定义、角平分线定义进行角的计算，最后进行等量代换即可.
18．【答案】解：（）是；
（）当平分时，
∴，
当时，
∴，
，
∴，
则综上可知：的度数为或或；
（3）当或或时，射线是的“奇妙线”．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】[【解答】解：（1）根据角平分线的定义可知：
由平分，
得：，
则一个角的角平分线是这个角的“奇妙线”，
故答案为：是；
（3）由题意得：如图，
则，，则，
∵射线是的“奇妙线”，
∴，即，解得：，
，即，解得：，
，即，解得：，
综上可知：或或．
【分析】（）根据角平分线的定义可得出，进而根据奇妙线的定义可得出答案；（）需要分三种不同情形进行讨论，当平分时，；当时，；③，，综上即可得出答案；
（）分三种情况讨论，通过奇妙线定义建立方程，，即，解得：，即，解得：；，即，解得：。
综上即可得出：或或．
1 / 1角的和差一浙教版数学七年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（七上·红古期末）如图，∠AOB=160°，∠COB=20°。若OD 平分∠AOC，则∠AOD 的度数为（ )
A．20° B．70° C．80° D．140°
【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠AOB=160°，∠COB=20°
∴∠AOC=∠AOB-∠COB=140°
∵OD 平分∠AOC
∴
故答案为：B
【分析】根据角之间的关系可得∠AOC，再根据角平分线定义即可求出答案.
2．（2026七上·广州期末）如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知 则 的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOD=∠COB=90°，
∴∠AOC+∠COD+∠COD+∠BOD=180°，
∴（∠AOC+∠COD+∠BOD）+∠COD=180°，即∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=160°，
∴∠COD=20°。
故答案为：A
【分析】根据题意知：∠AOD=∠COB=90°，进而得出∠AOC+∠COD+∠COD+∠BOD=180°，∠AOB+∠COD=180°，进而即可得出∠COD=20°。
3．（2023七上·冷水滩月考）如图，已知，，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设，则，．
因为，
所以，
解得．
所以
故答案为：C．
【分析】，则，，利用，可得，再求出x的值即可.
4．（2025七上·深圳期末）如图，旗语操可以抽象为一个几何模型．若A，O，B三点共线，平分，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：
∵，平分，A，O，B三点共线，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的定义求出，再根据平角为，由计算即可解答．
5．借助一副三角尺不能画出的角是( )
A．95° B．105° C．120° D．135°
【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵一副三角尺中的已知角为：30°，45°，60°，90°，
∴95°不能由以上已知角的和差得到，所以不能画出，故A符合题意；
由105°=60°+45°，所以能画出，故B不符合题意；
由120°=90°+30°，所以能画出，故C不符合题意；
由135°=90°+45°，所以能画出，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】由一副三角尺中的已知角为：30°，45°，60°，90°，再利用已知角的和与差逐一分析各选项即可得到答案.
6．下列式子中错误的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】常用角的度量单位及换算；角度的四则混合运算
【解析】【解答】解：对于选项A，
整数部分为38°，剩余0.78°需转换为分：0.78 ° × 60 = 46.8'，取整数部分46'，剩余0.8'需转换为秒：0.8' × 60 = 48 ″，因此，38.78°=38°46'48''，计算正确，故选项A正确；
对于选项B，
将分转换为度 ：，50°42'=50.7°，计算正确， 故选项B正确；
对于选项C，
98°45'+2°35'=（98°+2°）+（45'+35'）=100°+80'=101°20'，计算正确， 故选项C正确；
对于选项D，
108°18'-57°23'=107°78'-57°23'=（107°-57°）+（78'-23'）=50°55'，计算错误， 故选项D错误；
故选：D．
【分析】根据度、分、秒之间的进率，1°=60'，1'＝60″，逐一判断即可；
7．（2024七上·成华期末）如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
又∵平分平分，
∴，，
∴．
故答案为：A．
【分析】设，即可求出x的值，即可得到的度数，再利用角平分线定义得到，，然后根据解答即可．
8．（2024七上·洪山期末）如图，点为线段外一点，，，，为上顺次排列的四点，连接，，，，在下列结论中：
①以为顶点的角有15个；
②若平分，平分，，则
③若为的中点，为的中点，则；
④若，，则．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】线段的中点；角平分线的概念
【解析】【解答】解：以O为顶点的角有个，故①正确；
由角平分线的定义可得：，，
∵，
∴
∴，
∴，
，
故②错误；
由中点定义可得：，，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∴，即，故④错误.
故选：B.
【分析】本题考查了角平分线概念，以及线段中点的相关计算，根据角的概念，求得以O为顶点的角的个数，可判断①；由角平分线的定义及角之间的和差关系，求得，可判断②；根据线段的中点，结合，求得， 可得判断③；根据，且，得到，可得判断④．
二、填空题
9．（2025七上·惠来月考）如图，，，则 度．
【答案】120
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】结合图形并利用角的运算求出∠AOC的度数即可.
10．（2025七上·遵义期末）如图，已知，，则的度数为 ；
【答案】
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】设，利用，可得，求出，最后求解即可.
11．（2024七上·吉林期中）计算： ；
【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据角的运算，结合角的换算单位即可求出答案.
12．（2023七上·东乡区期中）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，那么的度数为 °．
【答案】20
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图，
∵在正方形中AOD=
∴，
∵在正方形中COF=
∴，
又∵，
∴．
故答案是：．
【分析】
根据正方形的角都是直角计算出，，再根据，即可求得和的度数，计算即可解答．
13．若∠MON=80°，P 是平面上一点，且OA 平分∠MOP，OB 平分∠NOP.当射线OP 在∠MON 外部绕点O 旋转时，∠AOB= .
【答案】40°或140°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作边OM，ON 的反向延长线OC，OD，分三种情况讨论：
①当射线OP 在∠MOD 内部(包括边OD)绕点O 旋转时，如解图①.
∵OA 平分∠MOP，OB 平分∠NOP，
∴
②当射线OP 在∠COD 内部(不包括边OC 和OD)绕点O旋转时， 如解 图 ②.
此 时
③当射线OP 在∠CON 内部(包括边OC)绕点O 旋转时，同理于①，可知.
综上所述，∠AOB 的度数为 40°或 140°.
故答案为：40°或140°.
【分析】作边OM，ON 的反向延长线OC，OD，分三种情况讨论，当射线OP 在∠MOD 内部(包括边OD)绕点O 旋转时，当射线OP 在∠COD 内部(不包括边OC 和OD)绕点O旋转时，当射线OP 在∠CON 内部(包括边OC)绕点O 旋转时，按照角平分线的定义以及角的和差关系求解即可.
14．（2024七上·硚口期末）如图，点为直线外一点，为直线上顺次排列的五个点，连接．下列四个结论：①若平分平分，则；②若，则；③若为的中点，，则；④若平分平分，则图中以为顶点的所有角的和为．其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】①③④
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，平分，
，，
，
即，
若，
，
故结论①正确，符合题意；
在中，不是的角平分线，也不是三等分线，
若，能得到，
不能得到，
故结论②不正确，不符合题意；
若为的中点，
，
，
，
，
即，
，
故结论③正确，符合题意；
以为顶点的所有角为，，，，，，，，，，
，
故结论④正确，符合题意；
正确的结论为①③④，
故答案为：①③④．
【分析】本题考查了角平分线的定义、线段中点的性质及角的和差运算.①由角平分线定义，=45°，正确；②∠EAD与∠FAD的大小关系与ED、DF的长度无关（角的大小与边的长度无关，错误）；③由F是CD中点及BC=2EF，可推得BE=DE，正确；④计算以A为顶点的所有角的和，结合角平分线的性质可得和为10∠EAF，正确.
三、解答题
15．（2025七上·顺德期末）已知，射线在内部，平分，且．
（1）请画出符合条件的图形；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：根据题意画出符合条件的图形如下：
（2）解：∵，平分，
∴，
∴，
或，
∴的度数为或．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据在内部或外部，画图即可.
（2）根据角平分线性质，结合得，再根据或计算即可得答案.
（1）解：在内部或外部，如图：
（2）解：∵，平分，
∴，
∴；
或，
∴的度数为或．
16．（2025七上·永定期末）如图，已知∠AOD和∠BOC都是直角，∠AOC=380，OE平分∠BOD，求∠COE的度数．
【答案】解：∵和是直角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴.
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】先求出，，然后根据角平分线的定义得到，从而得的度数.
17．（2024七上·新华期中）根据题意填空
如图，点在直线上，平分，请说明平分的理由．
解：点在直线上，
∴_____°，
∵，
∴____，
____=____°，
又平分，
∴ （________________），
∴ （____________________）．
【答案】，，，，角平分线定义，等量代换
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：点在直线上，
，
，
，，
又平分，
（角平分线定义），
（等量代换），
故答案为：，，，，角平分线定义，等量代换.
【分析】根据平角的定义、角平分线定义进行角的计算，最后进行等量代换即可.
18．（2025七上·平山期末）【问题初探】
在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”．
例如：图中，则射线是的“奇妙线”．
（1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”）
【类比分析】
（2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数；
【变式拓展】
（3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”．
【答案】解：（）是；
（）当平分时，
∴，
当时，
∴，
，
∴，
则综上可知：的度数为或或；
（3）当或或时，射线是的“奇妙线”．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】[【解答】解：（1）根据角平分线的定义可知：
由平分，
得：，
则一个角的角平分线是这个角的“奇妙线”，
故答案为：是；
（3）由题意得：如图，
则，，则，
∵射线是的“奇妙线”，
∴，即，解得：，
，即，解得：，
，即，解得：，
综上可知：或或．
【分析】（）根据角平分线的定义可得出，进而根据奇妙线的定义可得出答案；（）需要分三种不同情形进行讨论，当平分时，；当时，；③，，综上即可得出答案；
（）分三种情况讨论，通过奇妙线定义建立方程，，即，解得：，即，解得：；，即，解得：。
综上即可得出：或或．
1 / 1
