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第1章 二次根式 单元测试（基础卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）（24-25八年级下·广东惠州·月考）下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．被开方数3无平方因子，且分母无根号，符合最简二次根式，故A符合题意；
B．，根号内为分数，需有理化，化简为，不符合最简条件，故B不符合题意；
C．，被开方数27含平方因子9，可化简为，不符合最简条件，故C不符合题意；
D．，分母含根号，需有理化为，不符合最简条件，故D不符合题意．
故选：A．
2．（本题3分）（24-25九年级上·福建泉州·期末）若二次根式有意义，则x的值不可能是（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，根据二次根式有意义求出的取值范围，然后判断即可．熟知被开方数为非负数是解题的关键．
【详解】解：若二次根式有意义，
则，
解得，
所以的值不可能是，
故选：A．
3．（本题3分）（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算．根据二次根式的加减乘除运算判定即可求解．
【详解】解：A、和不是同类二次根式不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：B ．
4．（本题3分）（21-22八年级下·浙江嘉兴·期末）下列化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由二次根式的化简可判断A，B，由二次根式的乘方运算可判断C，D，从而可得答案．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，运算正确，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘方运算，掌握“二次根式的乘方运算的运算法则”是解本题的关键．
5．（本题3分）（23-24九年级上·全国·单元测试）一个三角形的三边长分别是，，，则此三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是二次根式的加法运算，牢记法则是解题关键，先化简再进行加法计算即可．
【详解】解：三角形的周长为，
故选：A．
6．（本题3分）（2024·云南昆明·模拟预测）若，则估计的值应在（ ）
A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．4和5之间
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的计算，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，根据乘法分配律先化简，然后估算即可．用有理数夹逼无理数是解题的关键．
【详解】
，
∵，
∴，
即：的值应在3和4之间，
故选：A．
7．（本题3分）（23-24八年级下·河北张家口·期末）若函数，则自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数大于等于零，分式分母不能为零即可解题．
【详解】解：由题可知：且，
且，
故选：D．
8．（本题3分）（24-25八年级下·山东泰安·期末）下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的运算性质，根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的性质对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断．
【详解】解：A：，错误，为无理数，无法与有理数3直接合并为，正确结果为；
B：，错误，平方根的结果非负，，而非；
C：，错误，根据二次根式乘法法则，，故，而非；
D：，正确，根据二次根式除法法则，，故．
故选：D．
9．（本题3分）（19-20八年级上·山东青岛·期中）a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ）
A．a﹣2b B．a C．﹣a D．﹣a+2b
【答案】B
【分析】根据a、b在数轴上的位置可知，a＞0，b＜0，可得a﹣b＞0，，代入即可求出答案．
【详解】解：由题意可知，a＞0，b＜0，
所以a﹣b＞0， ，
原式＝（a﹣b）﹣（﹣b）
＝a﹣b+b
＝a．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，合理应用性质进行计算是解决本题的关键．
10．（本题3分）（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）设+···+，则不超过m的最大整数为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．前三个选项都不对
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的化简，能正确化简是解题的关键．
首先将化简，可得，然后再代入原式计算，即可得答案．
【详解】解：
，
，
不超过m的最大整数是2026，
故选：C．
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）（2023·山西大同·模拟预测）计算：的结果为 ．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的除法法则，进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的除法运算．熟练掌握二次根式的除法法则，是解题的关键．
12．（本题3分）（22-23八年级下·广东江门·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简= ．
【答案】
【分析】利用实数与数轴的关系判断的符号，再根据二次根式的性质化简即可得到答案．
【详解】解：由图可知：，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，根据实数与数轴的关系判断的符号是解题关键．
13．（本题3分）（22-23八年级下·湖北十堰·月考）当时，代数式的值是 ．
【答案】2023
【分析】本题主要考查了完全平方公式，二次根式混合运算，解题的关键是先将变形为，将代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴当时，
原式．
故答案为：2023．
14．（本题3分）（23-24八年级上·宁夏银川·期中）比较下列各数大小：
① ；② ；③
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的比较大小、比较二次根式的大小，熟练掌握比较方法是解此题的关键．
（1）首先比较与的大小，根据负数绝对值大的反而小，即可得解；
（2）通过比较与1的大小即可求解；
（3），，比较被开方数的大小即可；
【详解】解：①，
；
故答案为： ；
②；
；
故答案为： ；
③，，且；
；
故答案为： ；
15．（本题3分）（22-23八年级下·新疆阿勒泰·期中）已知，求 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义求出的值即可．
【详解】∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键．
16．（本题3分）（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了规律型：点的坐标．根据题意，可以从各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的规律入手．
【详解】解：由图形可知，，
，
，
,
每一个B点到原点的距离依次是前一个B点到原点的距离的倍，同时，各个B点每次旋转，每八次旋转一周．
∴顶点到原点的距离，
∵，
∴顶点的恰好在x轴的正半轴上，
∴顶点的恰好在第一象限角平分线上，
∴顶点的坐标是．
故答案为：．
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题8分）（22-23八年级下·全国·单元测试）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解；
（3）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解；
（4）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
18．（本题8分）（19-20八年级下·湖北武汉·期中）已知，，求下列各式的值：
(1)
(2)．
【答案】(1)16
(2)．
【分析】（1）根据完全平方公式写成，把x、y的值代入计算即可；
（2）根据平方差公式写成(x+y)(x-y)，把x、y的值代入计算即可．
【详解】（1）解：，，
∴ ；
（2）解：，，
∴ ．
【点睛】本题主要考查利用乘法公式进行二次根式的化简，熟记乘法公式是解题的关键．
19．（本题8分）（24-25八年级下·云南昭通·期中）1247年，中国南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提出了三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”．即如果一个三角形的三边长分别a，b，c，记，那么这个三角形的面积．
如图，在中，，，．
(1)求的面积；
(2)设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了已知字母求代数式的值，二次根式的应用，二次根式的加减，解题关键是掌握已知字母求代数式的值的方法．
（1）直接代入公式求解；
（2）先根据三角形面积公式，分别求出各边上的高，再求和．
【详解】（1）解：根据题意，得．
∴
，
∴的面积为．
（2）∵，，
∴，
∴．
同理可得：，．
∴．
20．（本题8分）（25-26八年级上·全国·单元测试）（1）计算：．
（2）若点在第二象限，且．求的值．
【答案】（1）（2）1
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，点的坐标，正确计算、记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键．
【详解】（1）解：原式，
，
．
（2）解：∵点在第二象限，
∴．
又∵，
∴，
∴．
21．（本题8分）（24-25八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的性质和运算法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
22．（本题10分）（22-23八年级下·吉林松原·期末）先阅读理解，再回答问题：
①∵，，∴的整数部分为1．
②∵，，∴的整数部分为2．
③∵，，∴的整数部分为3．
(1)填空：的整数部分是 ；
(2)a，b分别是的整数部分和小数部分；
①分别写出a、b的值；
②求的值．
【答案】(1)n
(2)①，；②
【分析】（1）依据题干中的方法估算的范围，即可得到整数部分；
（2）①估算出，得到整数部分和小数部分即可；②将①中结果代入计算即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
的整数部分为；
（2）①∵，
∴，
∴，
∴的整数部分是：，
小数部分是：；
②
．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，二次根式的混合运算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
23．（本题10分）（22-23八年级上·山东济南·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题：
(＋1)(－1)＝1，
(＋)(－)＝1，
(＋)(－)＝1，
(＋)(－)＝1，
(1)根据上面的规律：
①＝________；
②＝________；
(2)计算：（＋＋＋…＋）×(＋1)．
(3)若a＝，则求的值．
【答案】(1)①
②
(2)2021
(3)
【分析】（1）利用平方差公式，分母有理化即可求解；
（2）利用分母有理化将原式化成，再合并同类二次根式即可；
（3）由，推出，再化简 ，最后代入计算即可．
【详解】（1）解：①原式
；
②原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：∵，
∴，
∴，即，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
24．（本题12分）（2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
(1)当，时，______，______；
(2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
(3)当，时，令，，，…，，且，求T的值．
【答案】(1)，
(2)猜想结论：，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
【详解】（1）解：
当，时，
原式；
当，时，
原式；
（2）猜想结论：
证明：
；
（3）
．
【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．
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第1章 二次根式 单元测试（基础卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）（24-25八年级下·广东惠州·月考）下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）（24-25九年级上·福建泉州·期末）若二次根式有意义，则x的值不可能是（ ）
A． B． C．0 D．2
3．（本题3分）（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）（21-22八年级下·浙江嘉兴·期末）下列化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）（23-24九年级上·全国·单元测试）一个三角形的三边长分别是，，，则此三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）（2024·云南昆明·模拟预测）若，则估计的值应在（ ）
A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．4和5之间
7．（本题3分）（23-24八年级下·河北张家口·期末）若函数，则自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
8．（本题3分）（24-25八年级下·山东泰安·期末）下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（本题3分）（19-20八年级上·山东青岛·期中）a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ）
A．a﹣2b B．a C．﹣a D．﹣a+2b
10．（本题3分）（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）设+···+，则不超过m的最大整数为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．前三个选项都不对
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）（2023·山西大同·模拟预测）计算：的结果为 ．
12．（本题3分）（22-23八年级下·广东江门·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简= ．
13．（本题3分）（22-23八年级下·湖北十堰·月考）当时，代数式的值是 ．
14．（本题3分）（23-24八年级上·宁夏银川·期中）比较下列各数大小：
① ；② ；③
15．（本题3分）（22-23八年级下·新疆阿勒泰·期中）已知，求 ．
16．（本题3分）（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是 ．
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题8分）（22-23八年级下·全国·单元测试）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
18．（本题8分）（19-20八年级下·湖北武汉·期中）已知，，求下列各式的值：
(1)
(2)．
19．（本题8分）（24-25八年级下·云南昭通·期中）1247年，中国南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提出了三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”．即如果一个三角形的三边长分别a，b，c，记，那么这个三角形的面积．
如图，在中，，，．
(1)求的面积；
(2)设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值．
20．（本题8分）（25-26八年级上·全国·单元测试）（1）计算：．
（2）若点在第二象限，且．求的值．
21．（本题8分）（24-25八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中．
22．（本题10分）（22-23八年级下·吉林松原·期末）先阅读理解，再回答问题：
①∵，，∴的整数部分为1．
②∵，，∴的整数部分为2．
③∵，，∴的整数部分为3．
(1)填空：的整数部分是 ；
(2)a，b分别是的整数部分和小数部分；
①分别写出a、b的值；
②求的值．
23．（本题10分）（22-23八年级上·山东济南·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题：
(＋1)(－1)＝1，
(＋)(－)＝1，
(＋)(－)＝1，
(＋)(－)＝1，
(1)根据上面的规律：
①＝________；
②＝________；
(2)计算：（＋＋＋…＋）×(＋1)．
(3)若a＝，则求的值．
24．（本题12分）（2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
(1)当，时，______，______；
(2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
(3)当，时，令，，，…，，且，求T的值．
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