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第1章二次根式单元测试（提升卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）（2022·山东济宁·二模）下列二次根式能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化简选项中各二次根式，根据同类二次根式的定义，逐项分析即可．
【详解】将各选项的二次根式化简如下：
，，，已是最简二次根式，
根据同类二次根式的定义可知，只有与是同类二次根式，可以合并，其它二次根式均于不属于同类二次根式．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
2．（本题3分）（24-25八年级下·北京海淀·期中）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，二次根式的乘除法．根据二次根式的加减乘除计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、2与不是同类二次根式，不能计算，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
3．（本题3分）（2022·广西贵港·一模）代数式在实数范围内有意义，则x的值可能为（ ）
A．2023 B．2021 C． D．2022
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出x的范围．
【详解】解：由题意可知：，
解得：x>2022，
∴x的值可能为2023
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件．
4．（本题3分）（23-24八年级上·宁夏银川·期末）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式的加减法、平方根，熟练掌握以上知识点是关键．根据二次根式性质化简各选项即可得到结果．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
5．（本题3分）（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若，则在平面直角坐标系中，点在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，各象限点的坐标的特点，根据二次根式的性质求得的值是解题的关键．
先根据二次根式的性质求出的值，然后再根据坐标的特点判定所在象限即可．
【详解】解：，
，
点的横坐标，纵坐标，
在平面直角坐标系中，横坐标为负、纵坐标为正的点位于第二象限，
故选：B．
6．（本题3分）（21-22七年级下·四川广元·月考）若，则 x－y 的值为（ ）
A．－2 B．2 C．4 D．6
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件可得出x，y的值，再代入x－y中即可求解．
【详解】解：由题意得x 2≥0，2 x≥0，
∴2≤x≤2，故x=2，
∴y=－4，
∴x－y=2－（－4）=6．
故选：D
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数并据此求出x，y的值是解题关键．
7．（本题3分）（23-24八年级上·四川遂宁·期末）若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A．5 B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的应用、绝对值和二次根式的非负性，注意题目已经指定了，为两直角边的长是解题的关键．
根据二次根式和绝对值的非负性求出a、b的值，再利用勾股定理进行求值即可．
【详解】解：∵，
∴，即，，
∴，，
即直角三角形的两直角边长分别为3，4，
∴直角三角形的第三条边长为：，
故选：A．
8．（本题3分）（24-25八年级下·山东泰安·期中）甲、乙、丙、丁四人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，这四张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（ ）
A．1张 B．2张 C．3张 D．4张
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的混合运算，计算出甲、乙、丙、丁中式子的结果，即可得到有几张卡片中式子的计算结果是有理数．
【详解】解：由图可得，
甲：，结果是有理数，符合题意；
乙：，结果是有理数，符合题意；
丙：，结果不是有理数，不符合题意；
丁：，结果不是有理数，不符合题意．
故选：B．
9．（本题3分）（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简后等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件．由题意得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵被开方数非负，
∴，
∵，
∴，即，
∴且，
∴，
故选：C．
10．（本题3分）（20-21八年级上·广东·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．
【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是：
故选：C．
【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）（2021·浙江杭州·一模）计算： ．
【答案】
【分析】利用二次根式的乘法法则进行计算，注意结果要化成最简二次根式
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的乘法计算，掌握运算法则准确计算是解题关键
12．（本题3分）（20-21八年级下·江苏常州·月考）化简：＝ ；（x≥0，y≥0）＝ ．
【答案】 ，
【分析】直接利用二次根式的性质进而化简得出答案．
【详解】＝；
（x≥0，y≥0），
故答案为：；
【点睛】此题主要考查了二次根式性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
13．（本题3分）（22-23八年级下·江西赣州·月考）已知：，则 ．
【答案】2
【分析】根据平方差公式及二次根式的除法即可得解．
【详解】解：设，
∵，，
∴，
∴，
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了平方差公式及二次根式的除法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
14．（本题3分）（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）已知和的小数部分分别是，则代数式 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小、二次根式的混合运算，求得a、b的值是解题的关键．
先估算出的大小，然后求得a、b的值，最后直接代入利用二次根式的法则进行计算即可．
【详解】解；∵，
∴．
∴，，
∴．，
∴
，
故答案为：0
．
15．（本题3分）（25-26八年级上·四川·期中）已知，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查二次根式的性质，先求出，再根据二次根式的性质：化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
16．（本题3分）（24-25八年级上·四川成都·月考）如图，在四边形中和，，，．对角线与相交于点E，若，则 ．
【答案】
【分析】过点作于点，过点作于点，连接并延长到H，使得，连接，先证明为等边三角形，得到，再由三线合一定理得到．则由勾股定理可得；证明，得到，再证明，得到，则；由，得到，则，据此得到，设在中，由勾股定理得，可推出，
在中，由勾股定理得，则，．利用勾股定理得到．则．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，连接并延长到H，使得，连接，
，，
为等边三角形，
，
，
．
；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
．
．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题8分）（23-24八年级上·河北石家庄·期中）计算
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）根据二次根式的除法运算法则即可直接求解；
（）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（）利用完全平方公式展开，和化简后的二次根式进行计算即可；
本题考查了二次根式的运算，完全平方公式，熟记相关法则公式是解题的关键．
【详解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
；
（3）解：原式，
，
．
18．（本题8分）（2024·福建厦门·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
先通分括号内的式子，再算除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
19．（本题8分）（2025八年级下·全国·专题练习）已知，求代数式的值．
【答案】95
【分析】本题主要考查了分母有理化、代数式求值、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
通过分母有理化可得、，进而得到，然后将原式化为，最后整体代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
．
20．（本题8分）（22-23八年级下·江西赣州·期中）【阅读理解]】阅读下列材料，然后解答下列问题．
像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
(1)化简：①_______；②_______；
(2)计算：
(3)已知：，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
【答案】(1)①，②
(2)2022
(3)，见解析
【分析】（1）利用分母有理化的方法进行运算即可；
（2）对各分母进行分母有理化运算，从而可求解；
（3）取各数的倒数，再对分母进行分母有理化运算，从而可求解．
【详解】（1）解：①；
②，
故答案为：；．
（2）
；
（3），
同理：，
，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚分母有理化的方法．
21．（本题8分）（24-25八年级下·河北石家庄·期末）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米．
(1)求该长方形闲置区域的周长；
(2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（参考数据：，结果精确到0.1）
【答案】(1)米
(2)1350.7元
【分析】本题考查了二次根式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据长方形的周长进行列式计算，即可作答．
（2）先算出其余区域的面积为平方米，再结合所铺红毯的售价为10元/平方米，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，（米）．
答：该长方形闲置区域的周长为米
（2）解：
（平方米）．
∴其余的面积为平方米，
（元）．
答：购买红毯大约需要花费1350.7元．
22．（本题10分）（24-25八年级下·河南安阳·月考）把根式进行化简，若能找到两个数、，使且，则把变成，然后开方，从而使得化简．
例如：化简．
解：，
．
利用上述方法完成下列各题（结果要化为最简形式）：
(1) ；
(2) ；
(3)中，，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，勾股定理，解题的关键是正确应用完全平方公式．
（1）仿照题意进行求解即可；
（2）仿照题意进行求解即可；
（3）先利用勾股定理求出 ，然后仿照题意求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵
，
∴，
故答案为：．
（3）解：在中，，
．
23．（本题10分）（25-26八年级上·上海闵行·期中）阅读下面材料：将边长分别为的正方形面积分别记为，则．例如：当时，．
根据以上材料解答下列问题：
(1)当时，________；________．
(2)当时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数．从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想．
(3)当时，令，且，若，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)6
【分析】本题考查利用完全平方公式进行计算、二次根式的运算及解一元二次方程，理解题意，得出相应规律是解题关键．
（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）根据可得，代入、的值，根据得出关于的一元二次方程，解方程得出的值，根据是正整数即可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
，
，
，
∴，
，
故答案为：；
（2）解：猜想结论：，
．
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，，
∵是正整数，
∴．
24．（本题12分）（25-26八年级上·江西吉安·期末）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中， 点与原点重合， 顶点 B、D分别在x轴、y轴上，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处．
(1)如图1， 连接， 当点在线段上时， 求
(2)在（1）的条件下，求点 P 的坐标．
(3)如图2，当点P与点 D 重合时， 沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积．
(4)是否存在点 P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)点P的坐标为；
(3)
(4)点P的坐标为或或．
【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论．
（1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，线段的和差关系求出的长即可；
（2）设，则，在中，利用勾股定理得到，求出，得到，进而可求出点P的坐标；
（3）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可；
（4）过点C作交于点E，交于点F，根据题意得到，分两种情况讨论：点在的上方，此种情况又分为和两种情况；点在的下方；分别根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵将沿折叠，点C落在点处，
∴，，，
∴；
故答案为：4；
（2）解：由（1）知：，，，
设，则，
∴在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：∵，
∴，
∵沿将折叠得，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，，
∴，
解得，
∴，
∴的面积；
（4）解：如图所示，过点作交于点E，交于点F，
∵，，
∴，
∴四边形是长方形，
∴，
①当点在的上方时，
若，
∴，，
由折叠得，，
∴，
∴，
∴设，则，
∴在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为；
若，
∴，，
由折叠得，，
∴，
∴，
∴设，则，
∴在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为；
当点在的下方时，如图，过点作交于点E，交于点F，
则，
若，则，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴；
综上所述，点P的坐标为或或．
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第1章二次根式单元测试（提升卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）（2022·山东济宁·二模）下列二次根式能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）（24-25八年级下·北京海淀·期中）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（2022·广西贵港·一模）代数式在实数范围内有意义，则x的值可能为（ ）
A．2023 B．2021 C． D．2022
4．（本题3分）（23-24八年级上·宁夏银川·期末）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若，则在平面直角坐标系中，点在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
6．（本题3分）（21-22七年级下·四川广元·月考）若，则 x－y 的值为（ ）
A．－2 B．2 C．4 D．6
7．（本题3分）（23-24八年级上·四川遂宁·期末）若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A．5 B． C．3 D．4
8．（本题3分）（24-25八年级下·山东泰安·期中）甲、乙、丙、丁四人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，这四张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（ ）
A．1张 B．2张 C．3张 D．4张
9．（本题3分）（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简后等于（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）（20-21八年级上·广东·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）．
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）（2021·浙江杭州·一模）计算： ．
12．（本题3分）（20-21八年级下·江苏常州·月考）化简：＝ ；（x≥0，y≥0）＝ ．
13．（本题3分）（22-23八年级下·江西赣州·月考）已知：，则 ．
14．（本题3分）（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）已知和的小数部分分别是，则代数式 ．
15．（本题3分）（25-26八年级上·四川·期中）已知，则 ．
16．（本题3分）（24-25八年级上·四川成都·月考）如图，在四边形中和，，，．对角线与相交于点E，若，则 ．
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题8分）（23-24八年级上·河北石家庄·期中）计算
(1)
(2)
(3)
18．（本题8分）（2024·福建厦门·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
19．（本题8分）（2025八年级下·全国·专题练习）已知，求代数式的值．
20．（本题8分）（22-23八年级下·江西赣州·期中）【阅读理解]】阅读下列材料，然后解答下列问题．
像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
(1)化简：①_______；②_______；
(2)计算：
(3)已知：，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
21．（本题8分）（24-25八年级下·河北石家庄·期末）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米．
(1)求该长方形闲置区域的周长；
(2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（参考数据：，结果精确到0.1）
22．（本题10分）（24-25八年级下·河南安阳·月考）把根式进行化简，若能找到两个数、，使且，则把变成，然后开方，从而使得化简．
例如：化简．
解：，
．
利用上述方法完成下列各题（结果要化为最简形式）：
(1) ；
(2) ；
(3)中，，求的长．
23．（本题10分）（25-26八年级上·上海闵行·期中）阅读下面材料：将边长分别为的正方形面积分别记为，则．例如：当时，．
根据以上材料解答下列问题：
(1)当时，________；________．
(2)当时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数．从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想．
(3)当时，令，且，若，求的值．
24．（本题12分）（25-26八年级上·江西吉安·期末）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中， 点与原点重合， 顶点 B、D分别在x轴、y轴上，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处．
(1)如图1， 连接， 当点在线段上时， 求
(2)在（1）的条件下，求点 P 的坐标．
(3)如图2，当点P与点 D 重合时， 沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积．
(4)是否存在点 P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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