中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版八下2.3一元二次方程根与系数的关系 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．设方程x2﹣3x＋2＝0的两根分别是x1，x2，则x1 x2＝（ ）
A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3
2．若关于的一元二次方程有一个解为，则另一个解为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
3．已知a，b是方程的两个实数根，求的值（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
4．已知关于x的方程有两个同号的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．关 于x 的一元二次方程，则该方程根的情况为（ ）
A．两根之和为 B．两根之积为
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
6．若一元二次方程的解为a、b，则一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知关于x的方程x2+mx+2n=0的两个根是1和-3，则m= ，n= ．
8．已知关于x的一元二次方程有实数根．若该方程的两个实数根分别为，且，求m的值
9．等腰三角形的三边分别是a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则n的值为 ．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0一个根为4，求方程另一个根和k的值．
11．设是一元二次方程的两个根．求：
(1)．
(2)．
12．若，是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知的两个根互为倒数，则k的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．1或
14．设是方程的两根，则( )
A． B． C．3 D．5
15．已知是一元二次方程的一个解，则此方程的另一个解是（ ）
A． B． C． D．4
16．关于x的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
17．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则，
其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①③④ C．只有②③ D．只有①②④
18．关于x的一元二次方程x2+（m2+4m）x+m2﹣m﹣1=0的两根互为相反数，则m= ．
19．设是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
20．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且．
则下列说法正确的有 ． （将正确选项的序号填在横线上）
①若，则；
②；
③若，则；
④若，则．
21．已知关于的一元二次方程．方程两个根，满足，则的值为多少？
22．已知关于x的方程．
(1)求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两根分别为，且分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m的值．
23．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题：
(1)若是方程的两根，则______，______；若2，3是方程的两根，则______，______；
(2)已知满足，求的值；
(3)已知．满足，则正整数的最小值为______．
24．定义：关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）是关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）的“友好方程”．例如：是的“友好方程”．求：
(1)方程的“友好方程”是________．
(2)若关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数．且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由．
(3)若关于的一元二次方程（其中是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求的值以及原方程的根．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版八下2.3一元二次方程根与系数的关系 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．设方程x2﹣3x＋2＝0的两根分别是x1，x2，则x1 x2＝（ ）
A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：，， 求解即可．
【详解】∵方程的两根分别为和 ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
2．若关于的一元二次方程有一个解为，则另一个解为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．设方程的另一个解为，根据两根之和等于，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设方程的另一个解为，
根据题意得：，
解得：，
故选：C．
3．已知a，b是方程的两个实数根，求的值（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系：先把代入，得出，即，故，再把代入，即可作答．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，把代入，
则，
即，
故，
故选：D．
4．已知关于x的方程有两个同号的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系，理解“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根”并灵活运用是解题的关键．
首先根据有两个实数根得到，求出，然后由两根同号得到，求出，即可求解．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
∵两个同号的实数根，
∴，
∴，
故选：B．
5．关 于x 的一元二次方程，则该方程根的情况为（ ）
A．两根之和为 B．两根之积为
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系以及根与系数的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根；若一元二次方程有两个实数根，则，，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系以及根与系数的关系，注意一定要先判断方程根的情况．
根据一元二次方程，求得判别式，从而得到一元二次方程没有实数根，即可求解．
【详解】解： 一元二次方程为，
其中，，，
则判别式，
则方程没有实数根，D选项正确，符合题意；
由于没有实数根，选项 A 和 B 涉及的根与系数的关系，不成立，选项 C 错误．
故选：D
6．若一元二次方程的解为a、b，则一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系可得出a+b=-2、ab=-3，再结合一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数的图象经过的象限，此题得解．
【详解】解：∵方程的两个实数根分别是a、b，
∴a+b=-2、ab=-3， 则一次函数的解析式为y=-2x+3，
∴该一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键．
7．已知关于x的方程x2+mx+2n=0的两个根是1和-3，则m= ，n= ．
【答案】 2 /
【分析】根据根与系数的关系直接计算m和n的值即可．
【详解】解：∵关于x的方程x2+mx+2n=0的两个根是1和-3，
∴1+（-3）=-m，1（-3）=2n，
解得：m=2，n=．
故答案为：2，．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，
8．已知关于x的一元二次方程有实数根．若该方程的两个实数根分别为，且，求m的值
【答案】
【分析】根据一元二次方程有实数根得到，确定，利用一元二次方程根与系数的关系得到，即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∵该方程的两个实数根分别为，
∴，
∴，
∴
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式变形计算，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
9．等腰三角形的三边分别是a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则n的值为 ．
【答案】20
【分析】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分2为底边长或腰长两种情况解题即可．
【详解】解：∵a，b是关于x的一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
∵等腰三角形的三边分别是a，b，2，
∴当2为底边长时，则，
∴．
∵4，4，2能围成三角形，
∴；
当2为腰长时，、中有一个为2，根据可得另一个为6，
∵6，2，2不能围成三角形，
∴此种情况不存在．
故答案为：20．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0一个根为4，求方程另一个根和k的值．
【答案】方程另一个根为，的值为．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得．
【详解】解：设方程的另一个根为，
则，
解得，
故方程另一个根为，的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
11．设是一元二次方程的两个根．求：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据根与系数的关系，进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，
∴；
（2）解：∵
又∵，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系：，是解题的关键．
12．若，是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系的应用，注意：如果是一元二次方程（a，b，c为常数，）的两个解，则，．
13．已知的两个根互为倒数，则k的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．1或
【答案】B
【分析】根据已知和根与系数的关系得出，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，即可求出符合题意的k的值．
【详解】解：设、是的两根，
由题意得：，
由根与系数的关系得：，
∴，
解得或，
∵方程有两个实数根，
则，
当时，，
∴不合题意，故舍去，
当时，，符合题意，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及相反数的定义，熟知根与系数的关系是解答此题的关键．
14．设是方程的两根，则( )
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及算术平方根，若是一元二次方程的两个根，则．先求出，再求其算术平方根即可．
【详解】解：∵是方程的两根，
∴，
而，
且，
∴
∴，
故选：B．
15．已知是一元二次方程的一个解，则此方程的另一个解是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据题意，得，结合得到，解答即可．
本题考查了根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：设方程的另一个根为，
且方程为，
根据题意，得，
由，
得，
故选：B．
16．关于x的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】C
【分析】将原式整理为一元二次方程的一般式，根据关于x的方程(x 2)(x 3)=m有两个不相等的实数根，运用根的判别式可判断A选项；运用根于系数的关系可判断选项B；运用求根公式可判断选项C、D．
【详解】解：(x 2)(x 3)=m整理为x2 5x+6 m=0，
A、∵关于x的方程(x 2)(x 3)=m有两个不相等的实数根，
∴b2 4ac＞0，即( 5)2 4×1×(6 m)＞0，
解得：m＞，故此选项正确，不符合题意；
B、根据根于系数的关系可得：x1+x2=，
∴，故此选项正确，不符合题意；
C、当m>0时，
，
，
∴当m>0时，x1<2<3D、由C可知此选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是熟知根的判别式以及根与系数的关系．
17．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则，
其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①③④ C．只有②③ D．只有①②④
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键，按照方程的解的含义，一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式对各选项分别讨论，即可得到答案．
【详解】解：①当时，，那么一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时成立，那么①一定正确；
②方程有两个不相等的实数根，则，那么，故方程必有两个不相等的实数根，进而推断出②正确；
③由是方程的一个根，得，当，则，当，则不一定等于0，那么③不一定正确；
④，由，得，由是一元二次方程的根，则成立，那么④正确．
综上所述：说法正确的有①②④，
故选：D．
18．关于x的一元二次方程x2+（m2+4m）x+m2﹣m﹣1=0的两根互为相反数，则m= ．
【答案】0
【分析】根据根与系数的关系和已知条件得出-（m +4m）=0，求解即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+（m2+4m）x+m2﹣m﹣1=0的两根互为相反数，
∴-（m +4m）=0，
解得：,
∵当m=-4时，m2+4m=0得x2+19=0无解.
故答案为0．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系,解题的关键是掌握：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=．
19．设是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据题意：，则把原式展开最后整体代入求值即可．
【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个实数根，
，
；
故答案为：．
20．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且．
则下列说法正确的有 ． （将正确选项的序号填在横线上）
①若，则；
②；
③若，则；
④若，则．
【答案】①③
【分析】本题考查绝对值的分类讨论，根与系数的关系，根的判别式等知识点，根据绝对值的性质，根与系数的关系，根的判别式解题即可．（1）根据根与系数的关系即可判断①，（2）分为和两种情况，分别将，表示出来，相加即可判断②，（3）由得出的范围，由二次函数图象的性质可得，，时y的值，即可判断③，（4）利用根与系数的关系将等量关系化为关于b，c的式子，即可判断④；
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
故①正确；
∵，，，
∴，，
当时，
，
，
当时，
，
，
故②错误；
，，，
，
，
，
当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
，，
，
，
故③正确；
，，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
故④错误；
故答案为：①③；
21．已知关于的一元二次方程．方程两个根，满足，则的值为多少？
【答案】的值为．
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式， 根据根与系数的关系得到，，由，得到， 代入，然后解关于的方程，根据方程有两个实数根，得到，即可得出答案，掌握根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：根据根与系数的关系得到：，，
∵，
∴，即，
整理得： ，
，
，
∵方程有两个实数根，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
22．已知关于x的方程．
(1)求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两根分别为，且分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据方程的根的判别式，得出△，即可证出方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，列出关于的方程，解方程并检验即可得答案．
【详解】（1）证明：△，
△，
总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两根分别为，
∴，
由题意知：
∴
∴或．
∵
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是掌握：（1）牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系得出．
23．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题：
(1)若是方程的两根，则______，______；若2，3是方程的两根，则______，______；
(2)已知满足，求的值；
(3)已知．满足，则正整数的最小值为______．
【答案】(1)，，，6
(2)2或
(3)3
【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点：若一元二次方程的两个根是，那么由求根公式可推出，是解答本题关键．
（1）直接利用根与系数的关系可得和的值，根据根与系数的关系得到，即可得到p、q的值；
（2）讨论：当时，得原式；当时，把m、n看作方程的两根，利用根与系数的关系得到，再通分化简原式，然后利用整体代入计算即可解答；
（3）利用已知条件变形得到，根据根与系数的关系，则a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式的意义得到，然后确定c的最小整数值．
【详解】（1）解：∵是方程的两根，
∴，；
∵2，3是方程的两根，
∴，
解得．
故答案为：，，，6．
（2）解：∵m，n满足，
当时，原式；
当时，m、n可看作方程的两根，
∵，
∴原式．
综上，的值为2或．
（3）解：∵，
∴，
∴a、b为一元二次方程的两根，
∵，而，
∴，即．
∴c的最小整数为3．
24．定义：关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）是关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）的“友好方程”．例如：是的“友好方程”．求：
(1)方程的“友好方程”是________．
(2)若关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数．且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由．
(3)若关于的一元二次方程（其中是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求的值以及原方程的根．
【答案】(1)
(2)是该方程的“友好方程”的一个解，理由见解析
(3)；原方程的根为和
【分析】本题考查一元二次方程及新定义问题，熟练掌握一元二次方程的性质与解法是解题的关键．
（1）仿照题中给出的新定义以及例子，求出“友好方程”即可；
（2）根据方程的一个解为3，得到，写出其“友好方程”，当时，得到关于 a、b、c得方程，据此进行计算求解即可；
（3）根据题意，得到其“友好方程”，由于两个方程有完全相同的解，则根据两根之和相等列出方程组，结合，得到的值，将的值代入到原方程中，通过因式分解得到方程的解即可．
【详解】（1）解：由题意得：中、、，根据“友好方程”的定义，方程的“友好方程”是，
故答案为：；
（2）解：方程的一个解为3，
，
其“友好方程”为：，
当时，
把代入上式得：
因此，是该方程的“友好方程”的一个解；
（3）解：设方程的解为、，
则
其“友好方程”的解也为、，
则
由题意列方程为：，
解得，或
且
那么原方程为
令或
解得，．
答：的值为以及原方程的根为和．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
