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浙教版八下2.2一元二次方程的解法（第3课时） 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤写出配方之后的方程即可．
【详解】解：
故答案选B
2．若关于x的一元二次方程 的左边可以写成一个完全平方式，则常数m的值为（ ）
A．7 B．7或 C．6 D．6或
【答案】B
【分析】本题考查完全平方式，熟知完全平方式的结构特征：．将方程左边表示为完全平方式，比较系数求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得或，
即的值为或，
故选：B．
3．某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把进行移项，再把二次项系数化1，然后配方，再解出的值，即可作答．
【详解】解：依题意，，
移项得，
整理得，
∴
∴，
∴
∴．
观察以及对比，得出错误是从乙同学负责的步骤开始出现的，
故选：B
4．若，，为实数，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．的大小关系与的取值有关
【答案】A
【分析】本题考查了整式的加减，配方法的应用．直接利用整式的加减运算法则结合偶次方的性质得出答案．
【详解】解：∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
5．用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答．
【详解】解：，
，
，
所以．
故选C．
6．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则关于x的一元二次方程的其中一个根必为（ ）
A．2022 B．2024 C．2025 D．2028
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根、解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．代入到方程，整理得到，再利用配方法解方程即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，
代入到方程，得，
整理得：，
，
，
，
，
解得：，，
关于x的一元二次方程的其中一个根必为2022．
故选：A．
7．若方程能配方成的形式，则直线不经过的象限是 ．
【答案】第二象限
【分析】本题考查了解一元二次方程和一次函数的图象与系数的关系，先配方，求出、的值，再根据一次函数的图象与系数的关系得出即可．
【详解】解：
∴
∴
∴
∴
∴直线为，
∵
∴图象不经过第二象限，
故答案为：第二象限．
8．用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以2，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得m、n的值，进而可得答案．
【详解】解：
，
∴，
∴，
故答案为：．
9．新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．
如与是“同类方程”．
（1）若与是“同类方程”，则 ．
（2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ．
【答案】 2026
【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键．
（1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值．
（2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值．
【详解】解：（1）与是“同类方程”，
即与是“同类方程”，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）∵与是“同类方程”，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
∴当时，取得最大值为2026．
故答案为：2026．
10．用配方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，；
(4)，；
(5)，；
(6)，．
【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．
（1）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解．
（2）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解．
（3）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解．
（4）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解．
（5）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解．
（6）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，；
（4）解：，
，
，
，
，
，
，；
（5）解：，
，
，
，
，
，
，；
（6）解：，
，
，
，
，
，
，．
11．小颖在解方程时出现了错误，解答过程如图所示：
解方程： 解：，…‥① ，．．．．．② ，…．．③ ，．．．．．．④ ，．．．．．．⑤ ．．．．．⑥
(1)小颖的解答过程从第__________________步开始出错，其错误的原因是_________________；
(2)请你写出此题正确的解题过程．
【答案】(1)②，等式右边没有除以2
(2)
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，正确计算是解题关键；
（1）发现第二步等式右边没有除以2；
（2）直接利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：②，等式右边没有除以2；
（2）解：
，
，
，
，
12．将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可求解．
【详解】解：，
二次项化系数为1得：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
故选：A．
13．已知关于的方程，（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据题意把看做一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵关于的方程，（，，均为常数，且）的两个解是和，
∴方程的解满足或，
解得，，
故选：A．
14．把整式表示成的形式，则的最小值为（ ）
A．5 B．2.5 C．7 D．3.5
【答案】A
【分析】本题考查整式的混合运算，先利用整式的混合运算法则，结合完全平方公式将化简，因为把整式表示成的形式，得出 ，故，即可作答．
【详解】解：∵
，
又，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
当时，则有最小值，且为．
故选：A．
15．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先利用配方法求出的值，再代入计算即可得．
【详解】解：，
，
，
，即，
则，
所以，
故选：B．
16．已知多项式，多项式，则下列结论正确的有（ ）
①若，则代数式的值为；
②当，时，代数式的最小值为；
③当时，若，则关于的方程有两个实数根；
④当时，若，则的取值范围是．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了配方法的应用、含绝对值的式子的化简、解一元二次方程，整式的加减，熟练掌握相关方法是解题的关键．
①令解出的值，代入代数式即可；
②把代入，再配方求最小值；
③把代入求解；
④根据绝对值的意义求解．
【详解】解：①若，则，解得，；
当时，；当时，；故①正确；
②当时，，，
当时，的最小值取在，此时值为；故②正确；
③当时，，，则，解得，；故③正确；
④当时，，，，．
当且，即时，；
当且，即时，；
当且，即时，；
综上，的取值范围是．故④错误；
∴正确的有三个．
故选：C．
17．关于的方程，下列四种不同解法中，完全正确的是（ ）
①两边同时除以得.
②化简整理得，∵，，，，∴.
③整理得，配方得，∴，∴，∴，.
④移项得：，∴或，∴，.
A．① B．② C．④ D．③④
【答案】C
【分析】本题考查了解二元一次方程-因式分解法，直接开方法，公式法，以及配方法，根据解一元二次方程的方法逐一判断即可．
【详解】解：A．①不符合解一元二次方程的方法，故①错误；
B．不是，故②错误；
C．配方时，等式两边应该加4，故③错误；
D．，
，
，
∴或，
∴，．故④正确．
故选：C．
18．若用配方法解方程，时，原方程可变形为 ．
【答案】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先将常数项移到右边，再将二次项系数化为1，最后方程两边再加上一次项系数的一半的平方即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：．
19．已知实数，满足，则代数式的最小值是 ．
【答案】4
【分析】此题考查了配方法的应用与平方式的非负性，解题的关键是熟练掌握配方法．由题意得，代入代数式可得，由此可知代数式的最小值是4．
【详解】解：，
，则，
，
，
∴（当时取等号），
则，
当时，代数式有最小值等于4，
故答案为：4．
20．若代数式与的值互为相反数，则的值为 ．
【答案】3或
【分析】本题考查了相反数的定义和配方法解一元二次方程，解题的关键在于根据题意列出方程并利用配方法求解．
根据相反数的定义： 互为相反数的两数之和为可列方程，再用配方法解方程即可．
【详解】解：由题意，得，
即，
移项，得，
两边同除以，得，
配方，得
，
解得．
故答案为：或
21．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可．
【详解】解： 与是“同族二次方程”，
，
∴，
，
∴，
，
最小值为，
最小值为，
即最小值为．
故答案为：．
22．用配方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
（1）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
（3）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
（4）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（4）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
23．定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由；
(2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值．
【答案】(1)是“C方程”，理由见解析；
(2)．
【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，理解“C方程”的定义是解题的关键．
（1）求出方程的解，再根据“C方程”定义即可判断；
（2）根据“C方程”定义，得到，利用配方法，非负数的性质即可求解．
【详解】（1）解：是“C方程”，理由如下：
∵，
∴，
∴或，
解得：，
∵，
∴一元二次方程是“C方程”；
（2）解：∵关于x的一元二次方程是“C方程”，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为．
24．阅读材料：
利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
例如：求代数式的最小值．
原式
，
当时，有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)求代数式的最小值．
(2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查配方法，涉及完全平方公式、平方非负性等知识，读懂题意，利用配方法，结合平方非负性即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键．
（1）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案；
（2）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案．
【详解】（1）解：
，
，
的最小值是3；
（2）解：
，
，，
，
无论取任何实数时，多项式的值总为正数．
25．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时．
(1)尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值是 ；
，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值．
(2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)；，大；
(2)当为米，为米时，面积最大为平方米．
【分析】（）根据配方后的结果即可求解；根据配方后的结果即可求解；
（）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，列式表示出矩形的面积，再利用配方法解答即可求解；
本题考查了利用配方法求代数式的最值，掌握配方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，代数式有最小值，最小值为，
故答案为：，；
∵，
∴当时，代数式有最大值，
故答案为：，大；
（2）解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，
根据题意得，，
当时，有最大值，最大值为，
∴围成的矩形花圃垂直于墙的栅栏长时，能使花圃面积最大，最大面积是．
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浙教版八下2.2一元二次方程的解法（第3课时） 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的一元二次方程 的左边可以写成一个完全平方式，则常数m的值为（ ）
A．7 B．7或 C．6 D．6或
3．某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．若，，为实数，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．的大小关系与的取值有关
5．用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
6．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则关于x的一元二次方程的其中一个根必为（ ）
A．2022 B．2024 C．2025 D．2028
7．若方程能配方成的形式，则直线不经过的象限是 ．
8．用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则 ．
9．新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．
如与是“同类方程”．
（1）若与是“同类方程”，则 ．
（2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ．
10．用配方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
11．小颖在解方程时出现了错误，解答过程如图所示：
解方程： 解：，…‥① ，．．．．．② ，…．．③ ，．．．．．．④ ，．．．．．．⑤ ．．．．．⑥
(1)小颖的解答过程从第__________________步开始出错，其错误的原因是_________________；
(2)请你写出此题正确的解题过程．
12．将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知关于的方程，（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
14．把整式表示成的形式，则的最小值为（ ）
A．5 B．2.5 C．7 D．3.5
15．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
16．已知多项式，多项式，则下列结论正确的有（ ）
①若，则代数式的值为；
②当，时，代数式的最小值为；
③当时，若，则关于的方程有两个实数根；
④当时，若，则的取值范围是．
A．1 B．2 C．3 D．4
17．关于的方程，下列四种不同解法中，完全正确的是（ ）
①两边同时除以得.
②化简整理得，∵，，，，∴.
③整理得，配方得，∴，∴，∴，.
④移项得：，∴或，∴，.
A．① B．② C．④ D．③④
18．若用配方法解方程，时，原方程可变形为 ．
19．已知实数，满足，则代数式的最小值是 ．
20．若代数式与的值互为相反数，则的值为 ．
21．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是 ．
22．用配方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
23．定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由；
(2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值．
24．阅读材料：
利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
例如：求代数式的最小值．
原式
，
当时，有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)求代数式的最小值．
(2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数．
25．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时．
(1)尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值是 ；
，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值．
(2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
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