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浙教版八下2.2一元二次方程的解法（第4课时）课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3
【答案】D
【详解】一元二次方程化简，得．
，，
，
即．
，
该方程有两个正根，且有一根大于3．
2．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值．对于方程，a，b，c的值分别是（ ）
A．，5，3 B．，，3 C．4，5，3 D．4，，
【答案】B
【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式．
【详解】∵
∴或
∴的值分别是或
故答案选B
【点睛】在变化为一般形式时，要注意移项变号问题
3．关于x的方程根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况．
【详解】解：对于方程，其判别式为：
由于，则，因此．
故判别式恒为负数，方程无实数根，
故选：C．
4．若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程等．先根据一元二次方程的定义确定m的值，再利用求根公式解方程．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，，
解得：，
∴方程为：，
∵，
∴，
故选：B．
5．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答．
【详解】解：由知：，，．
所以该一元二次方程为：．
故选：A．
6．已知，，下列结论正确的个数为( )
①若是完全平方式，则；
②B－A的最小值是2；
③若n是的一个根，则；
④若，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①利用完全平方式求解；②利用整式的加减运算和配方法求解；③利用求根公式和完全平方公式求解；④利用完全平方公式求解．
【详解】解：①∵A=x2+6x+n2是完全平方式，
∴n=±3，故结论正确；
②∵B-A
=2x2+4x+2n2+3-（x2+6x+n2）
=x2-2x+n2+3
=（x-1）2+n2+2，
而（x-1）2+n2≥0，
∴B-A≥2，
∴B-A的最小值是2，故结论正确；
③∵A+B=x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3=3x2+10x+3n2+3，
把x=n代入3x2+10x+3n2+3=0，
得3n2+10n+3n2+3=0，即6n2+10n+3=0，
解得
当时，
当时，
故结论错误；
④∵（2022-A+A-2019）2
=（2022-2019）2
=（2022-A）2+（A-2019）2+2（2022-A）（A-2019）
=（2022-A）2+（A-2019）2+2×2
=9，
∴（2022-A）2+（A-2019）2=5；故结论错误；
故选B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方方法的应用，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．
7．用公式法解方程时，其中求得的的值是 ．
【答案】64
【分析】先将方程化为一般式，准确找出a、b、c的值，代入计算即可．
【详解】解：，
，
∴，
∴，
故答案为：64．
【点睛】本题主要考查了求一元二次方程根的判别式，解题的关键是将方程化为一般式，准确找出二次项系数，一次项系数，常数项．
8．已知代数式的值与代数式的值相等，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，理解题意，得，再整理得，运用公式法进行解方程，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∴，
∴，
即，
∴，
则，
∴或，
故答案为：或．
9．已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解一元一次不等式，解一元二次方程得出，，结合题意得出，解一元一次不等式即可得解．
【详解】解：由题意可得：，
∴此方程总有两个实数根，
∴，
∴，，
∵关于x的一元二次方程恰有一个根小于，
∴，
∴，
故答案为：．
10．用公式法解下列各方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题．
（1）把代入求根公式计算即可；
（2）把代入求根公式计算即可；
（3）先把方程化为一般形式得：，再把代入求根公式计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：整理，得，
．
11．关于x的一元二次方程．
(1)判定此方程根的情况；
(2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值．
【答案】(1)方程有两个实数根
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，也考查了根的判别式．
（1）计算判别式的值得到即可得解；
（2）利用公式法求出方程的两个解为，，再根据三角形的三边关系，结合等腰三角形的定义进行分类讨论即可．
【详解】（1）证明：．
方程有两个实数根；
（2）解：由，且，
得
∴，，
即、的长为，，
当时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得；
当时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件．
综上所述，．
12．已知方程，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个根 B．只有一个根
C．有两个根 D．有两个根
【答案】C
【分析】先求出该方程根的判别式，再用求根公式求解即可．
【详解】解：，
，
∴，
∴，
解得∶，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用公式法解一元二次方程的方法和步骤．
13．若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
【答案】D
【分析】根据题意，先将方程的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．
【详解】解方程得，
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为，面积为；
则该直角三角形的面积是6或，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．
14．若正数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了代数式的变形求值，解一元二次方程，分式的运算等知识，根据公式法求出，再将变形为，最后将代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴，
解得：，
∵是正数，
∴，
∵正数满足，
∴，即，
∴，
把代入，得：，
∴，
故选：C．
15．已知为实数，关于的两个方程，公共的实数根的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求根公式法解一元二次方程等知识点，设两个方程的公共根为，可得：，当时，两个方程均为，此时方程有两个不相等的实数根，当时，两个方程有公共根，所以两个方程有个公共根．
【详解】解：设两个方程的公共根为，
则，
得：，
分解因式得：，
即或．
当时，两个方程均为，
，
解方程得：，，
方程有两个不相等的实数根，
当时，两个方程有公共根，
综上，两个方程有个公共根．
故选：C ．
16．从三个数中，任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．若，且中最小值为，则x的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解法及整式的运算是解题的关键．根据题中所给新定义运算及一元二次方程的解法可进行求解．
【详解】若，
当时，即，则，所以原方程无解；
当时，即，则，所以原方程无解；
当时，即，解得：，；
∴综上所述：若，且中最小值为，则，；
故选：B．
17．已知关于方程的根都是整数，且满足等式，则满足条件的所有整数的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，利用二次根式有意义的条件可得出，然后分或两种情况解方程，可得出所有符合条件的整数的值，最后求和即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
当时，原方程为，
解得：，
当时，，
∵
∴，
∴，，
∵方程的根都是整数，且为整数，
∴或或或，
∴或或或，
又∵，
∴可取或或，
综上所述，满足条件的整数为：或或或，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的有意义的条件，一元二次方程的解法，整除性．运用了分类讨论的解题方法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
18．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的判别式与根的个数的关系．熟练掌握使等式成立的未知数的值，是方程的解，以及判别式与根的个数的关系，是解题的关键．
根据，得到方程有一个根为：，即可得到；②根据有两个不相等的实根，得到，进而可以得到，即可得到方程必有两个不相等的实根；③根据是方程的一个根，得到，分和两种情况讨论，进行判断；④根据求根公式，进行变形判断即可．
【详解】解：①若，则方程有一个根为：，即方程有实数根，
∴，故①正确；
②若方程有两个不相等的实根，则：，
，
∴方程必有两个不相等的实根，故②正确；
③若是方程的一个根，则：，
，
当时：；
当时，不一定等于 0 ，故③错误；
④若是一元二次方程的根，则：，
∴，
∴，故④正确；
综上，正确的是①②④；
故选：C．
19．关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元二次方程，直接利用求根公式进行求解即可．
【详解】解：∵根的判别式的值是，
∴，
∴；
故答案为：．
20．已知代数式的最小值为，则的值为 ．
【答案】/0.5
【分析】本题考查了配方法及一元二次方程的求解．将代数式配方成，即可求解．
【详解】解：∵
∴的最小值为，
∴
整理得：
解得：
故答案为：
21．已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为 ．
【答案】4或5
【分析】本题考查一元二次方程的解和等腰三角形，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
先利用公式法求出方程的解为，然后分类讨论：，当或时为等腰三角形，然后求出k的值．
【详解】解：，
∴=
即，
，
、中有一个数为．
当时，
解得：．
、、能构成等腰三角形，
符合题意；
当时，、、能构成等腰三角形，
符合题意．
综上所述：的值为或．
22．用适当方法解下列方程∶
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)
(2)，；
(3)
(4)
【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的解法，如直接开平方法、因式分解法、公式法等．
（1）方程，可先将方程两边同时除以4，再用直接开平方法求解；
（2）方程，尝试用因式分解法求解；
（3）方程，用公式法求解；
（4）方程，把看成一个整体，用因式分解法求解．
【详解】（1）解：（1），即，
或，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
；
（4）解：，
设，则方程变形为，
，
即，
或，
或，
则或，
解得．
23．已知关于的方程．
(1)求证：方程必有两个不等实数根；
(2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根．
【答案】(1)方程必有两个不等实数根；
(2)m的值为1，这两个有理数根为和．
【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程．
（1）由方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程必有两个不等实数根；
（2）由m的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出，代入后可得出原方程为，且，再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根．
【详解】（1）证明：
．
∵，
∴，
即，
∴方程必有两个不等实数根；
（2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且，
∴，
∴原方程为，且，
∴此时原方程的解为，
∴m的值为1，这两个有理数根为和．
24．定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”．
例如：，
即，
解得，，
∵，
是差积方程．
(1)方程__________（填是或不是）“差积方程”；
(2)若关于的方程是“差积方程”，求出的值．
(3)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________．
【答案】(1)不是
(2)或
(3)2
【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
（1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解；
（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；
（3）先解方程得出，，根据新定义得出，求出，根据它的一个实数根为，得出，整体代入求出结果即可．
【详解】（1）解：，
即，
解得：，
，
∴不是差积方程；
（2）解：，
即，
解得：，，
∵是差积方程，
，
即或．
解得：或；
（3）解：，
解得：，
，，
∵是差积方程，
，
即，
即，
∵它的一个实数根为，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
25．观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：，方程的两个根分别是，；
第2个方程：，方程的两个根分别是，；
第3个方程：；方程的两个根分别是，；
第4个方程：；方程的两个根分别是，；
……
(1)请按照此规律写出两个根分别是，的一元二次方程 ．
(2)如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”．
(3)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少．
【答案】(1)
(2)是“邻根方程”
(3)3或5或或
【分析】本题考查一元二次方程的新定义题型，勾股定理，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，同时解题时注意分类讨论思想的应用．
（1）根据题意观察可知，一元二次方程的两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数之比，即可写出对应的方程；
（2）根据一元二次方程的解法求出已知方程的两根，在计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；
（3）先利用因式分解法求出一元二次方程对应的两根，由于两根的大小未知，所以应注意分两种情况求解．
【详解】（1）解：由题意可知：方程的一次项系数为：，常数项为：，
∴，，
所以，对应的一元二次方程为：．
（2）解：∵
∴，
∵
∴是“邻根方程”．
（3）解：∵，
∴，
∴，，
∵关于x 的方程（m是常数）是“邻根方程”，
∴或，
∴解得：或，
①当时，方程的两个根为和，
∵方程两根为直角三角形的两条边，
若4和3为两条直角边长时，则此三角形的第三边长为：；
若3为直角边长，4为斜边长时，则此三角形的第三边长为：；
②当时，方程的两个根为和，
∵方程两根为直角三角形的两条边，
若4和5为两条直角边长时，则此三角形的第三边长为：；
若4为直角边长，5为斜边长时，则此三角形的第三边长为：；
综上所述：此三角形的第三边长为3或5或或．
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浙教版八下2.2一元二次方程的解法（第4课时）课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3
2．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值．对于方程，a，b，c的值分别是（ ）
A．，5，3 B．，，3 C．4，5，3 D．4，，
3．关于x的方程根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
4．若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
5．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，下列结论正确的个数为( )
①若是完全平方式，则；
②B－A的最小值是2；
③若n是的一个根，则；
④若，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．用公式法解方程时，其中求得的的值是 ．
8．已知代数式的值与代数式的值相等，则 ．
9．已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为 ．
10．用公式法解下列各方程：
(1)
(2)
(3)
11．关于x的一元二次方程．
(1)判定此方程根的情况；
(2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值．
12．已知方程，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个根 B．只有一个根
C．有两个根 D．有两个根
13．若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
14．若正数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．已知为实数，关于的两个方程，公共的实数根的个数为（ ）
A． B． C． D．
16．从三个数中，任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．若，且中最小值为，则x的值为( )
A． B． C． D．
17．已知关于方程的根都是整数，且满足等式，则满足条件的所有整数的和是（ ）
A． B． C． D．
18．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
19．关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为 ．
20．已知代数式的最小值为，则的值为 ．
21．已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为 ．
22．用适当方法解下列方程∶
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
23．已知关于的方程．
(1)求证：方程必有两个不等实数根；
(2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根．
24．定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”．
例如：，
即，
解得，，
∵，
是差积方程．
(1)方程__________（填是或不是）“差积方程”；
(2)若关于的方程是“差积方程”，求出的值．
(3)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________．
25．观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：，方程的两个根分别是，；
第2个方程：，方程的两个根分别是，；
第3个方程：；方程的两个根分别是，；
第4个方程：；方程的两个根分别是，；
……
(1)请按照此规律写出两个根分别是，的一元二次方程 ．
(2)如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”．
(3)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少．
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