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第2章 一元二次方程 单元测试（基础卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）（25-26九年级上·江苏苏州·期末）下列方程中，一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的定义，依据一元二次方程的定义（只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程）来判断各选项即可．
【详解】解：选项A：化简后为，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义，故选项A不符合题意；
选项B：只含一个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义，故选项B符合题意；
选项C：含有两个未知数x和y，是二元一次方程，不符合一元二次方程定义，故选项C不符合题意；
选项D：含有两个未知数x和y，是二元二次方程，不符合一元二次方程定义，故选项D不符合题意
故选：B．
2．（本题3分）（23-24九年级上·甘肃武威·期中）用配方法解方程，则方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程，根据完全平方公式把原式变形，判断即可．掌握完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：依题意，，
移项配方，得，
则，
故选：B．
3．（本题3分）（22-23九年级上·河北沧州·月考）下列方程中，以为根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接根据公式法解一元二次方程判断即可．
【详解】解：A．，故不符合题意；
B． ，故符合题意；
C． ，故不符合题意；
D． ，故不符合题意；
故选B．
4．（本题3分）（22-23七年级上·陕西西安·期末） 是关于x的一元一次方程，则（ ）
A．0 B．1 C． D．或1
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次方程的定义、绝对值，由是关于x的一元一次方程可得到关于a的一元一次不等式组，求解即可得到答案．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程，
∴，
解得：．
故选：C．
5．（本题3分）（24-25九年级上·四川自贡·期中）若一元二次方程（a，b为常数)，化成一般形式为，则a，b的值分别是（ ）
A．3，4 B．，4 C．3， D．，
【答案】B
【分析】本题考查配方法的应用，将利用配方法转化为：，即可得出结论．
【详解】解：
∴，
∴；
故选B．
6．（本题3分）（23-24九年级上·广东佛山·月考）设α，β是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．6 B． C．5 D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵α，β是一元二次方程的两个根，
∴，
故选：C．
7．（本题3分）（2025·云南楚雄·三模）保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有64种农作物种子，经过两年不断努力地培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量的年平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据“该农科实验基地两年前有64种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子”列出一元二次方程即可．
【详解】解：这两年培育新品种数量的平均年增长率为，
依题意得，
故选：C．
8．（本题3分）（2025·河南周口·三模）若实数分别满足：且，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限
C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限
【答案】A
【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解一元二次方程，求一元一次不等式的解集，先根据已知求出a的值和b的取值范围，再分两种情况讨论，即可确定点所在的象限．
【详解】解：∵，
∴，
解得或，
∵，
∴，
分以下两种情况讨论：
当时，，，
∴点所在的象限是第一象限；
当时，，，
∴点所在的象限是第二象限；
综上所述，点所在的象限是第一象限或第二象限．
故选：A．
9．（本题3分）（23-24九年级上·河南郑州·月考）如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为25米），用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，矩形场地的面积为240平方米．若设栅栏的长为x米，则x的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【分析】根据的长度和小门的长度，用含有的代数式得到的长，再根据矩形场地的面积为240平方米，列方程即可解答．
【详解】解：根据题意米，
则可得：，
解得，
当时，，不符合题意，故舍去；
当时，，符合题意，
，
故选：A．
10．（本题3分）（2024·北京西城·一模）如图，在中，，， (其中)．于点D，点E在边上， 设，，， 给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于 x 的方程 的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理，公式法解一元二次方程，关键在于找出各边的几何关系．
【详解】解：∵在中，，即，
在中，，即，
∴ ，
即，
故①正确．
∵在中，，
在中，，
∴，
又∵在中，，
∴，
即，
即，
∴，
∴，
故②错误．
∵，
∴，
∵的实数根为：
，
∴的长是关于 x 的方程 的一个实数根，
故③正确．
综上①③正确，
故选：B．
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）（22-23八年级上·上海·期中）当 时，代数式的值等于12．
【答案】或/或4
【分析】根据代数式的值等于12列方程求出x的值即可．
【详解】解：由题意得，，
即，
则，
则或，
解得，，
即当或时，代数式的值等于12．
故答案为：或
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
12．（本题3分）（19-20九年级上·全国·单元测试）若一元二次方程配方后为，则 ．
【答案】3
【分析】题目主要考查一元二次方程的配方法及求代数式的值，将配方后的方程展开是解题关键．
将配方后的方程化为一般形式即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程配方后为，
∴
∴，
故答案为：3．
13．（本题3分）（24-25九年级上·湖北孝感·月考）若关于的方程：有解，则实数取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有解即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：方程整理成一般式得，，
∵方程有解，
∴，
解得，
故答案为：．
14．（本题3分）（25-26九年级上·江苏扬州·月考）已知a、b是一元二次方程的两个实数根，求的值 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：．
15．（本题3分）（2023·重庆沙坪坝·三模）股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票原价为每股元，之后两天时间涨到每股元，若这两天此股票股价的平均增长率为，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】设这两天此股票股价的平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设这两天此股票股价的平均增长率为，根据题意得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
16．（本题3分）（20-21九年级上·广西来宾·期末）如图，在一个长为40 m，宽为26m的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么 m．
【答案】2
【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为864m2列出方程求解即可．
【详解】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（402x）（26x）=864，
整理，得x246x+88=0．
解得，x1=2，x2=44．
∵44＞40（不合题意，舍去），
∴x=2．
答：小道进出口的宽度应为2米．
故答案为：2．
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题8分）（22-23九年级上·湖北随州·月考）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用因式分解得到，则或，即可得到答案；
（2）利用公式法得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：
则，
即，
∴或，
解得，；
（2）
∵，
∴，
∴，
∴
【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择是解题的关键．
18．（本题8分）（23-24八年级上·上海松江·期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及这时方程的根．
【答案】时，或时，
【分析】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，以及一元二次方程的解法，关键是掌握：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得：或，
当时，方程为，解得；
当时，方程为，解得；
综上所述，时，或时，．
19．（本题8分）（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知，分别求出满足下列条件的的值：
(1)与的值互为相反数；
(2)的值比的值大3．
【答案】(1)0或
(2)或1
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.
（1）根据互为相反数的两数之和为0，列出方程，进行求解即可．
（2）根据的值比的值大3，再建立方程求解即可.
【详解】（1）解：由题意得：，
即，
整理得，
即，
解得：，
即为0或时，与的值互为相反数．
（2）解：由题意得：
即
整理得
即
解得：
即为或1时，的值比的值大3．
20．（本题8分）（21-22八年级下·山东泰安·期末）某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？
【答案】该商店需要将每台学习机售价定为1300元．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．设每台学习机售价为x元，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润等于每台的销售利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设每台学习机售价为x元，
依题意得：，
解得：，，
∵减少库存，
∴；
答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元．
21．（本题8分）（24-25八年级下·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若，是该方程的两根，且满足，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数之间的关系，正确理解题意是解题的关键：
（1）根据根的判别式得出，再根据完全平方式转化，进而可得出结论；
（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系得出，，再将其代入得出，求解即可
【详解】（1）证明：
，
故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：，，
，
，
，
，．
故m的值为或．
22．（本题10分）（24-25八年级上·湖南郴州·期中）阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：．
解：设，则原方程化为，方程两边同时乘，得整式方程，
解得．经检验：都是方程的解．
当时，，解得；当时，，解得．
经检验：和都是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为或．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
(1)关于的方程，可以设，新方程去分母后可化为整式方程，这个关于的整式方程为______．
(2)用换元法解：．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程：
（1）根据题意可得原方程为，方程两边同时乘可得，即；
（2）设，则原方程为，方程两边同时乘，得整式方程，解得，再仿照题意求解即可．
【详解】（1）解：设，则原方程为，
方程两边同时乘，得整式方程，即，
故答案为：；
（2）解：设，则原方程为，
方程两边同时乘，得整式方程，
解得，
经检验，都是方程的解，
当时，则，即，
解得，
经检验，是方程的解；
当时，则，即，
解得，
经检验，是方程的解；
∴原分式方程的解为或．
23．（本题10分）（19-20九年级上·吉林·期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)，
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
【答案】（1）鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m；（2）不能，理由见解析．
【分析】（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入（33-3x）中，取使得（33-3x）小于等于15的值即可得出结论；
（2）不能，理由如下，设BC=ym，则AB=（33-3y）m，同（1）可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△=-111＜0，即可得出结论．
【详解】解：（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，
依题意，得：x（33-3x）=90，
解得：x1=6，x2=5．
当x=6时，33-3x=15，符合题意，
当x=5时，33-3x=18，18＞15，不合题意，舍去．
答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．
（2）不能，理由如下：
设BC=ym，则AB=（33-3y）m，
依题意，得：y（33-3y）=100，
整理，得：3y2-33y+100=0．
∵△=（-33）2-4×3×100=-111＜0，
∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（本题12分）（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；
(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
(3)提升：已知实数s，t满足且，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)的值为或．
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，．
故答案为：，；
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
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第2章 一元二次方程 单元测试（基础卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）（25-26九年级上·江苏苏州·期末）下列方程中，一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）（23-24九年级上·甘肃武威·期中）用配方法解方程，则方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（22-23九年级上·河北沧州·月考）下列方程中，以为根的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）（22-23七年级上·陕西西安·期末） 是关于x的一元一次方程，则（ ）
A．0 B．1 C． D．或1
5．（本题3分）（24-25九年级上·四川自贡·期中）若一元二次方程（a，b为常数)，化成一般形式为，则a，b的值分别是（ ）
A．3，4 B．，4 C．3， D．，
6．（本题3分）（23-24九年级上·广东佛山·月考）设α，β是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．6 B． C．5 D．
7．（本题3分）（2025·云南楚雄·三模）保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有64种农作物种子，经过两年不断努力地培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量的年平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（本题3分）（2025·河南周口·三模）若实数分别满足：且，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限
C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限
9．（本题3分）（23-24九年级上·河南郑州·月考）如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为25米），用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，矩形场地的面积为240平方米．若设栅栏的长为x米，则x的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
10．（本题3分）（2024·北京西城·一模）如图，在中，，， (其中)．于点D，点E在边上， 设，，， 给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于 x 的方程 的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）（22-23八年级上·上海·期中）当 时，代数式的值等于12．
12．（本题3分）（19-20九年级上·全国·单元测试）若一元二次方程配方后为，则 ．
13．（本题3分）（24-25九年级上·湖北孝感·月考）若关于的方程：有解，则实数取值范围是 ．
14．（本题3分）（25-26九年级上·江苏扬州·月考）已知a、b是一元二次方程的两个实数根，求的值 ．
15．（本题3分）（2023·重庆沙坪坝·三模）股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票原价为每股元，之后两天时间涨到每股元，若这两天此股票股价的平均增长率为，则可列方程为 ．
16．（本题3分）（20-21九年级上·广西来宾·期末）如图，在一个长为40 m，宽为26m的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么 m．
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题8分）（22-23九年级上·湖北随州·月考）解下列方程：
(1)；
(2)．
18．（本题8分）（23-24八年级上·上海松江·期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及这时方程的根．
19．（本题8分）（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知，分别求出满足下列条件的的值：
(1)与的值互为相反数；
(2)的值比的值大3．
20．（本题8分）（21-22八年级下·山东泰安·期末）某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？
21．（本题8分）（24-25八年级下·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若，是该方程的两根，且满足，求m的值．
22．（本题10分）（24-25八年级上·湖南郴州·期中）阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：．
解：设，则原方程化为，方程两边同时乘，得整式方程，
解得．经检验：都是方程的解．
当时，，解得；当时，，解得．
经检验：和都是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为或．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
(1)关于的方程，可以设，新方程去分母后可化为整式方程，这个关于的整式方程为______．
(2)用换元法解：．
23．（本题10分）（19-20九年级上·吉林·期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)，
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
24．（本题12分）（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；
(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
(3)提升：已知实数s，t满足且，求的值．
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