浙教版数学八（下）同步分层训练1.1二次根式的意义
一、【经典例题】
1．求下列二次根式中字母的取值范围．
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
2．当 为何值时，下列各式有意义？
（1）．
（2）．
3．已知二次根式 ．
（1）求 的取值范围．
（2）当 时， 求二次根式 的值．
（3）若二次根式 的值为零， 求 的值．
4． 已知x，y为实数，且满足，求2x+3y的值.
二、【基础训练】
5．下列各式中，属于二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
6．（2025八下·杭州月考）二次根式在实数范围内有意义，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
7．二次根式中字母的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·吴兴期中） 下列各式中，是二次根式有（ ）
①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥； ⑦（ab≥0）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．当x=0时，二次根式的值是 （ ）
A．6 B．3 C． D．0
10．（2023八下·衢江期末）当x＝ 时，的值最小．
11．一块面积为5 m2 的正方形桌布，其边长为 m，这个边长 （填“是”或“不是”）二次根式.
12． 要使二次根式有意义，请写出一个满足条件的整数的值： ．
13．若二次根式 ， 求 的值.
14．已知是整数，求自然数n的值.
15．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.1二次根式）已知一个直角三角形的斜边长为41，一条直角边长为x．
（1）用关于x的代数式表示这个直角三角形的另一条直角边长；
（2）当x=40时，求另一条直角边的长．
16．（2025八下·临海期中）已知，求的值．
三、【培优训练】
17．已知：m， n是两个连续自然数（mA．总是奇数 B．总是偶数
C．有时奇数，有时偶数 D．有时有理数，有时无理数
18．（2025八下·宁海期中）已知|2024-a|+=a，则a-20242= .
19．（2017八下·武清期中）已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是 ．
20． 已知实数a，b，c 满足 求a，b，c的值.
21．若关于 的方程 存在整数解， 求正整数 所有可取的值.
22．（2024八下·台州开学考）已知a，b，c满足，
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．
23．已知实数 满足等式 .
（1） 若 ， 求 的值.
（2）若实数 ， 求 的平方根.
24．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.1二次根式）阅读下列引例的解答过程：
已知x，y为实数，且y= ，求x+y的值．
解：由题意，得x-2021≥0且2021-x≥0，
∴x≥2 021且x≤2 021，
∴x=2 021，∴y=1，
∴x+y=2 022．
结合引例，请挖掘下列问题中所蕴含的条件并解决问题：
（1）已知y= -2．求(x+y)y的值．
（2）已知y= -1，求x-y的值．
（3）已知|2021-x|+ = x，求x-20212的值．
四、【期末常考】
25．（2025八下·温州期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．（2025八下·诸暨期末）代数式中x的取值范围是 .
27．（2025八下·慈溪期末）二次根式中，a的取值范围是 。
28．（2024八下·海曙期末）当 时， 的值最小．
五、【课后作业】
29． 下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
30．（2025八下·舟山期末） 若要使有意义，则字母的值可以是（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
31．（2024八下·温州经济技术开发月考）已知x，y为实数，若满足，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
32．（2023八下·柯桥期末）当时，二次根式的值为（ ）
A．2 B． C． D．
33．（2023九上·禄劝开学考）当时，二次根式的值为 ．
34．（2023八下·鄞州月考）若，则= .
35．（2021八下·新昌期中）若二次根式的值为5，则 .
36．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.1二次根式）当x满足什么条件时，下列式子在实数范围内有意义？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
37．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.1二次根式）
（1）已知二次根式 ，求x的取值范围；
（2）当x=-2时，求二次根式 的值；
（3）若二次根式 的值为1，求x的值．
38．
（1）若实数满足等式，求的值；
（2）已知，求的平方根．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵ 2k≥0，
∴；
（2）解：∵
∴；
（3）解：∵ 1-2k≥0，
∴；
（4）解：≥0，
∴取全体实数.
【知识点】二次根式有无意义的条件；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列出不等式，求解即可；
（2）根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不为零，列出不等式，求解即可；
（3）根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列出不等式，求解即可；
（4）根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，并结合偶数次幂的非负性，求解即可.
2．【答案】（1）解：由题意得且2x+1≠0，
∴
（2）解：由题意得x+1≥0，x-2≠0，
∴
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为0解答即可.
3．【答案】（1）解：
解得x≤6.
（2）解：将x=-2代入
得
（3）解：
解得x=6.
【知识点】二次根式有无意义的条件；求二次根式的值
【解析】【分析】（1）根据被开方数是非负数解答；
（2）将x=-2代入计算即可；
（3）根据0的算术平方根是0解答即可.
4．【答案】解：∵且，∴，
∴，
∴
．
【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件.二次根式有意义的条件：二次根式有意义的条件为a≥0．可得：-≥0且-x≥0，解不等式组得x=，易得y=，再把x=，y=代入可求出答案．
5．【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A、∵中﹣3＜0，∴不是二次根式，故A项不符合题意；
B、∵中2＞0，∴是二次根式，故B项符合题意；
C、∵是三次根号，∴不是二次根式，故C不符合题意；
D、∵中当x≤3时是二次根式，∴有可能是二次根式，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的定义解答，即（a≥0）的式子叫二次根式．
6．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得x-3≥0，
解得x≥3.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的有无意义条件即可求解.
7．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得：．
故选B．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0解答即可.
8．【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：下列各式中，是二次根式有：①，④，⑦，共三个，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的定义：形如的代数式，据此这个分析即可求解.
9．【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：依题意有：当x=0时，.
故答案为：3.
【分析】把x=0代入二次根式中计算即可解答.
10．【答案】1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，，
解得，，
所以，当时，有最小值．
故答案为：1．
【分析】根据二次的被开方数为非负数解答即可．
11．【答案】；是
【知识点】二次根式的概念；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a（a>0），
根据题意知：a2=5，
∴a=（a=-舍去），
∴正方形边长是，是二次根式.
故答案为：；是.
【分析】根据正方形面积公式列式，进行开方运算得边长，再根据二次根式的定义作答.
12．【答案】1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件得：，
解得，
所以满足条件的整数x的值可以为1(答案不唯一)，
故答案为：1(答案不唯一).
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求出x的取值范围，然后得到符合条件的整数x即可.
13．【答案】解：∵5，
∴4m2＝25，
∴m2，
∴m＝±．
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】先两边同时平方可去掉根号，然后可求出m的值即可解答.
14．【答案】解：由题意得0≤10-n，
又n为自然数，
∴0≤n≤10，
∵是整数 ，
∴10-n=02，10-n=12，10-n=22，10-n=32，
∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1.
【知识点】二次根式的概念
【解析】【分析】根据二次根式的定义得，据此列出不等式，再结合是整数及n为自然数，直接列出所有可能的值.
15．【答案】（1）解：另一条直角边长为
（2）解：当x=40时，另一条直角边的长为 =9
【知识点】二次根式的概念；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理得出另一条直角边长为，即可得出答案；
（2）把x=40代入进行计算，即可得出答案.
16．【答案】解：∵，∴．
又∵，∴，
∴，，
∴
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求出a的值，然后得到b的值，代入计算解题即可.
17．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1，所以q=m（m+1)，所以q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2，q-m=m（m+1)-m=m2，代入计算，再看结果的形式符合偶数还是奇数的形式．
【解答】m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1，
∵q=mn，
∴q=m（m+1)，
∴q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2，q-m=m（m+1)-m=m2，
∴
=m+1+m=2m+1，
即p的值总是奇数．
故选A．
【点评】本题的关键是根据已知条件求出p的值，判断p的值
18．【答案】2025
【知识点】二次根式的概念；实数的绝对值
【解析】【解答】解：
∴，
∴，
∴原式为：
解得：，
∴
故答案为：2025.
【分析】根据二次根式有意义的条件确定变量a的取值范围，然后通过绝对值的性质将原式化简，最后解方程求出a的值并代入所求表达式中.
19．【答案】3
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：∵ =4 ，若 是整数，则 也是整数；
∴n的最小正整数值是3；
故答案是：3．
【分析】先将 中能开方的因数开方，然后再判断n的最小正整数值．
20．【答案】解：由题意，得c-3≥0，3-c≥0，
∴c=3，
∴|a-|+=0.
又∵|a-|≥0，≥0，
∴a-=0，b-2=0，
∴a=，b=2
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出c的值，然后再根据绝对值和二次根式的非负性求出a和b的值即可.
21．【答案】解：由题意可知，必为整数，
设y，则x＝2024﹣y2，
则．
∵y为非负整数，则要使m为整数，则y能被10整除，
∴y＝1，2，5，10，
∴m＝8，1，﹣5，﹣19．
∵m为正整数，
∴m＝1，8，
∴正整数m的所有可取的值为1和8．
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】由方程﹣2x+m4038＝0存在整数解，得到必为整数；设y，则m＝，进而确定y能被10整除，由此可确定m的所有可能取值．
22．【答案】（1）解：∵，
∴8－a≥0，a－8≥0，
∴a=8.
∴
∵|c－17|≥0，(b-15)2≥0，
∴c=17，b=15.
∴a=8，b=15，c=17
（2）解：能，理由如下：
∵82+152=64+225=289=172，
故 以a，b，c为可以构成三角形，且构成直角三角形.
周长：8+15+17=40.
面积：8×15÷2=60.
【知识点】二次根式有无意义的条件；三角形的面积；勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据两个根号有意义的条件，可求得：a=8.代入得.再根据绝对值的非负性和偶次方的非负性，可得c=17，b=15.
（2）利用勾股定理可判定结论，然后按照周长和面积公式求解即可.
23．【答案】（1）解：把z＝﹣1代入已知等式中，可得：，①；
，②
由①+②得：，
∴x+y＝30．
∴．
（2）解：∵，
∴x﹣3y≥0，3y﹣x≥0，
∴x﹣3y＝0．
把x＝3y代入已知等式，并整理得：3y+2z＝17，11y+12z＝81，
解得：x＝9，y＝3，z＝4，
∴m4，
∴m的平方根是±2；
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】（1）将z＝﹣1代入两个方程中，可得关于x，y的方程，然后再将所得方程相加即可解答；
（2）由二次根式被开方数的非负性得出x＝3y，然后代入已知等式，解方程得出x、y、z的值，然后再代入m中，可求得m的值，最后求m的平方根即可解答.
24．【答案】（1）解：由已知可得x=4，y=-2，∴(x+y)y=(4-2)-2=
（2）解：由题意得x=0，y=-1，∴x-y=0-(-1)=1
（3）解：∵x-2022≥0，∴x≥2022，
∴x-2021+ =x，
∴ =2021，
∴x-2 0212=2022．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；代数式求值；二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出x-4≥0且4-x≥0，得出x=4，从而得出y=-2，再代入原式进行计算，即可得出答案；
（2）根据二次根式有意义的条件得出x=0，从而得出y=-1，再代入原式进行计算，即可得出答案；
（3）根据二次根式有意义的条件得出x≥2022，从而得出|2021-x|=x-2021，再代入方程进行化简，即可得出答案.
25．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴a-2≥0，即a≥2，
则a的范围是a≥2，
故答案为：D.
【分析】根据负数没有平方根列出关于a的不等式，求出不等式的解集确定出a的范围即可.
26．【答案】x≥-1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴，即.
故答案为：.
【分析】依据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；通过解，即可得出答案.
27．【答案】a≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式有意义需满足a 2≥0，即a≥2，
故答案为：a≥2.
【分析】二次根式有意义，根据根号下的数大于0或等于0，即可得到a的取值范围。
28．【答案】3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵0，
∴的最小值为0，
∴当，即时，的值最小．
故答案为：3．
【分析】根据二次根式的双重非负性可得0，则可知的最小值为0，于是可得关于x的方程，解方程即可求解．
29．【答案】C
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A、∵x是变量，x+1的值可能为正、零或负，无法保证恒为非负，因此不一定是二次根式，则本项不符合题意；
B、∵π≈3.14，∴3 π≈-0.14为负数，不符合二次根式的条件，则本项不符合题意；
C、3是正数，始终满足非负条件，因此一定是二次根式，则本项符合题意；
D、-1是负数，不符合二次根式的定义，则本项不符合题意；
故答案为： C.
【分析】根据二次根式的定义“形如的式子是二次根式”逐项判断即可.
30．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若有意义，则a-2≥0，
∴a≥2，
∴字母a的值可以是3，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义被开方数a-2≥0，求出a的取值范围，再根据选项的值逐项判断即可求解.
31．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组；有理数的乘方法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】
根据二次根式有意义：则，可列式为，，求出，再代入代数式中得到y的值，再代入求，计算即可．
32．【答案】A
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：当时， ，
故答案为：A.
【分析】将a的值代入二次根式求值即可.
33．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：把x=-6代入中，
则
故答案为：4.
【分析】把x值代入二次根式求解即可。
34．【答案】16
【知识点】二次根式的概念；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵要使、有意义，
∴2-x≥0，x-2≥0，
∴x=2，
∴y=4，
把x=2，y=4代入=.
故答案为：16.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可求出x的值，代入计算求出y的值，然后将x，y代入代数式进行计算，求出结果.
35．【答案】
【知识点】平方根；二次根式的概念
【解析】【解答】解：由题意，则
，
∴，
∴；
故答案为： .
【分析】根据二次根式的性质列出等式，然后根据平方根的定义求解即可.
36．【答案】（1）解：∵有意义，
∴x+1≥0，
∴x≥-1；
（2）解：∵有意义，
∴x2+2≥0，
∴x为任意实数；
（3）解：∵有意义，
∴-x2≥0，
∴x=0；
（4）解：∵有意义，
∴3-2x＞0，
∴x＜1.5.
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，解不等式求出x的取值范围，即可得出答案.
37．【答案】（1）解：∵有意义，
∴3-x≥0，
∴x≤6；
（2）解：当x=-2时， ==2；
（3）解：∵=1，
∴3-x=1，
∴x=4.
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出3-x≥0，解不等式得出x的取值范围；
（2）把x=-2代入进行计算，即可得出答案；
（3）根据题意得出=1，从而得出3-x=1，解方程即可得出x的值.
38．【答案】（1）解：，
，解得，
（2）解：，
，且，
，则，
，则的平方根是．
【知识点】二次根式有无意义的条件；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据二次根式的被开方数为非负数求出m和n的值，然后代入求出立方根即可；
（2）根据二次根式的被开方数为非负数求出x的值，即可求出y的值，然后代入求出平方根即可.
1 / 1浙教版数学八（下）同步分层训练1.1二次根式的意义
一、【经典例题】
1．求下列二次根式中字母的取值范围．
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【答案】（1）解：∵ 2k≥0，
∴；
（2）解：∵
∴；
（3）解：∵ 1-2k≥0，
∴；
（4）解：≥0，
∴取全体实数.
【知识点】二次根式有无意义的条件；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列出不等式，求解即可；
（2）根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不为零，列出不等式，求解即可；
（3）根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列出不等式，求解即可；
（4）根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，并结合偶数次幂的非负性，求解即可.
2．当 为何值时，下列各式有意义？
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：由题意得且2x+1≠0，
∴
（2）解：由题意得x+1≥0，x-2≠0，
∴
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为0解答即可.
3．已知二次根式 ．
（1）求 的取值范围．
（2）当 时， 求二次根式 的值．
（3）若二次根式 的值为零， 求 的值．
【答案】（1）解：
解得x≤6.
（2）解：将x=-2代入
得
（3）解：
解得x=6.
【知识点】二次根式有无意义的条件；求二次根式的值
【解析】【分析】（1）根据被开方数是非负数解答；
（2）将x=-2代入计算即可；
（3）根据0的算术平方根是0解答即可.
4． 已知x，y为实数，且满足，求2x+3y的值.
【答案】解：∵且，∴，
∴，
∴
．
【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件.二次根式有意义的条件：二次根式有意义的条件为a≥0．可得：-≥0且-x≥0，解不等式组得x=，易得y=，再把x=，y=代入可求出答案．
二、【基础训练】
5．下列各式中，属于二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A、∵中﹣3＜0，∴不是二次根式，故A项不符合题意；
B、∵中2＞0，∴是二次根式，故B项符合题意；
C、∵是三次根号，∴不是二次根式，故C不符合题意；
D、∵中当x≤3时是二次根式，∴有可能是二次根式，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的定义解答，即（a≥0）的式子叫二次根式．
6．（2025八下·杭州月考）二次根式在实数范围内有意义，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得x-3≥0，
解得x≥3.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的有无意义条件即可求解.
7．二次根式中字母的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得：．
故选B．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0解答即可.
8．（2024八下·吴兴期中） 下列各式中，是二次根式有（ ）
①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥； ⑦（ab≥0）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：下列各式中，是二次根式有：①，④，⑦，共三个，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的定义：形如的代数式，据此这个分析即可求解.
9．当x=0时，二次根式的值是 （ ）
A．6 B．3 C． D．0
【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：依题意有：当x=0时，.
故答案为：3.
【分析】把x=0代入二次根式中计算即可解答.
10．（2023八下·衢江期末）当x＝ 时，的值最小．
【答案】1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，，
解得，，
所以，当时，有最小值．
故答案为：1．
【分析】根据二次的被开方数为非负数解答即可．
11．一块面积为5 m2 的正方形桌布，其边长为 m，这个边长 （填“是”或“不是”）二次根式.
【答案】；是
【知识点】二次根式的概念；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a（a>0），
根据题意知：a2=5，
∴a=（a=-舍去），
∴正方形边长是，是二次根式.
故答案为：；是.
【分析】根据正方形面积公式列式，进行开方运算得边长，再根据二次根式的定义作答.
12． 要使二次根式有意义，请写出一个满足条件的整数的值： ．
【答案】1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件得：，
解得，
所以满足条件的整数x的值可以为1(答案不唯一)，
故答案为：1(答案不唯一).
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求出x的取值范围，然后得到符合条件的整数x即可.
13．若二次根式 ， 求 的值.
【答案】解：∵5，
∴4m2＝25，
∴m2，
∴m＝±．
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】先两边同时平方可去掉根号，然后可求出m的值即可解答.
14．已知是整数，求自然数n的值.
【答案】解：由题意得0≤10-n，
又n为自然数，
∴0≤n≤10，
∵是整数 ，
∴10-n=02，10-n=12，10-n=22，10-n=32，
∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1.
【知识点】二次根式的概念
【解析】【分析】根据二次根式的定义得，据此列出不等式，再结合是整数及n为自然数，直接列出所有可能的值.
15．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.1二次根式）已知一个直角三角形的斜边长为41，一条直角边长为x．
（1）用关于x的代数式表示这个直角三角形的另一条直角边长；
（2）当x=40时，求另一条直角边的长．
【答案】（1）解：另一条直角边长为
（2）解：当x=40时，另一条直角边的长为 =9
【知识点】二次根式的概念；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理得出另一条直角边长为，即可得出答案；
（2）把x=40代入进行计算，即可得出答案.
16．（2025八下·临海期中）已知，求的值．
【答案】解：∵，∴．
又∵，∴，
∴，，
∴
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求出a的值，然后得到b的值，代入计算解题即可.
三、【培优训练】
17．已知：m， n是两个连续自然数（mA．总是奇数 B．总是偶数
C．有时奇数，有时偶数 D．有时有理数，有时无理数
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1，所以q=m（m+1)，所以q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2，q-m=m（m+1)-m=m2，代入计算，再看结果的形式符合偶数还是奇数的形式．
【解答】m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1，
∵q=mn，
∴q=m（m+1)，
∴q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2，q-m=m（m+1)-m=m2，
∴
=m+1+m=2m+1，
即p的值总是奇数．
故选A．
【点评】本题的关键是根据已知条件求出p的值，判断p的值
18．（2025八下·宁海期中）已知|2024-a|+=a，则a-20242= .
【答案】2025
【知识点】二次根式的概念；实数的绝对值
【解析】【解答】解：
∴，
∴，
∴原式为：
解得：，
∴
故答案为：2025.
【分析】根据二次根式有意义的条件确定变量a的取值范围，然后通过绝对值的性质将原式化简，最后解方程求出a的值并代入所求表达式中.
19．（2017八下·武清期中）已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是 ．
【答案】3
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：∵ =4 ，若 是整数，则 也是整数；
∴n的最小正整数值是3；
故答案是：3．
【分析】先将 中能开方的因数开方，然后再判断n的最小正整数值．
20． 已知实数a，b，c 满足 求a，b，c的值.
【答案】解：由题意，得c-3≥0，3-c≥0，
∴c=3，
∴|a-|+=0.
又∵|a-|≥0，≥0，
∴a-=0，b-2=0，
∴a=，b=2
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出c的值，然后再根据绝对值和二次根式的非负性求出a和b的值即可.
21．若关于 的方程 存在整数解， 求正整数 所有可取的值.
【答案】解：由题意可知，必为整数，
设y，则x＝2024﹣y2，
则．
∵y为非负整数，则要使m为整数，则y能被10整除，
∴y＝1，2，5，10，
∴m＝8，1，﹣5，﹣19．
∵m为正整数，
∴m＝1，8，
∴正整数m的所有可取的值为1和8．
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】由方程﹣2x+m4038＝0存在整数解，得到必为整数；设y，则m＝，进而确定y能被10整除，由此可确定m的所有可能取值．
22．（2024八下·台州开学考）已知a，b，c满足，
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴8－a≥0，a－8≥0，
∴a=8.
∴
∵|c－17|≥0，(b-15)2≥0，
∴c=17，b=15.
∴a=8，b=15，c=17
（2）解：能，理由如下：
∵82+152=64+225=289=172，
故 以a，b，c为可以构成三角形，且构成直角三角形.
周长：8+15+17=40.
面积：8×15÷2=60.
【知识点】二次根式有无意义的条件；三角形的面积；勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据两个根号有意义的条件，可求得：a=8.代入得.再根据绝对值的非负性和偶次方的非负性，可得c=17，b=15.
（2）利用勾股定理可判定结论，然后按照周长和面积公式求解即可.
23．已知实数 满足等式 .
（1） 若 ， 求 的值.
（2）若实数 ， 求 的平方根.
【答案】（1）解：把z＝﹣1代入已知等式中，可得：，①；
，②
由①+②得：，
∴x+y＝30．
∴．
（2）解：∵，
∴x﹣3y≥0，3y﹣x≥0，
∴x﹣3y＝0．
把x＝3y代入已知等式，并整理得：3y+2z＝17，11y+12z＝81，
解得：x＝9，y＝3，z＝4，
∴m4，
∴m的平方根是±2；
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】（1）将z＝﹣1代入两个方程中，可得关于x，y的方程，然后再将所得方程相加即可解答；
（2）由二次根式被开方数的非负性得出x＝3y，然后代入已知等式，解方程得出x、y、z的值，然后再代入m中，可求得m的值，最后求m的平方根即可解答.
24．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.1二次根式）阅读下列引例的解答过程：
已知x，y为实数，且y= ，求x+y的值．
解：由题意，得x-2021≥0且2021-x≥0，
∴x≥2 021且x≤2 021，
∴x=2 021，∴y=1，
∴x+y=2 022．
结合引例，请挖掘下列问题中所蕴含的条件并解决问题：
（1）已知y= -2．求(x+y)y的值．
（2）已知y= -1，求x-y的值．
（3）已知|2021-x|+ = x，求x-20212的值．
【答案】（1）解：由已知可得x=4，y=-2，∴(x+y)y=(4-2)-2=
（2）解：由题意得x=0，y=-1，∴x-y=0-(-1)=1
（3）解：∵x-2022≥0，∴x≥2022，
∴x-2021+ =x，
∴ =2021，
∴x-2 0212=2022．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；代数式求值；二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出x-4≥0且4-x≥0，得出x=4，从而得出y=-2，再代入原式进行计算，即可得出答案；
（2）根据二次根式有意义的条件得出x=0，从而得出y=-1，再代入原式进行计算，即可得出答案；
（3）根据二次根式有意义的条件得出x≥2022，从而得出|2021-x|=x-2021，再代入方程进行化简，即可得出答案.
四、【期末常考】
25．（2025八下·温州期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴a-2≥0，即a≥2，
则a的范围是a≥2，
故答案为：D.
【分析】根据负数没有平方根列出关于a的不等式，求出不等式的解集确定出a的范围即可.
26．（2025八下·诸暨期末）代数式中x的取值范围是 .
【答案】x≥-1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴，即.
故答案为：.
【分析】依据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；通过解，即可得出答案.
27．（2025八下·慈溪期末）二次根式中，a的取值范围是 。
【答案】a≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式有意义需满足a 2≥0，即a≥2，
故答案为：a≥2.
【分析】二次根式有意义，根据根号下的数大于0或等于0，即可得到a的取值范围。
28．（2024八下·海曙期末）当 时， 的值最小．
【答案】3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵0，
∴的最小值为0，
∴当，即时，的值最小．
故答案为：3．
【分析】根据二次根式的双重非负性可得0，则可知的最小值为0，于是可得关于x的方程，解方程即可求解．
五、【课后作业】
29． 下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A、∵x是变量，x+1的值可能为正、零或负，无法保证恒为非负，因此不一定是二次根式，则本项不符合题意；
B、∵π≈3.14，∴3 π≈-0.14为负数，不符合二次根式的条件，则本项不符合题意；
C、3是正数，始终满足非负条件，因此一定是二次根式，则本项符合题意；
D、-1是负数，不符合二次根式的定义，则本项不符合题意；
故答案为： C.
【分析】根据二次根式的定义“形如的式子是二次根式”逐项判断即可.
30．（2025八下·舟山期末） 若要使有意义，则字母的值可以是（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若有意义，则a-2≥0，
∴a≥2，
∴字母a的值可以是3，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义被开方数a-2≥0，求出a的取值范围，再根据选项的值逐项判断即可求解.
31．（2024八下·温州经济技术开发月考）已知x，y为实数，若满足，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组；有理数的乘方法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】
根据二次根式有意义：则，可列式为，，求出，再代入代数式中得到y的值，再代入求，计算即可．
32．（2023八下·柯桥期末）当时，二次根式的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：当时， ，
故答案为：A.
【分析】将a的值代入二次根式求值即可.
33．（2023九上·禄劝开学考）当时，二次根式的值为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：把x=-6代入中，
则
故答案为：4.
【分析】把x值代入二次根式求解即可。
34．（2023八下·鄞州月考）若，则= .
【答案】16
【知识点】二次根式的概念；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵要使、有意义，
∴2-x≥0，x-2≥0，
∴x=2，
∴y=4，
把x=2，y=4代入=.
故答案为：16.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可求出x的值，代入计算求出y的值，然后将x，y代入代数式进行计算，求出结果.
35．（2021八下·新昌期中）若二次根式的值为5，则 .
【答案】
【知识点】平方根；二次根式的概念
【解析】【解答】解：由题意，则
，
∴，
∴；
故答案为： .
【分析】根据二次根式的性质列出等式，然后根据平方根的定义求解即可.
36．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.1二次根式）当x满足什么条件时，下列式子在实数范围内有意义？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
【答案】（1）解：∵有意义，
∴x+1≥0，
∴x≥-1；
（2）解：∵有意义，
∴x2+2≥0，
∴x为任意实数；
（3）解：∵有意义，
∴-x2≥0，
∴x=0；
（4）解：∵有意义，
∴3-2x＞0，
∴x＜1.5.
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，解不等式求出x的取值范围，即可得出答案.
37．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.1二次根式）
（1）已知二次根式 ，求x的取值范围；
（2）当x=-2时，求二次根式 的值；
（3）若二次根式 的值为1，求x的值．
【答案】（1）解：∵有意义，
∴3-x≥0，
∴x≤6；
（2）解：当x=-2时， ==2；
（3）解：∵=1，
∴3-x=1，
∴x=4.
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出3-x≥0，解不等式得出x的取值范围；
（2）把x=-2代入进行计算，即可得出答案；
（3）根据题意得出=1，从而得出3-x=1，解方程即可得出x的值.
38．
（1）若实数满足等式，求的值；
（2）已知，求的平方根．
【答案】（1）解：，
，解得，
（2）解：，
，且，
，则，
，则的平方根是．
【知识点】二次根式有无意义的条件；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据二次根式的被开方数为非负数求出m和n的值，然后代入求出立方根即可；
（2）根据二次根式的被开方数为非负数求出x的值，即可求出y的值，然后代入求出平方根即可.
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