2.4.2一元二次方程的应用（2） 教案

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分课时教学设计
第8课时《2.4.2一元二次方程的应用（2） 》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 一元二次方程的应用是“浙教版八年级数学（下）”第二章第四节第二课时的内容.本节课的主要内容是继续探索一元二次方程的实际应用,进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值，要求学生进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能.一元二次方程的应用的学习有助于提高学生的抽象能力、推理能力和运算能力，在教材中有着重要的地位.
学习者分析 学生在上节课已经学习了一元二次方程的应用，知道列一元二次方程解应用题的一般步骤，探究了如何解决销售利润问题和平均增长（降低）率问题.教师在教学时可以先带领学生回顾列一元二次方程解应用题的一般步骤，再通过例题带领学生继续探索一元二次方程的实际应用,进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值.
教学目标 1.继续探索一元二次方程的实际应用,进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值. 2.进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能.
教学重点 继续探索一元二次方程的应用.
教学难点 “合作学习”的问题较为复杂，计算量大是本节教学的难点.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课【想一想】列一元二次方程解应用题的基本步骤是什么？ (1)审题； (2)设元（未知数）； (3)寻找相等关系，列方程； (4)解方程； (5)检验根的准确性及是否符合实际意义； (6)作答. 【思考】 如何把一张长方形硬纸片折成一个无盖的长方体纸盒？ （2）无盖长方体纸盒的高与裁去的四个小正方形的边长有什么关系？ 下面我们继续探讨有关一元二次方程的实际应用问题. 学生活动1： 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题.活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，激发学生的兴趣，理解学生思考，提出问题，学生思考，引起学生探讨的兴趣．环节二：新知探究教师活动2： 用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形问题的步骤：(1)整体地、系统地审题；(2)依据几何图形的性质，寻找问题中的等量关系；(3)设未知数，列出方程；(4)正确地求解方程，并检验解的合理性；(5)写出答案． 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生自主解答，教师适时的进行提示 学生思考 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，让学生在小组内共同合作，培养学生发现问题，进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能．环节三：典例精析 例3 如图1,有一张长 40cm,宽25cm的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折成如图2的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm2,则纸盒的高是多少 思考：题中的已知量是什么？未知量是什么？ 已知量：长方形硬纸片长 40cm,宽25cm 纸盒的底面积是450cm2 未知量：纸盒的高 教师提问： 1.若设纸盒的高为x,那么裁去的四个小正方形的边长为多少？ 2.你能用含x的代数式表示无盖纸盒的长、宽、高吗？ 3.你能找出题中的主要数量关系吗？ 答案： 1.x2 2.长：40-2x 宽：25-2x 高：x 3.主要数量关系:纸盒的底面积=长×宽 教师提问：完成例1，写出详细解题步骤. 答案： 解：设纸盒的高为x(cm),则纸盒底面长方形的长和宽分别为(40-2x )cm, (25-2x )cm. 由题意，得(40-2x)(25-2x)= 450. 化简、整理,得2x2- 65x+ 275=0. 解这个方程,得x1 =5, x2 =27.5(不合题意,舍去). 答:纸盒的高为5cm. 教师讲授： 利用一元二次方程解决几何图形问题的方法： 几何图形问题，一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可，不规则图形一般先分割或组合成规则图形，再运用规则图形的面积(或体积)公式列方程. 合作交流： 一轮船(C)以30km/h的速度由西向东航行,在途中接到台风警报,台风中心(B)正以20km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心200 km的区域(包括边界)都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时，测得BC=500 km, BA= 300 km. (1)如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区 你采用什么方法来判断 (2)如果你认为轮船会进入台风影响区,那么从接到警报开始,经多少时间就进入台风影响区 思考：假设经t小时后，轮船和台风中心分别在C1,B1的位置，你能求出AC1,AB1的距离吗？ 答案： ∵ BC=500 km, BA= 300 km ∴由勾股定理可得AC=400km 经过t小时后 ∵CC1=30t km,BB1=20t km ∴ AC1=(400-30t)km,AB1=(300-20t)km 教师提问：1.运用数形结合的方法寻找相等关系,并列出方程; 2.完成大题通过相互交流,检查列方程、计算等过程是否正确; 答案： 1.相等关系： AC12+AB1 2 = B1C12 (400-30t)2+(300-20t)2=2002 2.解：如图,设船接到警报后经t时，船行至C1处,台风中心行至B1处, 则CC1=30t km,BB1=20t km，B1C12=(400-30t)2+(300-20t)2 令(400-30t)2+(300-20t)2=2002,若这个一元二次方程有实数解,就表示船会进入台风影响区. 将上述方程化简，得13t2-360t+2100=0, 解得t1=≈8.35, t1 =≈19.34. 答:船从接到警报开始,经8.35 h进入台风影响圈. 教师提问：如果把航速改为10 km/h,结果将怎样 答案： 解：若将船速改为10 km/h, 则令(400-10t)2+(300-20t)2=2002 化简得t2-40t+420=0. 因为402-4×1×420<0, 所以方程无实数根，所以船不会进入台风影响区.学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标.
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m．设游泳池的长为x m，则可列方程为( ) A．x(x－10)＝375 B．x(x＋10)＝375 C．2x(2x－10)＝375 D．2x(2x＋10)＝375 选做题： 2.如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽. 【综合拓展类作业】 3.如图，一块长为28 cm，宽为20 cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个边长相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180 cm2，为了有效地利用材料，求截去的小正方形的边长是多少厘米？
课堂总结 1.列一元二次方程解决面积问题 2.列一元二次方程解决动点问题 用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形问题的步骤：(1)整体地、系统地审题；(2)依据几何图形的性质，寻找问题中的等量关系；(3)设未知数，列出方程；(4)正确地求解方程，并检验解的合理性；(5)写出答案．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为( ) A．100×80－100x－80x＝7644 B．(100－x)(80－x)＋x2＝7644 C．(100－x)(80－x)＝7644 D．100x＋80x＝356 选做题： 2.如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处．甲沿着喀什路以4 m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3 m/s的速度由南向北走．当乙走到O点以北50 m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85 m时各自的位置． 【综合拓展类作业】 3.如图，有一段15m米长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分(或全部)为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF. (1)怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？ (2)长方形场地面积能达到130m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由. 答案：课堂练习 1.A 2.解:设道路宽为x米，通过平移可以得到，宽为(20-x)米，长为(32-x)米.由题意，得(20-x)(32-x)=540， x2-52x+100=0， 解得x1=50（舍去），x2=2 答：道路宽为2米. 3.解：设截去的小正方形的边长是x cm. 由题意，得(28－2x)(20－2x)＝180， 整理，得x2－24x＋95＝0，解得x1＝5，x2＝19. ∵20－2x＞0，解得x＜10，∴x＝5. 答：截去的小正方形的边长是5 cm. 【知识技能类作业】 1.C 2.解：设继续行走x s后两人相距85 m.根据题意，得(4x)2＋(50＋3x)2＝852，解得x1＝9，x2＝－21(不合题意，舍去)， 当x＝9时，4x＝36，50＋3x＝77. 答：当两人相距85 m时，甲在O点以东36 m处，乙在O点以北77 m处． 3.解：(1)设CD=xm，则DE=(32-2x)m，依题意得x(32-2x)=126， 整理得x2-16x+63=0， 解得x1=9，x2=7， 当x1=9时，32-2x=14， 当x2=7时，32-2x=18＞15（不合题意，舍去）， ∴能围成一个长14m，宽9m的长方形场地. (2)设CD=ym，则DE=(32-2y)m， 依题意得y(32-2y)=130， 整理得y2-16y+65=0， =(-16)2-4×1×65=-4＜0， 故方程没有实数根， ∴长方形场地面积不能达到130m2.
教学反思 本设计例题习题安排恰当，缺点是题目梯度设置不够明显，教师需要积累题目素材，做到题目难度能面向全体学生。另外教师在课堂上要根据学生的实时反应调整教学方式，不能拘泥于教学设计，教师需要灵活变通，这就需要教师努力提升自身专业知识。
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