2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章 二次根式 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D A A B D A C D
1．D
本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数必须为非负数，进行判定即可．
解：∵二次根式中，，
∴的取值可以是，
而选项A、B、C均为负数，不满足条件．
故选：D．
2．D
本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案．
解:∵是整数，
∴，且是完全平方数，
∴；
①，即，
②，即，
③，即，
综上所述，自然数n的值可以是3，6，7，
∴自然数的所有可能取值的和为．
故选：D．
3．D
本题考查二次根式．由是整数，可设（为非负整数），则，且，故，枚举值进而求出的可能值，即可得出答案．
解：∵是整数，
∴设，其中为整数且，
则，
∴．
又∵是自然数，
∴，即，
∴，
∴可取0，1，2，3．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4．
故选：D．
4．A
本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可.
解：∵ ，且，
∴．
∵，且，
∴．
∵，且，
∴．
∴, , ,
．
故选：A．
5．A
本题考查二次根式的运算，根据二次根式的非负性求出a和b的值，然后代入代数式计算即可．
∵ ，
∴，，
解得，，
∴ ，
故选：A．
6．B
本题主要考查了无理数的大小估算，二次根式的混合运算，根据无理数的估算方法得出，，把，代入代数式进行二次根式的混合运算求解即可．
解：∵
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
7．D
此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键．
利用二次根式的乘除法法则，逐一验证每个等式的正确性．
解：对于①： ∵ ，∴ ①正确；
对于②：∵ 当时， ，∴ ②正确；
对于③：∵ 当时，， ∴ ③正确；
对于④：∵ = ，∴ ④错误；
因此，做错的是④．
故选：D．
8．A
本题考查了平方根，算术平方根，平方的运算等知识，根据平方根和平方的性质，逐一验证各选项的正确性，掌握相关知识是解题的关键．
解：A、 ，故选项符合题意；
B、∵ 在实数范围内无意义，故选项不符合题意；
C、∵ ，故选项不符合题意；
D、∵ ，故选项不符合题意；
故选：A．
9．C
本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
判断一个二次根式是不是最简二次根式，检查各选项是否满足最简二次根式的两个条件．
解： ①，含平方因数9，不是最简二次根式；
② ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
③ ，被开方数无分母且无平方因数，是最简二次根式；
④ ，含平方因数9，不是最简二次根式；
⑤ ，不能简化，是最简二次根式；
∴最简二次根式有③和⑤，共2个，
故选C．
10．D
本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．
先求出中间正方形的边长为，再根据题意求出最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差即可．
解：中间正方形纸片的面积为，
中间正方形的边长为，
最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差为．
故选：D．
11．
直接利用二次根式的性质化简求得答案即可．
本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键．
解：．
故答案为：
12．
本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．
解：∵，
∴当时，即，取最小值，
此时的值最小，最小值为，
故答案为：，．
13． 0 1
本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键，
当最小时，的值最大，求出答案即可．
解：因为的值最大，
所以最小时，符合题意，
即当时，，此时的值最大，
所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1．
故答案为：0，1．
14．
通过有理化将每个表达式转化为分母形式，比较分母的大小关系即可得出结果．
解：∵，，，
∴，
，
，
∵，
∴，
即．
故答案为∶．
本题考查了实数的大小比较，利用二次根式的性质化简，分子有理化，比较二次根式的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
15．5
本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键．
根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可．
解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同，
则的最简形式为，其中为正整数，
即，
解得
由为正整数，得，
解得，
则可取1，2，3，
当时，；当时，；当时，
因此的最小值为5，
故答案为：5．
16．/
本题主要考查了二次根式性质，无理数的估算，先计算半周长，再代入海伦-秦九韶公式求面积S，然后估算S的整数部分，最后求小数部分即可．
解：由题意得：
，
，
∵，即，
∴S的整数部分为，
小数部分为．
故答案为：．
17．(1)
(2)4
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先化简并进行乘法运算，再合并同类二次根式即可；
（2）利用平方差公式展开进行计算即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．(1)
(2)
本题考查实数的运算，分式的混合运算．
（1）括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再约分化简即可；
（2）利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算后，再算加减法即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
19．(1)，
(2)
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
（）由二次根式有意义的条件得，即得，进而得到，
（2）再代入代数式计算即可求解．
（1）解：由题意得，
∴，
∴，
（2）解：由（1）可得，，
∴．
20．(1)厘米
(2)18平方厘米
(3)小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多
本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次根式运算法则．
（1）根据长方形面积公式列式解答即可；
（2）先求正方形的边长，然后求出乙方案中长方形的长和宽，然后求出结果即可；
（3）分别画图，求出纸板①，②中可以剪出的纸条条数，然后进行判断即可．
（1）解：甲方案中裁出的长方形纸板①的长为：
（厘米）；
（2）解：∵正方形纸板的面积为108平方厘米，
∴正方形的边长为厘米，
∵将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②，
∴乙方案中得到的长方形纸板②的长为：
（厘米），
宽为：（厘米），
∴乙方案中得到的长方形纸板②的面积为：
（平方厘米）；
（3）解：长方形纸板①的长为厘米，宽为厘米，
长方形纸板②的长为厘米，宽为厘米，
∵，，，，
∴长方形纸板①和长方形纸板②可以剪出长2厘米，宽厘米的纸条条数，如图所示：
∴长方形纸板①可以剪出6个长2厘米，宽厘米的纸条，长方形纸板②可以剪出4个长2厘米，宽厘米的纸条，
∴小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多．
21．（1）见解析；（2）11或13
本题主要考查了二次根式的应用、二次根式有意义的条件、三角形三边关系，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
（1）依据题意得，且，进而可得，然后代入求出y的值进而计算可以得解；
（2）依据题意得，且，从而可得，再求出b，最后分类讨论计算可以判断得解．
解：由题意得，，且，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，且，
∴，
∴；
∵a，b分别为等腰三角形的两条边长，
∴①是底，则腰为．
，
∴3，5，5能组成三角形，
∴此三角形的周长为．
②是底，则腰为．
，
∴3，3，5能组成三角形，
∴此三角形的周长为．
综上所述，三角形的周长为11或13．
22．(1)人工湖两端点之间的距离为
(2)两点间的距离为．
本题考查勾股定理：
（1）连接，过点作，在中，利用勾股定理进行求解即可；
（2）设，利用勾股定理，列出方程进行求解即可．
（1）解：连接，过点作，则由题意，可知：，
∴，
在中，由勾股定理，得：；
答：人工湖两端点之间的距离为；
（2）设，则：，
在中，，
在中，，
由题意，得：，
∴，
∴，
∴；
∴
答：两点间的距离为．
23．(1)
(2),，证明见解析
本题考查了二次根式的应用，旨在考查学生的抽象概括能力．
（1）根据题目给出的例子求出相应的值；
（2）由（1）探求的结果可以写出用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律，再根据二次根式的性质化简证明．
（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…；
第4个等式：；
故答案为：；
（2）解：第个式子是： ，
证明：．
24．(1)，
(2)，最大值为
本题考查二次根式的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键．
（1）把原函数化成，再利用题中的方法即可得到解答；
（2）由题意可得，从而得到，并得到时，y有最大值．
（1）解：由题意得：，
当且仅当时，即，函数有最小值，
故答案为．
（2）解：，
，
由题意得：，即，
当且仅当时，即时，函数有最大值．(共7张PPT)
浙教版2024 八年级下册
第一章 二次根式
单元测试·基础卷分析
一、试题难度
整体难度：一般
难度 题数
容易 2
较易 5
适中 17
较难 0
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 二次根式有意义的条件
2 0.85 二次根式有意义的条件；求二次根式的值；求一元一次不等式的解集
3 0.75 求二次根式中的参数
4 0.65 二次根式的乘法；比较二次根式的大小
5 0.65 利用算术平方根的非负性解题；二次根式的混合运算
6 0.65 无理数的大小估算；无理数整数部分的有关计算；二次根式的乘除混合运算
7 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的乘法；二次根式的除法
8 0.65 有理数的乘方运算；求一个数的算术平方根；利用二次根式的性质化简
9 0.65 最简二次根式的判断
10 0.64 二次根式的应用
三、知识点分布
二、填空题
11 0.94 化为最简二次根式
12 0.85 求二次根式中的参数
13 0.75 求二次根式的值
14 0.65 利用二次根式的性质化简；分母有理化；比较二次根式的大小；实数的大小比较
15 0.65 已知最简二次根式求参数
16 0.64 二次根式的应用；无理数整数部分的有关计算
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 二次根式的混合运算
18 0.75 实数的混合运算；利用二次根式的性质化简；分式加减乘除混合运算；求一个数的立方根
19 0.65 二次根式有意义的条件；已知字母的值 ，求代数式的值
20 0.65 二次根式的应用；无理数的大小估算；算术平方根的实际应用
21 0.65 等腰三角形的定义；三角形三边关系的应用；二次根式有意义的条件
22 0.65 利用二次根式的性质化简；用勾股定理解三角形
23 0.65 利用二次根式的性质化简；数字类规律探索
24 0.64 二次根式的应用2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章 二次根式 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在二次根式中，a的取值可以是（ ）
A． B． C． D．2
2．已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．16
3．已知是整数，则自然数的最小值是（ ）
A．12 B．9 C．1 D．4
4．已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的值为（
A． B． C．3 D．
6．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
7．小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．化简的结果是 ．
12．当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ．
13．当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ．
14．已知，，，则a，b，c的大小关系是 ．
15．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ．
16．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．计算：
(1)
(2)
19．已知，
(1)求x和y值
(2)求
20．已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②；
(1)求甲方案中裁出的长方形纸板①的长；
(2)求乙方案中得到的长方形纸板②的面积；
(3)小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？
21．（1）【问题情境】若实数x，y满足，求的值．
下面是小明的部分解题过程：
解：若想使该式子有意义，则需要同时满足，且，则…
请你将上述过程补充完整；
（2）【解决问题】已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．
22．某学校数学兴趣小组准备利用所学知识测量该市一公园人工湖的长度，如图所示，两名同学分别站在相距70米的水平线上点和点处，另有两名同学分别站在湖的两端点和点处，均垂直于，且测得．
(1)如图1，请计算人工湖两端点之间的距离；（结果保留根号）
(2)如果最后一名同学所站的点处恰好到点和点距离相等，如图2，请计算两点间的距离．
23．观察下列各等式，其中反映了某种规律：
第1个等式；
第2个等式：；
第3个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式： ；
(2)按照以上各等式反映的规律，猜想第个（n为正整数，且等式，并证明．
24．阅读以下的材料：
如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子：
例：已知，求函数的最小值．
解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4．
根据上面回答下列问题
(1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ；
(2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ．
