2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第2章 一元二次方程 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C B A C B C B A
1．B
本题考查一元二次方程的定义，依据一元二次方程的定义（只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程）来判断各选项即可．
解：选项A：化简后为，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义，故选项A不符合题意；
选项B：只含一个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义，故选项B符合题意；
选项C：含有两个未知数x和y，是二元一次方程，不符合一元二次方程定义，故选项C不符合题意；
选项D：含有两个未知数x和y，是二元二次方程，不符合一元二次方程定义，故选项D不符合题意
故选：B．
2．C
本题考查了一元二次方程的一般形式.
先化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可．
解：转化为一般形式为：，
∴一元二次方程化为一般式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为5，3，，
故选：C．
3．C
本题考查一元二次方程的解的定义，通过变形将所求方程转化为与已知方程形式一致的式子，利用已知方程的解来求解新方程的根是解题关键．
解：∵
∴
∴
∵关于x的一元二次方程有一根为，
∴
∴．
∴一元二次方程必有一根为．
故选：C．
4．B
本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设一元二次方程的两个根为，，由题意得，，，由根与系数的关系可得，，，解得，再利用一元二次方程根的判别式求出的范围，即可得出答案．
解：设一元二次方程的两个根为，，
由题意得，，，
由根与系数的关系可得，，，
解得：，
∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴k的取值范围是．
故选：B．
5．A
本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键．
通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程．
令，则方程化为,
∵方程的解为，，
∴或，
∴或，
解得或
∴新方程的解为，
故选：A．
6．C
本题考查了根的判别式，根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负且二次项系数不为零即可．
解：∵方程是一元二次方程，
∴，
∵方程有实数根，
∴判别式，
解得
综上，且，
故选：C．
7．B
本题考查一元二次方程的定义和解法，根据方程的常数项为0列出方程求解，并验证一元二次方程二次项系数不为0的条件．
解：∵的常数项为0，
∴，即，
∴或．
又∵该方程为一元二次方程，
∴二次项系数．
当时，，不符合一元二次方程定义；
当时，，符合题意．
∴．
故选：B．
8．C
此题考查了绝对值和算术平方根的非负性，解一元二次方程，代数式求值，完全平方公式，解题的关键是掌握以上知识点．
由方程左边非负可得，求出，得到，方程化为，利用非负性求出，或，然后代入求解即可．
解：∵，，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴或，
∴或，
∴或．
故选：C．
9．B
本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，先求出前行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为210、100、78、45时的值，判断即可得解．熟练掌握一元二次方方程的应用是关键．
解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，
前行的点数和，
A、若和为210，则，解得或（舍去），即前20行的点数之和为，故A不符合题意；
B、若和为100，则，解得，不是整数，即不存在前行的点数之和为100，故B符合题意；
C、若和为78，则，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故C不符合题意；
D、若和为45，则，解得或（舍去），即前9行的点数之和为45，故D不符合题意；
故选：B．
10．A
本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键．
利用矩形的面积公式求解即可．
解：由题意可得：白色长方形的长为：，
三个白色长方形的宽之和为：，
三个白色长方形的面积为：，
∴，
故选：A．
11．
本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义得，解之即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得，
故答案为：．
12．
本题考查了一元二次方程的一般形式及有关概念，先移项，得到其一般式，由此得到答案．
解：，
移项，得，
它的一次项系数是，
故答案为：．
13．或
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，由一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据整数，是正整数，可得出或，然后分情况求出c的值，再验证即可得出答案．
解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，
∴，
∵，
∴，
即可得出：，，
∵整数，是正整数，
∴或，
根据题意可知：，
当时，则，，
把，代入，
解得：，
当时，，满足题意，
当时，则，，
把，代入，
解得：，
当时，，满足题意，
综上：或．
故答案为：或．
14．/
本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形的特点找到数量关系列方程。设条纹的宽度为米，根据等量关系：配色条纹所占面积是整个地毯面积的，列出方程求解即可．
解：设条纹的宽度为米，
依题意得 ，
解得：(不符合，舍去)，，
答：配色条纹宽度为米．
15．
本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，解一元二次方程．由阴影部分的面积为，得到，得到，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到．
解：由题意得，
∵正方形的面积为，
，
∵阴影部分的面积为，
，
，
，
，即，
（负值已舍），
，
故答案为：，．
16．
此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可．
解： 与是“同族二次方程”，
，
∴，
，
∴，
，
最小值为，
最小值为，
即最小值为．
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
(3)，
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可．
（1）解：
解得，；
（2）解：
或
解得，；
（3）解：
或
解得，．
18．(1)6
(2)；
(3)见解析
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（1）将代入即可求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解；
（3）将，代入方程，作差，进行因式分解得到，继而得到，然后用m表示n，再根据已知条件即可求证．
（1）解：将代入方程，则，
；
（2）解：，，
，，
解得：，；
（3）证明：当，，且，
①，
②，
得：，
即，
因，
，
，
由题知：，
即，
故
19．(1)见解析
(2)方程的另一根为；或
本题综合考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想．
（1）根据关于的方程的根的判别式的符号来证明结论；
（2）根据一元二次方程的解的定义求得值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，即可求得直角三角形的面积为；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为，即可求得直角三角形的面积为．
（1）证明：，
，
在实数范围内，无论取何值，，即，
关于的方程恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意，得
，
解得，
，
，
或，
则方程的另一根为；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，
该直角三角形的面积为；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，
该直角三角形的另一直角边为；
该直角三角形的面积为；
综上，该直角三角形的面积为或．
20．(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米
(2)m的值为18
（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可．
（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，
根据题意得，，
解得：，
则，
∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米；
（2）解：根据题意得，
，
整理得，，
解得：（舍去），
∴m的值为18．
本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．
21．(1)2秒或4秒
(2)不能，理由见解析
一元二次方程的实际应用，根据题意，正确表示出线段长度及，利用三角形面积公式列出方程求解，是解答本题的关键．
（1）设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可；
（2）设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断．
（1）解：设运动时间为x秒，则，，
又，
∴，
根据题意，得，
解得，．
∴经过2秒或4秒后，的面积等于8平方厘米；
（2）解：设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米，
根据题意，得，
整理得，
∴，
∴方程无解，
∴的面积不能等于10平方厘米．
22．(1)
(2)①55元；②不能实现，说明见解析
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，根据经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元，
①根据使月销售利润达到11250元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
②根据使月销售利润达到12500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论．
（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元，
①由题意得：，
解得：，，
当时，月销售量为个；
当时，月销售量为个，
因需要尽快减少库存，故应选择销售量大的方案，所以，舍去，
，
答：该品牌头盔的实际售价每个应定为55元；
②不能实现，理由如下：
由题意得：，
整理得：，
，
方程无实数根，
不能实现利润为12500元．
23．
本题考查了一元二次方程的应用，按照记载的方法，正确构造大正方形，得出新的一元二次方程是解题的关键．
将变形为，画四个长为，宽为的矩形，构造一个“空心”大正方形，得出，即可得出结果．
解：变形为，
画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，
则图中大正方形的面积为，
同时，图中大正方形的面积又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，
即，
，
或，
解得：．
24．(1)2
(2)有最大值，最大值为12
本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键．
（1）利用例题的解题思路，通过配方进行计算即可解答；
（2）先提取负号，然后按照例题的解题思路将其配方，得到，再利用非负数的性质即可求出最大值．
（1）解：．
，
，
的最小值是2．
（2）．
，
，
有最大值，最大值为．(共7张PPT)
浙教版2024 八年级下册
第2章 一元二次方程
单元测试·基础卷分析
一、试题难度
整体难度：容易
难度 题数
容易 1
较易 5
适中 18
较难 0
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 一元二次方程的定义
2 0.85 化成一元二次方程的一般式
3 0.75 判断是否是一元二次方程的解
4 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数；利用平行四边形的性质求解
5 0.65 换元法解一元二次方程
6 0.65 一元二次方程的定义；根据一元二次方程根的情况求参数
7 0.65 一元二次方程的定义；解一元二次方程——直接开平方法
8 0.65 利用算术平方根的非负性解题；利用二次根式的性质化简；因式分解法解一元二次方程；运用完全平方公式进行运算
9 0.65 其他问题(一元二次方程的应用)；图形类规律探索
10 0.64 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 由一元二次方程的定义求参数
12 0.75 化成一元二次方程的一般式
13 0.65 由一元二次方程的解求参数；一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数
14 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
15 0.65 以弦图为背景的计算题；公式法解一元二次方程
16 0.64 解一元二次方程——配方法
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 解一元二次方程——直接开平方法；因式分解法解一元二次方程
18 0.75 由一元二次方程的解求参数；一元二次方程的根与系数的关系
19 0.65 根据判别式判断一元二次方程根的情况；用勾股定理解三角形
20 0.65 工程问题(一元一次方程的应用)；工程问题(一元二次方程的应用)
21 0.65 动态几何问题(一元二次方程的应用)
22 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
23 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
24 0.65 配方法的应用；运用完全平方公式进行运算2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第2章 一元二次方程 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列方程中，一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程化为一般式后二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．5，3，2 B．，3， C．5，3， D．，，
3．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
4．在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（ ）．
A．且 B．
C． D．
5．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（ ）
A． B．
C． D．，方程无实数解
6．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
7．若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（）
A．0 B． C． D．或
8．如果，那么的值为（ ）
A．3或2 B．或2 C．或2 D．3或
9．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，前行的点数和不可能是以下哪个结果（ ）
A．210 B．100 C．78 D．45
10．如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为米，的长为米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
12．方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是 ．
13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为 ．
14．如图，一块长米、宽米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹图中阴影部分，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的，则配色条纹的宽度为 米．
15．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接，，，．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则 ； ．（以上均用含a，b的代数式表示）
16．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
18．一元二次方程两根分别为，且（）
(1)若此方程一个根为1，则______；
(2)当，时，求a，b的值；
(3)若，，且时，求证：
19．已知关于x的方程．
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．
20．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．
(1)求甲工程队每小时修的路面长度；
(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．
21．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动．
(1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？
(2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由．
22．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
(2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个．
①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？
②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明．
23．我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图所示的大正方形，其面积可以表示为，同时其面积又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，故得到，即，进而求出方程的解．
请利用此法解方程
24．阅读下面的例题：
求代数式的最小值．
解：．
，，
的最小值是1．
请利用以上方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最小值．
(2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值．
