浙教版八年级数学下册第2章一元二次方程2.2.5 一元二次方程根的判别式 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
能灵活运用一元二次方程根的判别式解决相关问题.
公式法解方程的步骤
1.一化: 化已知方程为一般形式;
2.二定: 用a,b,c写出各项系数;
3.三求: b2-4ac的值;
4.四判：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;若b2-4ac<0，则方程没有实数根；
5.五代：把系数代入求根公式计算.
用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解：∵a=5,b=-4,c=-12，
b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.
解方程：
化简为一般式：
解：
即 ：
解方程：4x2-3x+2=0
因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.
解：
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac.
一元二次方程根的判别式
按要求完成下列表格：
0
4
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
的值
根的情况
例1 已知一元二次方程x2+x=2，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+x-2=0.∵b2-4ac=1-4×1×（-2）=9＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
B
【点睛】判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
①b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根.②b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.③b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
例2 若关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.m>-1 B.m>-1且m≠0 C.m<1 D.m<1且m≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即 ，m≠0.解得m>-1且m≠0，故选B.
B
例3 不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+4x－2=0； （2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－2=0，a=3,b=4,c=－2,
∴b2－4ac=42－4×3×(－2)=40＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0,
∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
∴方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为：5y2－7y+5=0,
∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.
∴方程无实数根．
例4：关于x的一元二次方程 ，当m满足什么条件时，方程的两根互为相反数？
解：根据题意得△=m2 4×1×(-5) 0，
设方程两个为x1，x2，则x1+x2= =m=0，
解得m=0，
所以当m=0，时，方程的两根互为相反数。
1.方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的
情况是 .
2.下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A.x2=9 B.4x2=3(4x-1)
C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0
-8
方程无实数根
D
3.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ ）
A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac＜0
C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0
D
4.关于x的一元二次方程 有两个实根，则a的取值范围是 .
解：
∴
【点睛】一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
解：
5.已知方程
求c和x的值.
6.不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）2x2+3x-4=0； （2）x2-x+ =0; (3) x2-x+1=0.
解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4,
∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）x2-x+ =0,a=1,b=-1,c= .
∴b2-4ac=(-1)2-4×1× =0.
∴方程有两个相等的实数根．
（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1.
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0.
∴方程无实数根．
解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1
∴b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0 ∴m＞
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0 ∴m=
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴m＜
∴当m＞ 时，方程有两个不相等的实数根；当m= 时，
方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根
8.不解方程，判别关于x的方程 的根的情况.
解：
所以方程有两个实数根．
9.已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m-1=0．
求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
证明：△=（4m+1）2-4（2m-1）
=16m2+8m+1-8m+4
=16m2+5＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
10.若关于x的一元二次方程 (m 2)2 x2 ＋(2m＋1)x＋1＝0有两个实数根，求m的取值范围.
根的判别式：
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac.
①b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根.②b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.③b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.