浙教版八年级数学下册第2章一元二次方程2.3 一元二次方程根与系数的关系 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
探索一元二次方程的根与系数的关系.
不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.根的判别式是什么？
3.一元二次方程的求根公式是什么？
4.一元二次方程的根的情况怎样确定？
思考：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其他关系吗？
解下列方程并完成填空：
（1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
一元二次方程 两 根 关 系
x1 x2
x2+3x-4=0 x1+x2=___；x1 · x2=___.
x2-5x+6=0 x1+x2=___；x1 · x2=___.
2x2+3x+1=0 x1+x2=___；x1 · x2=___.
-4
1
2
3
-1
-3
-4
5
6
a
b
c
1
3
-4
1
-5
6
2
3
1
通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？
思考：你能证明这个结论吗？
·
ax2+bx+c=0(a≠0)（b2-4ac≥0）根据公式法得到两个根为：
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0.
·
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0; （2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解： a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
解： a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
A
说出下列各方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 - 2x - 1=0
(2) 2x2 - 6x =0
x1+x2=2
x1x2=-1
x1+x2=3
x1x2=0
例2：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
所以：x1 · x2=2x2=
即：x2=
由于x1+x2=2+ =
得：k=－7.
答：方程的另一个根是 ，k=－7.
已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以：x1 + x2=1+x2=6，
即：x2=5 .
由于x1·x2=1×5=
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
例 设 是一元二次方程 的两个根
求(1) (2)
【分析】求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入．
不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
解：设方程的两个根分别是x1 、x2，根据根与系数的关系可知：
总结常见的求值:
【点睛】求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
例 ：已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别
是 请写出这个方程.
解：设这个方程为 ，由一元二次方程根与系数的关系，得
1.若关于x的一元二次方程 的两根互为相反数，求m的值
解：∵x1，x2是方程2x2-3x+m=0的两个实数根， ∴x1+x2= ①， 而8x1-2x2=7 ②， 联立①②解得：x1=1，x2= ， ∴x1 x2= = ， ∴m=1． 故答案为：1．
3
2
1
2
m
2
1
2
1.已知方程 的两根之和与两根之积相等，那么m的值为（ ）
A.1 B.-1 C. 2 D. -2
2.方程 的两根和为4，积为-3，则a= ，b= .
B
8
-3
3.设x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的两个根，求下列各式的值：
分析：利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法是：(1)利用根与系数的关系求x1＋x2，x1x2的值；(2)将所求的代数式变形转化为用含x1＋x2，x1x2的代数式表示；(3)将x1＋x2，x1x2的值整体代入求出待求式的值．
4.已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.（用两种方法解答）
解法一：
设方程的另一个根为x2.
由根与系数的关系，得
2 ＋ x2 = k+1
2 x2 = 3k
解这方程组，得
x2 =－3
k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
解法二：
设方程的另一个根为x2.
把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0
解这方程，得 k= - 2
由根与系数的关系，得2 x2＝3k
即2 x2＝－6
∴ x2 ＝－3
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
4.已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.（用两种方法解答）
一、一元二次方程的根与系数的关系
【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0.
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
二、常见的求值应用