浙教版八年级数学下册第4章平行四边形4.3.1 图形的旋转课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
4.3.1 旋转的概念与性质
4.3 图形的旋转
同学们都见过风车吧，它能在风的吹动下不停地转动．在我们周围，还能看到许多转动着的物体，如车轮、水车、风力发电机、飞机的螺旋桨、时钟的指针、游乐园的大转盘……我们就生活在一个处处能见到旋转现象的世界中．
在数学中，旋转是图形变化的方法之一，应该怎样描述它呢？它又有什么性质呢？本章将解答这些问题．
如图，钟表的指针在不停地转动，从 3 时到 5 时，时针转动了多少度？
钟表的时针从 3 时到 5 时 转动了 60°．
劣弧与优弧
旋转的定义
把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.
O
P′
P
旋转中心
旋转角
对应点
点 O 叫做旋转中心.
转动的角叫做旋转角.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，
那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
（1）平移变换前后，两个图形的对应线段平行（或在同一条直线上），对应角的两边分别平行（或在同一条直线上）且方向一致．
（2）若成轴对称的两个图形的对应线段或其延长线相交，则其交点在对称轴上；成轴对称的两个图形的对应点所连线段被对称轴垂直平分．
（3）旋转变换前后，两个图形的任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角．
思考：平移、轴对称和旋转有什么异同点？
（3）都是把一个已知图形变换后得到另一个与之全等的图形．
（1）都是在平面内进行的图形变换；
（2）都是只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前、后图形的对应边相等，对应角相等，两图形全等；
思考：平移、轴对称和旋转有什么异同点？
下列物体的运动是旋转的有 .
①电梯的升降运动； ②行驶中的汽车车轮；
③方向盘的转动； ④骑自行车的人；
⑤坐在摩天轮里的小朋友.
②③⑤
A
B
C
E
M
解：(1)旋转中心是点 A.
(2)旋转了 60°，逆时针.
(3)点 M 转到了 AC 的中点上.
D
60°
.
劣弧与优弧
旋转三要素
旋转中心
旋转角
旋转方向
必须明确
确定一次图形的旋转时：
例1
把图中的五角星图案，绕着它的中心点O旋转，旋转角为多少度时，旋转后的五角星能与自身重合？
解：旋转角为72°或144°或216°或288°时，
旋转后的五角星能与自身重合.
A
B
B′
A′
C
45°
△ABC 如何运动到△A′B′C 的位置？
绕点 C 逆时针旋转45°
旋转中心是点_____；
图中对应点有___________________
_______________________________；
图中对应线段有_________________
_______________；
每对对应线段的长度关系是_____；
图中旋转角等于_____°.
C
点 A 与点 A′，点 B 与
点 B′，点 M 与点 M′，点 N 与点 N′
CA 与 CA′、CB 与
CB′、AB 与 A′B′
45
相等
根据右图填空：
劣弧与优弧
旋转的性质
2. 对应点与旋转中心所
连线段的夹角等于旋转角；
E
A
B
F
C
O
1. 对应点到旋转中心的
距离相等；
3. 旋转前、后的图形全等.
D
D
B
C
A
解：如图，两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 O即为旋转中心.
O
劣弧与优弧
利用旋转性质解题的方法技巧
利用旋转的性质解决问题时应抓住 以下几点：
(1)明确旋转中的“变”与“不变”；
(2)找准旋转前后的“对应关系”；
(3)充分挖掘旋转过程中的相等关系.
例2
如图，△ABC 与△ADE 都是直角三角形，∠B 和∠ADE都是直角，点 D 在 AC 上，∠E＝60°，△ADE 经过旋转后能与△ABC 重合，请回答下列问题：
（1）哪一点是旋转中心？
（2）旋转的角度是多少？
解：（1）点 A 是旋转中心．
D
A
B
E
（2）由题意，可知∠EAD＝180°－90°－60°＝30°．
故旋转的角度是30°．
C
例3
如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 40°，得到△ADE，这时点 D 恰好落在BC上，DE交AC于点F,求∠ADE的大小.
解：∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 40°，
得到△ADE，
∴∠BAD = 40°，∠ADE = ∠B,
AB = AD.

例4
如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3则∠BE′C＝________度．
解析：连接EE′，
由旋转性质知BE＝BE′，∠EBE′＝90°，
∴∠BE'E=45°，

在△EE′C中，E′C＝1，EC＝3，

由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°，
∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.
135
例5
如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F．
求证：△BCF≌△BA1D；
证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
由旋转的性质，可得
A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，
∴△BCF≌△BA1D
例6


例6


例7
如图，等边三角形ABC内有一点O，已知OA=4， OB=3，OC=5. 求∠AOB的度数.
解：将△BOA绕点B顺时针旋转60°得△BPC，连接OP，如图，
由旋转的性质得BP=BO，∠OBP=60°.
∴△OBP 为等边三角形，
∴OP=OB=3.
由旋转的性质得PC=OA=4.
∵在△OPC 中，OP2+PC2=32+42 =OC2.
∴∠OPC=90°，∴∠CPB=∠OPB+∠OPC=60°+90°=150°，
∵旋转后的图形与旋转前的图形全等，∴∠AOB=∠CPB=150°.
旋转
定义
把一个平面图形绕着平面内某点O沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转
三要素
性质
旋转中心，旋转方向和旋转角度
对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
旋转前后的图形全等.
1．下列现象中：①汽车方向盘转动；
②物体随传送带水平移动；
③电梯升降运动；④钟摆运动．
属于平移的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
2．下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（ ）
A B C D
B
4.如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′ ，则点P的坐标是( )
A.(1，1) B.(1，2)
C.(1，3) D.(1，4)
B
P

A.30 B.35 C.40 D.50
A
5.如图，把△ABC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到
△A′B′C′ ，则下列等式成立的有(　　)
①AB＝A′B′ ；②OB＝OB′；③∠AOA′＝∠COC′；
④∠COB＝∠A′OC′；⑤∠AOB＝∠BOC′.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
B

A.60° B.70° C.40° D.100°
B
A
B
C
D
E
7.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得Rt △ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上.若AC= , ∠B=60 °，则CD的长为 .
1
8.如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ．
M
9.下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同．（填序号）
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