浙教版八年级数学下册第5章特殊平行四边形5.1.2 矩形的判定课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．
能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.
四边形
平行
四边形
两组对边
分别平行
一个角
是直角
∟
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的性质：
边：对边平行且相等.
角：对角相等； 邻角互补； 四个角都是直角.
对角线：相等且互相平分.
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟.一天，师傅有事外出，两徒弟就自己练习.他们各用一块四边形的废料做了一扇矩形式的门，做成之后，两人都说对方做的门不是矩形，而自己做的是矩形.
大徒弟说：“我用角尺量我做的门的任意三个角，发现他们都是直角，所以我做的这个门一定是矩形”.
二徒弟说：“我用直尺量我做的门的两组对边和两条对角线，发现它们的长度相等，所以我做的门一定是矩形”．
根据它们的对话，你能肯定他们做的门一定是矩形吗？
已知:如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．
证明:
∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC，AB∥CD.
求证:四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
B
C
A
∴四边形ABCD是矩形.
∠B+∠C=180°.
大徒弟说：“我用角尺量我做的门的任意三个角，发现他们都是直角，所以我做的这个门一定是矩形”.
大徒弟做的门是矩形吗
判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形ABCD中，∠A= ∠B= ∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
D
B
C
A
∵AB=CD，AD=BC，
∴△ADC≌△BCD(SSS)．
∴∠ADC=∠BCD，
又∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
已知：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AC=BD．
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AC=BD，AD=BC，DC=CD，
二徒弟说：“我用直尺量我做的门的两组对边和两条对角线，发现它们的长度相等，所以我做的门一定是矩形”．
二徒弟做的门是矩形吗？
判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
几何语言：
∵在□ABCD中，AC=BD，
∴□ABCD是矩形．
判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）对角互补的平行四边形是矩形．
（2）一组邻角相等的平行四边形是矩形．
（3）对角线相等的四边形是矩形．
（4）内角都相等的四边形是矩形．
正确
正确
错误
正确
例1:已知：如图，M为 ABCD的AD边上的中点，且MB=MC.
求证： ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∵AM=DM，MB=MC，
∴△ABM≌△DCM．
∴∠A=∠D．
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°．
∴∠A=90°．
∴ ABCD是矩形．
如图，在 　ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= AC，
OB=OD= BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
例2:一张四边形的纸板ABCD的形状如图，它的两条对角线互相垂直．若要从这张纸板中剪出一个矩形，并使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可怎么剪？
D
A
C
B
解：分别取AB、BC、CD、AD的中点E、F、G、H，依次连结EF，FG，GH，HE，沿四边形EFGH的各边剪，就能剪出符合要求的矩形.
D
A
C
B
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
∴四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
∵EF是△ABC的一条中位线.
证明:
∴EF ∥AC(三角形的中位线平行于第三边)，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥BD，
∵EH是△ABD的一条中位线，
∴EH∥BD(三角形的中位线平行于第三边)．
∴EF⊥EH，即∠HEF=Rt ∠.
同理，∠EHG=Rt ∠， ∠HGF=Rt ∠．
如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形的对角线相等)，
AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分），
∵ AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EO+OG=FO+OH，
即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形.
例3：已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵△AOB是等边三角形，
∴AO=BO，
∴AC=BD，
∴□ABCD是矩形，
在Rt△ABC中，
∵AB=4，AC=8，
2.甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（　　）
A．甲量得窗框两组对边分别相等
B．乙量得窗框的对角线相等
C．丙量得窗框的一组邻边相等
D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
1.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　）
A.AB=CD B.AC=BD C.AB=BC D.AD=BC
B
D
3.已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说法正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
A
4.能够判断一个四边形是矩形的条件是（ ）
A.对角线相等 B.对角线垂直
C.对角线互相平分且相等 D.对角线垂直且相等
5.矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线长是 cm．
C
5
6.如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE=CG=BF=DH．
求证：四边形EFGH是矩形．
A
B
C
D
E
F
G
H
O
证明：
在矩形ABCD中， AC=BD ，
AO=CO=BO=DO，
∵AE=CG=BF=DH，
即OE=OG=OF=OH， EG=FH．
∴四边形EFGH是平行四边，
∴四边形EFGH是矩形．
∴AO-AE=CO-CG=BO-BF=DO-DH，
7.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD．
（1）求证；四边形OBFE是平行四边形；
（2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点．
又∵点E是边AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
又∵点F在CB的延长线上，
∴OE∥BF．
∵EF∥BD，即EF∥OB，
∴四边形OBFE是平行四边形．
（2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形．
理由：由（1）可知四边形OBFE是平行四边形，
又∵AD⊥BD，AD∥BC，且点F在BC的延长线上，
∴FC⊥BD，
∴∠OBF=90°，
∴四边形OBFE是矩形．
对角线相等
矩形的判定方法：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（定义）
有三个角是直角的四边形是矩形（矩形的判定定理1）
对角线相等的平行四边形是矩形（矩形的判定定理2）
四边形
平行四边形
矩形
有一个角是直角
有三个角是直角