浙教版八年级数学下册第5章特殊平行四边形5.3.1 正方形形的判定课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
理解并掌握正方形的判定和推导过程.
能熟练运用正方形的判定进行计算和证明.
四边形
平行四边形
矩形
平行四边形的判定
对角线相等
有一个角是直角
有三个角是直角
矩形的判定方法
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
四种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法
由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形．
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
什么是正方形？
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角，
一组邻边相等，
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
(可从平行四边形、矩形、菱形入手判别）
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
定义法
矩形法
有一个角是直角的菱形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
我们可以得到哪些正方形的判定定理呢？
平行四边形
正方形
矩形
菱形
一组邻边相等
一组邻边相等
一内角是直角
一内角是直角
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
完成下图：
O
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
有四条对称轴
菱形和矩形都有对称性，我们来研究一下正方形的对称性吧！
O
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
菱形和矩形都有对称性，我们来研究一下正方形的对称性吧！
且正方形有4条对称轴
由此可见，正方形既是轴对称图形也是中心对称图形.
例1: 直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：四边形CFDE是正方形.
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90°,而∠ACB=90°
∴ 四边形ABCD为矩形.
∵ CD平分∠ACB，DE⊥AC， DF⊥BC
∴ DE=DF.
∴四边形ABCD是正方形.
在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗 为什么
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
例2: 如图，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的，求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，
∴∠DEC= ∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，
∴四边形ADFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC，DG⊥AB，
∴ DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴四边形ADFC是正方形.
如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.
DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
例3：如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,
B
A
C
D
O
E
H
G
F
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.
B
A
C
B
O
E
H
G
F
思考：前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
矩形
正方形
任意四边形
平行四边形
菱形
正方形
E
F
G
H
E
F
G
H
E
F
G
H
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形（ ）
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形 （ ）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形 （ ）
√
√
√
×
1.判断题:
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.四条边相等. B.对角线互相垂直平分.
C.对角线平分一组对角. D.对角线相等.
D
3.正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于E，则DE的长为_______.
2
A
B
C
D
O
E
4.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，过点 C 的直线 MN∥AB，D 为 AB 边上一点，过点 D 作 DE⊥BC，交直线 MN 于 E，垂足为 F，连结CD，BE．
（1）求证：CE=AD.
（2）当 D 在 AB 中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由.
（3）若 D 为 AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？请说明你的理由．
分析：（1）先求出四边形 ADEC 是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形 BECD 是平行四边形，求出 CD=BD，根据菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．
（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB．∴AC∥DE．
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形 ADEC 是平行四边形．
∴CE=AD．
（2）解：四边形 BECD 是菱形.
理由如下：∵D 为 AB中点，∴AD=BD．
∵CE=AD，∴BD=CE．
∵BD∥CE，
∴四边形 BECD 是平行四边形．
∵∠ACB=90°，D 为 AB中点，
∴CD=BD．∴四边形 BECD 是菱形．
（3）解：当∠A=45°时，四边形 BECD 是正方形.
理由如下：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°．∴AC=BC．
∵D 为 BA 中点， ∴CD⊥AB．∴∠CDB=90°．
又∵四边形 BECD 是菱形，∴菱形 BECD 是正方形.
∴当∠A=45°时，四边形 BECD 是正方形．
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结