浙教版八年级数学下册第5章特殊平行四边形5.2.1 菱形的性质课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.探索并证明菱形的性质定理.
应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
思考:如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢
平行四边形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
菱形
邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
生活中的实例
画出菱形的两条对角线，并通过折叠(上下对折、左右对折)手中的图形，得到菱形有哪些平行四边形不具有的性质？从以下方面进行讨论：
1.对称性
2.是否有特殊的三角形
3.边
4.角
5.对角线
通过上面的折叠猜想菱形的四条边有什么关系？
猜想1：菱形的四条边都相等.
你能证明这些猜想的正确性吗？
猜想2：菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.
已知：如图，四边形ABCD是菱形.
证明:∵ 四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD，四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD，AD=BC.
求证：AB=BC=CD=DA.
∴ AB=BC=CD=AD.
C
B
D
A
菱形性质定理1:菱形的四条边都相等.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD.
几何语言：
已知:如图，AC，BD是菱形ABCD的两条对角线，AC，BD相交于点O.
求证: （1）AC⊥BD;（2）AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.
证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD，AO=CO.
∵DO=DO，
∴△AOD≌△COD(SSS).
∴∠AOD=∠COD=900.
O
D
B
C
A
∴AC⊥BD.
（2）∵AD=AB,DA=DC，AC⊥BD;
∴AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ADC和∠ABC.
∵菱形ABCD，
∴ AC⊥BD，BD平分∠ADC和∠ABC，
菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
BD平分∠ADC和∠ABC．
几何语言：
菱形是轴对称图形，对称轴有两条．
例1：在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=30°，BD=6．
求菱形的边长和对角线AC的长.
解：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=CD(菱形的定义)
AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角)
∵∠BAC=30° ∴∠BAD=60°
又∵OB=OD=3(平行四边形的对角线互相平分)
AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
由勾股定理,得AO=
AC=2AO=
∴△ABD是等边三角形. ∴AB=BD=6，
如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．
求证：AE=AF．
证明：在菱形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，
∠B=∠D，
∵点E、F分别是BC、CD边的中点，
∴BE=　BC，DF= CD，
∴BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF．
例2： 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于点O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA ，
∴OA＝BE .
1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是 (　　)
A.10 B.12 C.15 D.20
C
2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连结OE，则线段OE的长为_______.
第1题图
第2题图
6cm
问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例3：如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
∵
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
∴13h＝120，得h＝ .
【点睛】菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
∵
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
∴13h＝120，得h＝ .
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
D
2.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　）
A.（3，1） B.（3，﹣1）
C.（1，﹣3） D.（1，3）
B
3.如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，求AE的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴AC⊥BD，AO= AC，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∵AC=6，∴AO=3，∴BO=4，∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是
×AC DB= ×6×8=24，
∴BC AE=24，
AE= ．
4.已知：如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F．如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长．
解：连结BD．∵在菱形ABCD中，
∴AD∥BC，AC⊥BD．
又∵EF⊥AC，∴BD∥EF．
∴四边形EFBD为平行四边形．
∴FB=ED=2．
∵E是AD的中点．
∴AD=2ED=4．
∴菱形ABCD的周长为4×4=16．
1.菱形是特殊的平行四边形,具有一般平行四边形的所有性质.
2.特殊的性质:
(2) 性质定理2 菱形的对角线互相垂直, 并且每条对角线平分一组对角.
(3) 菱形是轴对称图形,它的对称轴是对角线所在的直线.
(1) 性质定理1 菱形的四条边都相等.