浙教版八年级数学下册第5章特殊平行四边形5.3.2 正方形形的性质课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
正方形的判定方法
平行四边形
正方形
矩形
菱形
一组邻边相等
一组邻边相等
一内角是直角
一内角是直角
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
由正方形的定义可知：
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形．
正方形的性质=
菱形的性质+矩形的性质.
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
1.一个正方形的面积等于8，则其对角线的长为________.
4
2.正方形对角线长6 ，则它的面积为_____，周长为______.
36
24
例1：已知：如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分别为垂足，连结AG，EF.求证：AG=EF
提示：连结CG，下面怎么证明呢？试着证明一下.
∵ GE⊥CD, GF⊥BC
∴ ∠GFC= ∠GEC =90°
（有三个角是直角的四边形是矩形）
又∵ ∠BCD =90°
∴ AG=CG
∴ 四边形FCEG是矩形
证明：如图，连结CG
在△AGD和△CGD中，∠ADG=∠CDG
（正方形的对角线平分一组对角）
DG=DG, AD=CD
（正方形的四条边相等）
∴△AGD≌△CGD
∴ AG=EF
∴ EF=CG
（矩形的两条对角线相等）
例2：在正方形ABCD中，M是正方形内的一点，且MC=MD=AD,求∠BAM的度数？
例3：已知：点E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的中点，求证：四边形EFGH是正方形.
证明：连结AC、BD，
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD，AC⊥BD，
在△ABC中，F. G分别是AB、BC的中点，
故可得：FG= AC,同理
EH= AC,GH= BD,EF= BD，
在四边形ABCD中，AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
在△ABD中，E. H分别是AD、CD的中点，
则EH∥AC，
同理GH∥BD，
又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，
∴四边形EFGH是正方形.
性 质
边 角 对角线 对称性
图形语言
文字语言
符号语言
A
C
D
\
B
A
C
D
B
A
C
D
B
\
\
\
∟
∟
∟
∟
O
\
\
\
\
∟
对边平行，四条边都相等
四个角都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD
轴对称图形 中心对称图形
边 角 对 角 线 对 称 性
平 行
四边形
矩 形
菱 形
正方形
几种特殊四边形的性质
对边平行
且相等
对边平行 且相等
对边平行，四边都相等
对边平行，
四条边
都相等
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角线互相平分
对角线相等
且互相平分
对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
1. 在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为（ ）
A．10° B．12.5° C．15° D．20°
C
2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
3.如图，在正方形ABCD 中，点E，F 分别是 AB，BC 边上的点，且 AE=BF．
求证：CE=DF．
分析：根据正方形的性质可得AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，然后求出 BE=CF，再利用“SAS”证明△BCE≌△CDF，从而 CF=DF．
证明：在正方形 ABCD 中，
AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°.
∵AE=BF，
∴AB-AE=BC-BF，即 BE=CF.
在△BCE 和△CDF 中，BC=CD，
∠B=∠BCD=90°，BE=CF，
∴△BCE≌△CDF（SAS）.
∴CE=DF．
4.已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，M、N在OB和OC上，且MN∥BC，连结DN、MC，试猜想DN与MC有什么关系？并证明你的猜想.
N
M
O
D
C
B
A
⌒
1
⌒
2
H
⌒
3
又∵MN∥AB
∴∠OMN＝∠1＝∠BCO＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON
证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴OC＝OD , ∠COD=∠COB=90°
∠1＝∠BCO＝45°
∴△COM≌△DON(SAS)
∴DN＝MC
答：DN＝MC DN⊥MC
（2）由△COM≌△DON得∠2=∠3
又∠3+∠CMO=90°
∴∠2+∠CMO=90°
∴∠DHM=90°
∴DN⊥MC
5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.
∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，
∴FC＝AC－AF＝( －1)cm，∴BE＝( －1)cm．
6. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
A
B
D
C
F
E
延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°,
∴∠CBE+∠F=90° ,
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
A
B
D
F
E
C
M
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.