3.3.1 离差平方和与方差（1） 教案

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分课时教学设计
第4课时《3.3.1离差平方和与方差（1） 》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 离差平方和是方差的“前身”，是理解方差本质的关键铺垫——方差本质是“离差平方和的平均值”。本节课打破学生对“数据差异”的模糊认知（仅能判断“有差异”），引导学生用具体数值量化差异，是从“定性描述”到“定量计算”的重要过渡，同时为第2课时方差的推导、理解提供知识支撑，衔接前后统计知识，完善数据特征描述的知识体系。
学习者分析 学生已掌握平均数的计算方法，能通过平均数描述数据的集中趋势；初步了解“数据有差异”，但仅能通过直观观察（如数值大小差距）判断，无法用具体数值量化差异；具备基本的代数运算（平方、求和）能力，能完成简单的有理数、实数运算，为离差平方和的计算提供基础。
教学目标 1.理解离差、离差平方和的定义，掌握离差平方和的计算公式；能独立完成简单数据集（样本量≤5）的离差平方和计算。 2.通过实例对比（直观差异→量化差异），经历“提出问题→分析问题→解决问题”的过程，培养学生的数据分析能力和代数运算能力。
教学重点 离差平方和的定义、计算公式，以及简单数据集的计算方法；理解离差平方和的意义（越大，数据偏离平均数越明显）。
教学难点 理解“为什么用平方”（避免离差正负抵消）、“为什么求和”（汇总总偏离程度），突破对“离差”概念的理解（个体与平均数的差距，可正可负）。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课 教练的烦恼 甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下： 第一次第二次第三次第四次第五次甲命中环数78889乙命中环数1061068
⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩； ⑵ 请根据这两名射击手的成绩在下图中画出折线统计图； ⑶ 现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？ 学生活动1： 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题. 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，激发学生的兴趣，理解学生思考，提出问题，打破学生对“数据差异”的模糊认知（仅能判断“有差异”），引导学生用具体数值量化差异，是从“定性描述”到“定量计算”的重要过渡引起学生探讨的兴趣．环节二：新知探究 教师活动2： 谁的稳定性好？应以什么数据来衡量？ 甲射击成绩与平均成绩的偏差的和： （7-8）+（8-8）+（8-8）+（8-8）+（9-8）=0 乙射击成绩与平均成绩的偏差的和： （10-8）+（6-8）+（10-8）+（6-8）+（8-8）=0 探究：① 定义“离差”：结合导入实例，给出离差的定义（个体数据与这组数据平均数的差，记为），计算两组数据中每个个体的离差，引导学生发现“离差有正有负，总和为0”，进而提出“如何避免正负抵消？”；② 探究“离差平方”：对比“绝对值求和”与“平方求和”，通过具体计算（如导入两组数据的绝对值和与平方和），说明“平方求和”更能突出较大偏离值的影响，更具合理性；③ 定义“离差平方和”：给出离差平方和的定义（所有离差的平方和，记为），明确计算公式中各符号的含义。 定义：样本中，各数据与平均数的差（又称离差）的平方和称为离差平方和，记为 D 2 对于一组数据 x1 ,x2 ,…,xn ，这组数据的平均数为 xˉ，则 在一组数据中，各数据与它们平均数的差的平方的平均数(即“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”)得到的数叫方差。 1．方差的概念 定义：在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用“S2”表示． 公式：S2＝_________________． 标准差的定义和计算 定义：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“S”表示． 公式：S＝______________． 说明：方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数． 1、方差是衡量数据稳定性的一个统计量； 2、方差的单位是所给数据单位的平方； 3、方差越大，波动越大，越不稳定； 方差越小，波动越小，越稳定。 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生自主解答，教师适时的进行提示 学生思考 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，让学生在小组内共同合作，培养学生发现问题，理解“为什么用平方”（避免离差正负抵消）、“为什么求和”（汇总总偏离程度），突破对“离差”概念的理解（个体与平均数的差距，可正可负）。环节三：典例精析 例1: 为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10株苗，测得苗高如下(单位:cm): 甲: 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11 乙: 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16 (1)分别计算甲、乙两种小麦的方差 (2)问哪种小麦长得比较整齐 分析：（1）平均数 甲：13(cm) 乙：13(cm) 分析：（1）平均数 甲：13(cm) 乙：13(cm) S2甲 =3.6(cm2) S2乙 =15.8(cm2) （2）因为S2甲< S2乙，所以甲种小麦长得比较整齐。 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，会求一组数据的方差、标准差，并会用他们表示数据的离散程度。
板书设计 概念 例题 练习
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.为了选拔一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会跳高比赛，班长小明记录了甲、乙、丙、丁四名同学几次跳高选拔的平均数与方差。根据表中数据，应该选择(　) 甲乙丙丁平均数/cm155155155150方差/cm22.72.22.33.1
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 选做题： 2．某跳远队甲、乙两名运动员最近10次跳远成绩的平均数均为602 cm.若甲跳远成绩的方差为S甲2＝65.84，乙跳远成绩的方差为S乙2＝258.21，则成绩比较稳定的是____．(选填“甲”或“乙”) 【综合拓展类作业】 3.已知三组数据1、2、3、4、5；11、12、13、14、15和3、6、9、12、15。 （1）求这三组数据的平均数、方差和标准差。 平均数方差标准差1、2、3、4、511、12、13、14、153、6、9、12、15
（2）对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？
课堂总结 定义：在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用“S2”表示。 定义：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“S”表示。 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数。 1、方差是衡量数据稳定性的一个统计量； 2、方差的单位是所给数据单位的平方； 3、方差越大，波动越大，越不稳定； 方差越小，波动越小，越稳定。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知数据x1、x2、x3、x4、x5的方差是 3， 那么数据
x1－1，x2－1，x3－1，x4－1，x5－1的方差是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 选做题： 2.某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表： 本数01234≥5人数1921720
(1)(4分)全班同学暑假读数学课外书本数的众数是　　，中位数是　　。 (2)(4分)求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差(结果保留根号)。 【综合拓展类作业】 3.某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级(一)，(二)班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如图3－3－2所示． 图3－3－2 (1)根据图示填写下表； 班级平均数(分)中位数(分)众数(分)九(一)85____85九(二)____80____
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好； (3)计算两班复赛成绩的方差。 答案：课堂练习 B　2.甲 3.答案（1）3，3，。13,2，。9，18,3。（2）当第二组每个数据比第一组每个数据增加(或减少)m个单位时，平均数也是增加(或减少)m个单位。方差和标准差不变。当第二组每个数据是的第一组每个数据 n 倍时,方差是n2倍，标准差是n 倍。 【知识技能类作业】 1.C 2.解：（1）2,2（2)平均数为(0×1＋1×9＋2×21＋3×7＋4×2)÷40=2(本)， 方差为S2=2)2＋21×(2－2)2＋7×(3－2)2=0.7， ∴标准差为S=。 3.解：（1）85,85,100 (2)九(一)班成绩好些．因为两个班级的平均数相同，九(一)班的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的九(一)班成绩好些； (3)S＝[(75－85)2＋(80－85)2＋2×(85－85)2＋(100－85)2]＝70， S＝[(70－85)2＋2×(100－85)2＋(75－85)2＋(80－85)2]＝160。
教学反思 通过具体实例、数据对比，降低抽象概念的理解难度，帮助学生感知离差平方和的意义。 以“如何量化数据偏离程度”为主线，层层设问，引导学生主动探究“为什么用平方”“为什么求和”，培养学生的思考能力。规范训练：例题讲解注重步骤规范，练习注重纠错，减少学生计算失误，夯实基础。
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