3.3.2 离差平方和与方差（2） 教案

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分课时教学设计
第5课时《3.3.2 离差平方和与方差（2） 》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课内容选自统计类教学内容，是在学生掌握“平均数”“离散程度”等基础统计概念后的延伸应用，核心围绕“离差平方和”的实际应用——数据分组展开。教材以“运动队跳高成绩分组”“人均耕地面积分组”两个实例为载体，从“实际问题→分组尝试→计算验证→总结规律”的逻辑推进，既衔接了前期“离差平方和”的定义与公式，又为后续大数据分析、分层分类研究等内容奠定基础，是连接基础统计知识与实际应用的关键纽带，体现了统计学“用数据说话、用方法解决实际问题”的核心思想。
学习者分析 先通过简单的5个数据分组，引导学生尝试不同分组方式、计算组内离差平方和，发现“组内离差平方和最小”的分组原则；再通过10个数据的分组，巩固方法、深化理解，符合学生“由浅入深、由易到难”的认知规律。 引导学生经历“排列数据→尝试分组→计算验证→总结规律”的完整过程，渗透“数形结合”（数轴表示数据）、“分类讨论”（不同分组情况）、“优化思想”（寻找最优分组）等数学思想，培养学生的数据分析能力和逻辑推理能力。
教学目标 1.理解数据分组的核心原则（组内离差平方和最小、组间差异最大），明确组内离差平方和、组间离差平方和与总离差平方和的关系。 2.能根据给定的数据（5个或10个），有序列举不同的分组情况，计算各组的组内离差平方和，找到最优分组方案。 3.能运用数据分组的方法，解决简单的实际问题（如学生成绩分组、数据分类等），初步具备数据分析和应用能力。
教学重点 掌握数据分组的核心原则（组内离差平方和最小）；能运用离差平方和计算方法，对简单数据进行合理分组，解决实际问题。
教学难点 理解“组内离差平方和最小”的合理性，明确组内、组间离差平方和与总离差平方和的关系。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课 某校运动队有 5 名同学准备参加跳高比赛，他们的跳高最好成绩如下： 表 3-7 某校运动队 5 名同学跳高最好成绩统计表 队员编号12345成绩 /m1.581.751.631.651.78
为了让队员能更有效地进行赛前训练，教练计划将 5 名同学按他们的跳高成绩的高低分成两组。怎样分组比较合理？ 学生活动1： 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题. 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，激发学生的兴趣，理解学生思考，提出问题，学生思考，导学生尝试不同分组方式、计算组内离差平方和，发现“组内离差平方和最小”的分组原则，引起学生探讨的兴趣．环节二：新知探究教师活动2： 将 5 名队员的跳高成绩按从小到大排列：1.58, 1.63, 1.65, 1.75, 1.78。将这些数据表示在数轴上，如图 3-4。 显然，应把相对集中的数据分在一组，例如，分成 {1.58, 1.63, 1.65}, {1.75, 1.78} 两组。 一般地，设有n个数据x1 ,x2 ,x3 ,…,xn ，它们的平均数为 ，离差平方和为D2。如果把这些数据分为两组，第 1 组有k1个数据，平均数为 ，离差平方和为D12； 第 2 组有k2个数据，平均数为 ，离差平方和为D22，其中k1+k2=n。通过计算可以得到以下等式（证明略）： 通常称（D12+D22）为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称 为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异。一个合理的分组原则是使D12+D22最小，同时使 最大。由于总离差平方和D2不变，所以只需考虑D12+D22最小即可。 在大数据分析中，数据分组是重要的方法之一。数据分组方法有许多种，其中使得 “组内离差平方和最小” 的方法最为常见。 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生自主解答，教师适时的进行提示 学生思考 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，让学生在小组内共同合作，培养学生发现问题，掌握数据分组的核心原则（组内离差平方和最小）；能运用离差平方和计算方法，对简单数据进行合理分组，解决实际问题。环节三：典例精析 例2：国家有关部门根据各地的人均耕地面积数据，进行分类研究，制定切合各地实际的政策。带着这个问题，统计学兴趣小组的同学收集了我国10个地区的人均耕地面积数据，如表 3-9。 表 3-9 我国 10 个地区人均耕地面积统计表 地区人均耕地面积 / 千平方米黑龙江4.2新疆2.3江苏0.6安徽0.6福建0.3上海0.1内蒙古3.2吉林1.8广东0.2甘肃2
如果将这 10 个地区分成两组，尽可能使组内各地区的人均耕地面积接近、不同组地区的人均耕地面积差异较大，应如何分组？ 组序第 1 组数据第 2 组数据组内离差平方和10.10.2, 0.3, 0.6, 0.6, 1.8, 2.0, 2.3,3.2, 4.215.5888920.1, 0.20.3, 0.6, 0.6, 1.8, 2.0, 2.3, 3.2, 4.213.130.1, 0.2, 0.30.6, 0.6, 1.8, 2.0, 2.3, 3.2, 4.210.2840.1, 0.2, 0.3, 0.60.6, 1.8, 2.0, 2.3, 3.2, 4.27.77550.1, 0.2, 0.3, 0.6, 0.61.8, 2.0, 2.3, 3.2, 4.24.17260.1, 0.2, 0.3, 0.6,0.6,1.8 2.0, 2.3, 3.2, 4.24.887570.1, 0.2, 0.3, 0.6, 0.6, 1.8, 2.02.3, 3.2, 4.25.4266780.1, 0.2, 0.3, 0.6, 0.6, 1.8, 2.0, 2.33.2, 4.26.0887590.1, 0.2, 0.3, 0.6, 0.6, 1.8, 2.0, 2.3, 3.24.29.94
计算结果表明，将数据分成 {0.1, 0.2, 0.3, 0.6, 0.6} 和 {1.8, 2.0, 2.3, 3.2, 4.2} 两组时，组内离差平方和最小，即组内人均耕地面积数据波动最小，两组之间数据差异最大。所以将上海、广东、福建、江苏、安徽分在一组，其余地区分在另一组比较合理。 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 强化对算术平均数和加权平均数的认识 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，面对较多数据（如10个地区人均耕地面积）时，能有序列举分组情况，准确计算组内离差平方和，快速找到最优分组。
板书设计 概念 辩析 例题 练习
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.将排序后的数据分为两组，下列关于计算组内离差平方和的说法正确的是(　　) A.计算第一组的离差平方和即可 B.应计算两组离差平方和的总和 C.仅计算最大值与最小值的差 D.应计算两组离差平方和的平均数 选做题： 2.把5个数据－1，3，1，5，4分成{－1，1}和{3，4，5}两组，则这种分组情况的组内离差平方和为　　。 【综合拓展类作业】 3.甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩(单位：分)如下：15，18，15，24，按照“组内离差平方和最小”的原则，将竞赛成绩分成两组。
课堂总结 1.容易混淆“组内离差平方和”“组间离差平方和”“总离差平方和”的概念，难以理解三者之间的关系，无法解释“为什么组内离差平方和最小就是最优分组”。 2.分组无序：面对多个数据时，无法有序列举所有分组情况，容易遗漏或重复，导致无法找到最优分组方案。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是(　　) A.{2}，{4，8，10，12} B.{2，4}，{8，10，12} C.{2，4，8}，{10，12} D.{2，4，8，10}，{12} 选做题： 2.假设 4 个城市的人均用水量(单位：吨)为：城市A：8，城市B：10，城市C：12，城市D：15。根据组内离差平方和最小原则，把这 4 个城市分成两组，那么分组为　　和　　。 【综合拓展类作业】 3.假设6家企业的年产值(单位：万元)分别为100，200，300，400，500，600。根据年产值的组内离差平方和最小原则，把这6家企业分成两组。 答案：课堂练习 B 2.4 3.解：将4个数据从小到大排序：15，15，18，24。 把4个数据分成两组，共有3种情况： 第一种情况：第一组1个数据{15}，离差平方和为0； 第二组3个数据{15，18，24}，平均数是19， 离差平方和为(15－19)2＋(18－19)2＋(24－19)2=42， 故第一种情况的组内离差平方和为0＋42=42； 第二种情况：第一组2个数据{15，15}，平均数是15，离差平方和为0； 第二组2个数据{18，24}，平均数是21，离差平方和为(18－21)2＋(24－21)2=18， 故第二种情况的组内离差平方和为0＋18=18； 第三种情况：第一组3个数据{15，15，18}，平均数是=16，离差平方和为(15－16)2＋(15－16)2＋(18－16)2=6； 第二组1个数据{24}，离差平方和为0， 故第三种情况的组内离差平方和为0＋6=6。 ∵6＜18＜42，∴第三种情况的组内离差平方和最小， ∴将竞赛成绩分成的两组是{15，15，18}，{24}。 【知识技能类作业】 B 2.{A，B} {C，D} 3.解：计算各种分组组内离差平方和如下表： 第1组第2组组内离差 平方和100200，300，400， 500，600100 000100，200300，400，500，60055 000100，200，300400，500，60040 000100，200，300，400500，60055 000100，200，300，400，500600100 000
故最小组内离差平方和为 40 000，对应分组：{100，200，300} 和 {400，500，600}。
教学反思 能熟练计算多组数据的组内离差平方和，有序列举多个数据（10个）的分组情况，理解组内、组间离差平方和与总离差平方和的关系，能解决简单的实际迁移问题。能自主设计分组方案，探究更复杂数据的分组方法，尝试运用计算机软件计算离差平方和，能结合实际问题，分析分组结果的合理性，提出优化建议。
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