3.3.2 离差平方和与方差（2） 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
第三章 数据分析初步
3.3.2 离差平方和与方差（2）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
01
02
1.理解数据分组的核心原则（组内离差平方和最小、组间差异最大），明确组内离差平方和、组间离差平方和与总离差平方和的关系。
2.能根据给定的数据（5个或10个），有序列举不同的分组情况，计算各组的组内离差平方和，找到最优分组方案。
3.能运用数据分组的方法，解决简单的实际问题（如学生成绩分组、数据分类等），初步具备数据分析和应用能力。
02
新知导入
某校运动队有 5 名同学准备参加跳高比赛，他们的跳高最好成绩如下：
表 3-7 某校运动队 5 名同学跳高最好成绩统计表
队员编号 1 2 3 4 5
成绩 /m 1.58 1.75 1.63 1.65 1.78
为了让队员能更有效地进行赛前训练，教练计划将 5 名同学按他们的跳高成绩的高低分成两组。怎样分组比较合理？
新课探究
将 5 名队员的跳高成绩按从小到大排列：1.58, 1.63, 1.65, 1.75, 1.78。将这些数据表示在数轴上，如图 3-4。
显然，应把相对集中的数据分在一组，例如，分成 {1.58, 1.63, 1.65}, {1.75, 1.78} 两组。

新课探究
第 1 组数据 第 2 组数据 D12+D12
1 个数据: 1.58 4 个数据: 1.63, 1.65, 1.75, 1.78 0.016275
2 个数据: 1.58, 1.63 3 个数据: 1.65, 1.75, 1.78 0.010517
3 个数据: 1.58, 1.63, 1.65 2 个数据: 1.75, 1.78 0.00305
4 个数据: 1.58, 1.63, 1.65, 1.75 1 个数据: 1.78 0.015275
5名队员的跳高成绩分成 2 组，共有 4 种情况，设各组内的离差平方和分别为D12，D22，计算D12+D22。见表 3-8。
可以发现，将数据分成 {1.58, 1.63, 1.65}, {1.75, 1.78} 两组时，D12+D22最小。所以将队员分成 {队员 1, 队员 3, 队员 4}, {队员 2, 队员 5} 两组，组内同学的跳高水平最接近。
新课探究
一般地，设有n个数据x1 ,x2 ,x3 ,…,xn ，它们的平均数为 ，离差平方和为D2。如果把这些数据分为两组，第 1 组有k1 个数据，平均数为 ，离差平方和为D12 ；第 2 组有k2 个数据，平均数为 ，离差平方和为D22 ，其中k1 +k2 =n。通过计算可以得到以下等式（证明略）：
提炼概念
新课探究
通常称（D12+D22）为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称 为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异。一个合理的分组原则是使D12+D22最小，同时使 最大。由于总离差平方和D2不变，所以只需考虑D12+D22最小即可。
在大数据分析中，数据分组是重要的方法之一。数据分组方法有许多种，其中使得 “组内离差平方和最小” 的方法最为常见。
新课探究
例2
国家有关部门根据各地的人均耕地面积数据，进行分类研究，制定切合各地实际的政策。带着这个问题，统计学兴趣小组的同学收集了我国10个地区的人均耕地面积数据，如表 3-9。
表 3-9 我国 10 个地区人均耕地面积统计表
地区 人均耕地面积 / 千平方米
黑龙江 4.2
新疆 2.3
江苏 0.6
安徽 0.6
福建 0.3
上海 0.1
内蒙古 3.2
吉林 1.8
广东 0.2
甘肃 2
新课探究
注意：离差平方和的计算量比较大，我们可以借助计算机软件或者自己设计算法、编写程序来解决。
如果将这 10 个地区分成两组，尽可能使组内各地区的人均耕地面积接近、不同组地区的人均耕地面积差异较大，应如何分组？
解：将这 10 个地区的人均耕地面积从小到大排列，依次为 0.1, 0.2, 0.3, 0.6, 0.6, 1.8, 2.0, 2.3, 3.2, 4.2。将这些数据分成两组，有以下 9 种情况，分别计算各种情况的组内离差平方和，得到表 3-10：
新课探究
表 3-10
组序 第 1 组数据 第 2 组数据 组内离差平方和
1 0.1 0.2, 0.3, 0.6, 0.6, 1.8, 2.0, 2.3, 3.2, 4.2 15.58889
2 0.1, 0.2 0.3, 0.6, 0.6, 1.8, 2.0, 2.3, 3.2, 4.2 13.1
3 0.1, 0.2, 0.3 0.6, 0.6, 1.8, 2.0, 2.3, 3.2, 4.2 10.28
4 0.1, 0.2, 0.3, 0.6 0.6, 1.8, 2.0, 2.3, 3.2, 4.2 7.775
5 0.1, 0.2, 0.3, 0.6, 0.6 1.8, 2.0, 2.3, 3.2, 4.2 4.172
6 0.1, 0.2, 0.3, 0.6, 0.6, 1.8 2.0, 2.3, 3.2, 4.2 4.8875
7 0.1, 0.2, 0.3, 0.6, 0.6, 1.8, 2.0 2.3, 3.2, 4.2 5.42667
8 0.1, 0.2, 0.3, 0.6, 0.6, 1.8, 2.0, 2.3 3.2, 4.2 6.08875
9 0.1, 0.2, 0.3, 0.6, 0.6, 1.8, 2.0, 2.3, 3.2 4.2 9.94
03
新知讲解
计算结果表明，将数据分成 {0.1, 0.2, 0.3, 0.6, 0.6} 和 {1.8, 2.0, 2.3, 3.2, 4.2} 两组时，组内离差平方和最小，即组内人均耕地面积数据波动最小，两组之间数据差异最大。所以将上海、广东、福建、江苏、安徽分在一组，其余地区分在另一组比较合理。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.将排序后的数据分为两组，下列关于计算组内离差平方和的说法正确的是(　)
A.计算第一组的离差平方和即可
B.应计算两组离差平方和的总和
C.仅计算最大值与最小值的差
D.应计算两组离差平方和的平均数
B　
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
2.把5个数据－1，3，1，5，4分成{－1，1}和{3，4，5}两组，则这种分组情况的组内离差平方和为　　。
4
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
3.甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩(单位：分)如下：15，18，15，24，按照“组内离差平方和最小”的原则，将竞赛成绩分成两组。
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
3.解：将4个数据从小到大排序：15，15，18，24。
把4个数据分成两组，共有3种情况：
第一种情况：第一组1个数据{15}，离差平方和为0；
第二组3个数据{15，18，24}，平均数是19，
离差平方和为(15－19)2＋(18－19)2＋(24－19)2=42，
故第一种情况的组内离差平方和为0＋42=42；
第二种情况：第一组2个数据{15，15}，平均数是15，离差平方和为0；
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
第二组2个数据{18，24}，平均数是21，离差平方和为(18－21)2＋(24－21)2=18，故第二种情况的组内离差平方和为0＋18=18；
第三种情况：第一组3个数据{15，15，18}，平均数是=16，离差平方和为(15－16)2＋(15－16)2＋(18－16)2=6；
第二组1个数据{24}，离差平方和为0，
故第三种情况的组内离差平方和为0＋6=6。
∵6＜18＜42，∴第三种情况的组内离差平方和最小，
∴将竞赛成绩分成的两组是{15，15，18}，{24}。
05
课堂小结
1.容易混淆“组内离差平方和”“组间离差平方和”“总离差平方和”的概念，难以理解三者之间的关系，无法解释“为什么组内离差平方和最小就是最优分组”。
2.分组无序：面对多个数据时，无法有序列举所有分组情况，容易遗漏或重复，导致无法找到最优分组方案。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是(　)
A.{2}，{4，8，10，12} B.{2，4}，{8，10，12}
C.{2，4，8}，{10，12} D.{2，4，8，10}，{12}
B　
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
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2.假设 4 个城市的人均用水量(单位：吨)为：城市A：8，城市B：10，城市C：12，城市D：15。根据组内离差平方和最小原则，把这 4 个城市分成两组，那么分组为　　和　　。
{A，B}
{C，D}
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
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3.假设6家企业的年产值(单位：万元)分别为100，200，300，400，500，600。根据年产值的组内离差平方和最小原则，把这6家企业分成两组。
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：计算各种分组组内离差平方和如下表：
第1组 第2组 组内离差平方和
100 200，300，400，500，600 100000
100，200 300，400，500，600 55000
100，200，300 400，500，600 40000
100，200，300，400 500，600 55000
100，200，300，400，500 600 100000
故最小组内离差平方和为 40000，对应分组：{100，200，300} 和 {400，500，600}。
Thanks!
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