2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章 二次根式 单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列根式是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
2．使有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．全体实数
3．已知，，则的值为（ ）．
A． B．5 C． D．
4．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若成立，则（ ）
A． B．
C． D．为任意实数
6．下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知，，为的三条边，化简（）
A． B．0 C． D．
9．观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（ ）
A． B． C． D．
10．二次根式除法可以这样做：如果．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：
①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以；
②若a是的小数部分，则的值为；
③比较两个二次根式的大小：；
④计算；
⑤若，，且，则整数．
以上结论正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为 ．
12．已知有理数，满足，则的值为 ．
13．已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ．
14．在根式，，，，，，中，最简二次根式有 个．
15．已知，，若都是实数，且，为正整数，且，，则 ．
16．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，被誉为流淌在刀尖上的舞蹈．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．张萌现用一张长方形彩纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案．若长方形彩纸的长为，宽为，且长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，则正方形彩纸的面积为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
18．先化简，再求值：，其中
19．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题：
(1)已知，则的值为______；
(2)若x，y为实数，且，求的值．
20．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米．
(1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号）
(2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号）
21．观察下列一组等式，解答后面的问题：
，
．
(1)化简：_______，______（n为正整数）
(2)比较大小：_______（填“”，“”或“”）
(3)请根据上面的结论，找规律，计算下列算式的结果：．
22．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，例如：，等．
【猜想】（1） ；
【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明．
23．自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求式子中实数的取值范围”，她告诉刘敏：“你把题目抄错了，不是‘’，而是‘’，”刘敏说：“哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正和都在根号内．”刘敏说得对吗？也就是说，按照解题和按照解题的结果一样吗？
24．阅读材料，解答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们可以将其进一步化简：
；；
．
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
还可以用另一种方法化简：
．
(1)化简：．
(2)比较与的大小．(共7张PPT)
浙教版2024 八年级下册
第一章 二次根式
单元测试·冲刺卷分析
一、试题难度
整体难度：中等
难度 题数
容易 1
较易 5
适中 16
较难 2
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 求二次根式中的参数
2 0.85 二次根式有意义的条件；求一元一次不等式的解集
3 0.65 复合二次根式的化简；分式化简求值
4 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
5 0.65 二次根式有意义的条件；二次根式的乘法
6 0.65 最简二次根式的判断；化为最简二次根式
7 0.65 最简二次根式的判断
8 0.65 三角形三边关系的应用；利用二次根式的性质化简；带有字母的绝对值化简问题；整式的加减运算
9 0.65 求二次根式的值；数字类规律探索
10 0.64 无理数整数部分的有关计算；分母有理化；比较二次根式的大小
三、知识点分布
二、填空题 11 0.75 求二次根式中的参数
12 0.65 二次根式有意义的条件；利用算术平方根的非负性解题；已知字母的值 ，求代数式的值
13 0.65 已知最简二次根式求参数
14 0.65 最简二次根式的判断
15 0.65 无理数整数部分的有关计算；已知条件式，化简求值
16 0.55 二次根式的乘除混合运算
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算；二次根式的混合运算
18 0.85 分式化简求值；利用二次根式的性质化简
19 0.75 二次根式有意义的条件；利用算术平方根的非负性解题
20 0.65 二次根式的应用
21 0.65 二次根式的加减运算；分母有理化；比较二次根式的大小
22 0.65 利用二次根式的性质化简
23 0.65 利用二次根式的性质化简
24 0.4 分母有理化2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章 二次根式 单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C A D B D C D
1．C
本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子是二次根式．
根据二次根式的定义判断作答即可．
解：由题意知，，，不是二次根式，是二次根式，
∴A、B、D不符合要求；C符合要求；
故选：C．
2．B
本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此求解即可．
解：∵式子有意义，
∴，
∴，
故选：B．
3．C
本题考查了二次根式的化简求值，分式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
由，，判断，，化简原式再代入计算即可得解．
解：，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
4．C
本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则进行判断即可，正确根据运算法则进行计算是解题的关键．
解：A、与不能合并，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：C．
5．A
本题考查了二次根式的乘法，二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件可得，再解一元一次不等式组即可得出答案．
解：∵二次根式中的被开方数是非负数，
∴
解得：
当 时，左边 右边
∴ 等式成立的条件是 ，
故选：A．
6．D
本题主要考查了最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义，需满足被开方数不含能开方的因数．
解：．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
．无平方数因子（除外），无法进一步化简，是最简二次根式，故该选项符合题意；
故选：D．
7．B
最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐一判断每个二次根式是否为最简二次根式．
解：根据最简二次根式的定义分析各根式：
①： ，被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意；
②：被开方数不含分母，且和都不能开得尽方，符合最简二次根式的条件，符合题意；
③：被开方数不含分母，且无法分解出能开得尽方的因式，符合最简二次根式的条件，符合题意；
④：被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意．
综上，是最简二次根式的有②③，共个．
故选：B．
本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个核心条件，逐一分析被开方数的形式．
8．D
本题考查三角形的三边关系和绝对值的性质，二次根式的性质．利用三角形两边之和大于第三边，判断绝对值内的符号，进而化简代数式．
解：，，为的三条边，
，（三角形两边之和大于第三边），
，，
，
，
原式．
故选：．
9．C
本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键．
解：∵，，，，，，，
∴第个数为，
∴第10个数是，
故选C．
10．D
①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化；
②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简；
③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小；
④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值；
⑤与y可以利用分母有理化化简，可得出x与y互为倒数，故，然后观察方程特点，求得n的值．
解：，故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确；
∵a是的小数部分，
∴，
∴，故②错误；
∵，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵
，故④正确；
⑤∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
∵，
∴，
即，
解得，故⑤正确．
故选：D．
本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化，解决二次根式的化简、比较大小和运算的问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
11．1
本题主要考查二次根式的运算．根据题意可得是完全平方数，即可求解．
解：∵是整数，
∴是完全平方数，
∴满足条件的最小正整数的值为1，此时，满足条件．
故答案为：1
12．8
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数必须是非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件，从而确定的值，再代入原式求，最后计算的值．
解：由题意，和均有意义，则被开方数且，
解得且，
所以．
代入原式，．
则．
故答案为：．
13．68
根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可．
∵A，B为最简二次根式，且，
∴，
解得，
∴，，，
∴，
解得，
∴．
故答案为：68．
本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键．
14．3
本题考查了最简二次根式的定义，直接利用最简二次根式的定义判断得出结论即可，解题的关键是掌握在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
解：，，为最简二次根式，有3个，
故答案为：．
15．
本题主要考查了二次根式的化简求值，无理数的估算，设，，根据完全平方公式可求出的值，进而求出的值，再根据条件确定、、、的值，最后计算的值即可．
解：设，
∴
，
∵为正整数，且，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，
∴
，
∵为正整数且，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，．
∴．
∴
，
故答案为：．
16．
本题主要考查了二次根式的乘除运算的应用，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解决此题的关键．先算出长方形彩纸的面积，再由长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，进行计算即可得解．
解：∵长方形彩纸的长为，宽为，
∴长方形彩纸的面积为，
∵长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，
∴正方形彩纸的面积为．
故答案为： ．
17．(1)
(2)
(3)
（1）利用平方差公式计算前半部分，再计算二次根式乘法，最后合并即可；
（2）先展开完全平方公式，再化简绝对值，最后合并；
（3）用平方差公式计算前半部分，展开完全平方公式计算后半部分，再合并．
解：（1）原式
．
（2）原式
．
（3）原式
．
本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式及绝对值的化简，解题关键是熟练运用公式简化计算，准确处理绝对值与二次根式的运算．
18．
本题考查了分式化简求值，先运算除法以及通分括号内，最后运算减法，得，再把代入进行计算，即可作答．
解：
，
把代入，得．
19．(1)
(2)7或3
本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件，绝对值的非负性求得a，b的值，然后代入中计算即可；
（2）根据二次根式有意义的条件求得x，y的值后代入中计算即可．
（1）解：，
∴，，
解得：，，
那么，
故答案为：；
（2）解：由题意可得，，
则，
那么，
则或，
那么或，
即的值是7或3．
20．(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米
(2)购买装饰画大约需要花费元
本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键．
（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可；
（2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求．
（1）解：由题得，
（米），
答：该长方形的文化长廊区域的周长为米；
（2）解：由题意得，其余区域的面积为
平方米，
∴总花费为元，
答：购买装饰画大约需要花费元．
21．(1)；
(2)
(3)
本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算，正确理解题意并掌握分母有理化的方法是解题的关键．
（1）根据分母有理化的方法求解即可；
（2）根据（1）所求可得，，再由可得答案；
（3）根据（1）所求可得，据此把所求式子裂项分母有理化后计算求解即可．
（1）解：；
；
（2）解：由（1）可得，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴
．
22．（1）；（2），见解析
本题主要考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）根据给出的等式，进行作答即可；
（2）根据给定的等式，得到规律，根据二次根式的性质化简证明即可．
解：（1）；
故答案为：；
（2），证明如下：
．
23．刘敏说得不对，结果不一样．
将两个式子分别计算比较最后结果是否相同即可；
本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键．
解：按照解题，
则，且，
即，或，，
解得或．
按照解题，
则，，
解得．
故刘敏说得不对，结果不一样．
24．(1)
(2)
（1）可采用分母有理化的方法，利用平方差公式，消去分母中的根号；也可以将分子变形为平方差的形式，再约分；
（2）先对两个式子分别进行有理化变形，转化为分子为的分数形式，再通过比较分母的大小来判断分数的大小．
（1）解：方法一：分母有理化
．
方法二：平方差变形
．
（2）解：，．
，
．
本题考查了二次根式的分母有理化和实数的大小比较，解题关键是掌握分母有理化的两种常用方法（平方差公式变形、分子分母同乘有理化因式），以及利用倒数法比较两个根式差的大小．
