2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章 二次根式 单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知是正整数，则整数的最大值为（ ）
A．2025 B．2024 C．2 D．1
2．是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（ ）
A．1 B． C． D．5
3．式子成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，那么可化简为（ ）
A． B． C． D．
6．下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（ ）
A． B．0 C． D．
8．下列各式是二次根式的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知为实数，且满足，下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若二次根式的值为0，则的值为 ．
12．若为实数，且，则的值为 ．
13．若，，则代数式的值为 ．
14．下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是 （填序号）．
15．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为现已知的三边长为2，3，，则利用公式求得的面积是 ．
16．如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度（单位：）随时间（单位：）变化的图象，其中点为曲线部分的最低点．则图2中的值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)．
(2)．
18．已知，求的值．
19．已知 ，．
(1)求的值；
(2)求的值．
20．老师在黑板上写了如下几个函数：
①；②；③；④．
(1)在①～④的函数中，自变量的取值范围是任意实数的是______（填序号）；
(2)去掉（1）中所填的函数后，请写出其他函数自变量的取值范围．
21．小宇计算时，想起了分配律，于是他按分配律写出了下面的计算过程：
解：原式．
他的解法正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程．
22．（1）已知x、y为实数，且，求的值；
（2）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简：．
23．【观察】，，，……
【归纳】（1）若n为自然数，且，将上述规律用含n的式子表达出来；
【推理】（2）对（1）中的结论进行证明．
24．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式．
思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章 二次根式 单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C A C B D C A C
1．B
本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．
由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数．
解：
要使是正整数，
即当时，．
故整数的最大值为2024．
故选：B．
2．A
本题考查了同类二次根式的概念，掌握二次根式的化简及计算是解题的关键．
由同类二次根式的定义，需化简后被开方数相同，由此可得到关于的方程，解方程即可．
解：∵，且与是同类二次根式，
∴ 化简后被开方数也为，
又∵是最简二次根式，
∴，
解得：.
故选：A．
3．C
本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”，列不等式求解即可．
解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，
∴要使成立，需满足，
∴解得．
故选：C．
4．A
本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键．
先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可．
解：；
同理，，．
∵，
∴．
故选：A．
5．C
本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键．
根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可．
解：，，
，
原式，
故选：C．
6．B
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一判断各选项.
解：∵ ① ，被开方数为质数，无平方因数，是最简二次根式；
② ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
③ ，含平方因数，不是最简二次根式；
④ ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
⑤ ，对于实数，且无法分解为完全平方与整数的乘积，无平方因数，是最简二次根式．
∴ 最简二次根式有①和⑤，共个.
故选：B．
7．D
此题主要考查了三角形三边关系、二次根式以及绝对值的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
先根据化简二次根式，然后利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内的正负，从而化简表达式．
解：∵ 是 的三边，
∴ ，即 ，
∴ .
又 ∵，即，
∴.
∴ 原式
.
故选：D．
8．C
本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案．
解：二次根式有（1），（3），
故选：C．
9．A
本题主要考查了二次根式的应用，关键在于审清题意，看懂图形，找到各部分面积的关系．先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论．
因为重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长的和减去大正方形的边长，所以重叠部分也是正方形．
因为三个小正方形的面积分别为，
所以三个小正方形的边长分别为：，，．
由图知大正方形的边长为：，
所以．
故选：A．
10．C
本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，正确掌握非负性的性质得到a、b的值是解题的关键．
先根据，得出，再逐项分析，即可作答．
解：∵，且，
∴，
解得，
A．∵，∴，此时算式无意义，故不正确；
B．∵，∴，，故不正确；
C．∵，∴，故正确；
D．∵，∴，∴无意义，故不正确；
故选：C．
11．3
本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的值为时，被开方数必须为的条件是解题的关键．
根据二次根式的性质，当二次根式的值为时，被开方数必须为．
解：∵二次根式 的值为，
∴被开方数 ，
解得
故答案为：．
12．
本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件求出值是解决问题的关键．
根据二次根式的被开方数非负，求出，再代入求出，最后代入代数式计算即可得到答案．
解：中，，
，
解得，
则，
，
故答案为：．
13．31
本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的逆用及整体代入法，由已知条件，先计算a与b的和与积，再利用代数恒等变形求值．
解：∵，，
∴，，
则，
代入得：．
故答案为：31．
14．②⑤
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式．
解：①的被开方数为分数，不是整数，不是最简二次根式；
②的被开方数为质数，且分母无根号，是最简二次根式；
③的被开方数含完全平方因式，不是最简二次根式；
④的被开方数含完全平方因数，不是最简二次根式；
⑤的被开方数为质数，是最简二次根式．
故答案为：②⑤．
15．
根据面积公式代入计算即可．
本题考查了代数式的值，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
解：的三边长为2，3，，三角形的面积为，
的面积是
，
故答案为：
16．
本题考查动点的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，二次根式，根据图象可知，，当点在上，且时，，勾股定理求出的长，三线合一，求出的长，求出三角形的周长，再除以点的移动速度，进行求解即可．
解：由图象可知，当时，点与点重合，
∴，
当点在上，且时，最小，对应图象上的点，此时，
在中，，
∵，，
∴，
∴的周长为：，
∴；
故答案为：．
17．(1)
(2)1
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握混合运算的法则是解题的关键；
（1）（2）先计算乘方再计算乘除最后计算加减得出结果．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．6
本题主要考查了二次根式有意义的条件，实数的运算，求不等式组的解集，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0求出b的值，进而求出a的值，再代值计算即可得到答案．
解：∵式子有意义，
∴，
，
，
原式．
19．(1)
(2)1
本题考查二次根式的运算，分母有理化和代数式的化简是解题的关键．
（1）首先将，进行分母有理化，再计算即可；
（2）首先对该分式进行化简，最后将，的值代入即可．
（1）解：化简，
，
故．
（2）解：原式
将，代入上式得．
故
20．(1)②④
(2)①；③
本题主要考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
（1）根据分式的意义以及二次根式的性质可得自变量的范围，即可求解；
（2） 函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．列式计算即可得解．
（1）解：①中，；③中，，不合题意，
②；④的函数表达式为整式，自变量可取全体实数，
故答案为：②④．
（2）解：①有意义 ，则，
；
③有意义 ，则，
．
21．他的解法不正确，错在运算除法使用了分配律．正确过程见解析
本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
他的解法不正确，错在运算除法使用了分配律，先算出括号里的式子，再算除法，由此即可求解．
解：他的解法不正确，错在运算除法使用了分配律．
正确的解答过程如下：
原式
．
22．（1）5；（2）
此题考查二次根式的化简求值，实数与数轴，整式的加减运算，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据题意得出，确定，得出，然后代入求解即可；
（2）根据数轴上实数a，b，c的位置，得到，，得出，，再化简计算即可．
解：（1）根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）根据题意得：，，
∴，，
．
23．（1）；（2）见解析．
本题考查了二次根式的性质的应用，解此题的关键是能根据已知得出规律．
（1）根据已知的等式即可写出第n个式子；
（2）根据二次根式的运算法则进行验证．
解：（1）根据已知等式可得．
（2）等式左边．
∵，
∴等式右边．
∴，
24．能，
本题考查了二次根式的实际应用，解题的关键是正确代入公式并计算．
将题目中的已知量代入到公式中计算即可．
解：，，，
，
故这块菜地的面积约为．(共7张PPT)
浙教版2024 八年级下册
第一章 二次根式
单元测试·过关卷分析
一、试题难度
整体难度：较易
难度 题数
容易 2
较易 6
适中 16
较难 0
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 求一个数的算术平方根；求二次根式中的参数
2 0.85 化为最简二次根式；已知最简二次根式求参数
3 0.75 二次根式有意义的条件
4 0.65 分母有理化；比较二次根式的大小
5 0.65 二次根式有意义的条件；利用二次根式的性质化简；二次根式的乘除混合运算
6 0.65 最简二次根式的判断
7 0.65 三角形三边关系的应用；利用二次根式的性质化简；带有字母的绝对值化简问题
8 0.65 求二次根式的值
9 0.65 二次根式的应用
10 0.64 二次根式有意义的条件；利用算术平方根的非负性解题；二次根式的乘法；二次根式的除法
三、知识点分布
二、填空题 11 0.94 求二次根式中的参数
12 0.85 二次根式有意义的条件；已知字母的值 ，求代数式的值
13 0.65 二次根式的混合运算；已知字母的值 ，求代数式的值；运用完全平方公式进行运算
14 0.85 最简二次根式的判断
15 0.65 二次根式的应用；已知字母的值 ，求代数式的值
16 0.64 动点问题的函数图象；三线合一；化为最简二次根式；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 运用完全平方公式进行运算；利用二次根式的性质化简
18 0.75 实数的混合运算；二次根式有意义的条件；求不等式组的解集
19 0.65 利用二次根式的性质化简；已知字母的值，化简求值
20 0.65 求自变量的取值范围；二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
21 0.65 二次根式的混合运算；分母有理化
22 0.65 二次根式有意义的条件；利用算术平方根的非负性解题；利用二次根式的性质化简；实数与数轴
23 0.65 利用二次根式的性质化简；数字类规律探索
24 0.64 二次根式的应用；二次根式的乘法
