2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章 二次根式 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D B D B C C C C
1．B
本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可．
解：A．∵，∴不是二次根式；
B．是二次根式；
C．的根指数是3，不是二次根式；
D．当时，不是二次根式．
故选B．
2．D
本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握同类二次根式，二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式的性质，同类二次根式定义对各选项进行判断即可．
解：A．与是同类二次根式，故选项A不符合题意；
B．，是同类二次根式，故选项B不符合题意；
C．，是同类二次根式，故选项C不符合题意；
D．与不是同类二次根式，故选项D符合题意．
故选：D．
3．D
本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断．
解：
．
故选：D．
4．B
本题考查二次根式的运算，掌握二次根式乘除法运算法则是解题关键．
利用二次根式的加减乘除法则逐一判断即可．
解：A、 ，计算错误，不符合题意；
B、 ，计算正确，符合题意；
C、 ，计算错误，不符合题意；
D、 ，计算错误，不符合题意；
故选：B．
5．D
本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且每个因式的指数都小于2，逐一判断各选项即可．
解： A、==，不是最简，不符合题意；
B、被开方数含有分母，不是最简，不符合题意；
C、==，不是最简，不符合题意；
D、被开方数不含分母且无法分解出平方因子，是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
6．B
根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入代数式计算．
解：要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，则
由，得：．
将代入代数式：
．
故选：B．
本题考查了二次根式有意义的条件（被开方数非负），解题关键是通过的非负性确定的唯一值，再代入计算．
7．C
本题主要考查了二次根式的化简、二次根式有意义的条件、不等式的性质，先根据二次根式有意义的条件以及得到，再将根号内的表达式分解为平方因子和非平方因子，并处理符号问题，得到结果即可．
解：∵二次根式有意义，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故选C．
8．C
本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式．
先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简．
解：∵，
∴．
∴=．
故选：C．
9．C
本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键．
解：∵，
∴与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
故选：．
10．C
根据已知，得到，整体思想带入求值即可．
解：∵，
∴，
∴
．
故选C．
本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．
11．
本题考查了二次根式的非负性，根据，即可求解．
解：∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
12．②⑤
此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．
判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，被开方数相同才能合并；化简 =，被开方数为，再逐一化简各选项，比较被开方数即可．
解：=，被开方数为；
①=，被开方数为，可合并；
②=，被开方数为，不可合并；
③==，被开方数为，可合并；
④，被开方数为，可合并；
⑤=，被开方数为，不可合并．
故答案为：②⑤．
13．2
能合并则说明两者为同类二次根式，再根据同类二次根式的被开方数相同列方程即可．
解：由题意得：，解得：．
所以，
∴．
故答案为2．
本题主要考查同类二次根式的概念，掌握被开方数相同的最简二次根式称是同类二次根式成为解答本题的关键．
14．或3
根据绝对值不等式确定整数的取值范围，再根据算术平方根为整数的条件，逐一验证可能的值．
本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键．
解：由整数满足 得可取．
计算 ：
当 时，，不是整数；
当 时，，是整数；
当 时，，不是整数；
当 时，，不是整数；
当 时，，不是整数；
当 时，，不是整数；
当 时，，是整数．
∴能使 为整数的 的值是和 ；
故答案为：或．
15．1
本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
根据二次根式有意义条件，确定的值，进而求出的值，然后计算的值即可．
解：由二次根式有意义条件，
得
解得，
当时，．
∴．
故答案为：1．
16．
本题考查了裂项相消法的应用，掌握将等式展开后，抵消中间重复的正负项来简化计算是解题的关键．
先写出前 10 个等式的具体展开形式，再通过裂项相消，计算最终的和．
解： 第1个等式：
第2个等式：
……
第9个等式：
第10个等式：
故答案为：．
17．
（1）
（2）或
本题考查求二次根式的性质化简，化简绝对值，运用平方根解方程，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
（1）先计算各部分，再进行加减计算即可；
（2）对原方程进行整理，利用平方根的定义解方程即可．
（1）解：
（2）解：
∴，
∴，
∴或
∴或
18．(1)
(2)
本题主要考查二次根式加减乘除混合运算，掌握二次根式混合运算顺序和法则是解题的关键．
（1）运用二次根式的乘除法法则进行计算即可；
（2）先运用二次根式的乘除法法则化简，然后再按照二次根式的加减法则进行计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
19．(1)绿地的周长约为42米
(2)8000元
本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．
（1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可；
（2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论．
（1）解：绿地的周长：
（米）．
∴绿地的周长约为42米；
（2）解：
（平方米）．
∴购买地砖的花费为（元）．
20．(1)
(2)，见解析
本题考查了规律探索，完全平方公式，二次根式的性质，理解题意从中获取相关信息是解题的关键．
（1）观察规律得出结果即可；
（2）观察规律得出，利用完全平方公式推理即可．
（1）解：由题意可得第8个为：，
故答案为：；
（2）解：第个等式为：，
证明：．
21．(1)；
(2)该摆钟的摆长为
本题考查二次根式的化简和利用二次根式的性质求解．
（1）将代入计算求出T，即可得解；
（2）令求出l即可．
（1）解：将代入得：，
答：它摆动一个周期的时间是；
（2）令，即，
解得：．
答：该摆钟的摆长为．
22．(1)
(2)
本题主要考查了二次根式有意义的条件，完全平方公式，绝对值的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式是解题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件可求出的值，从而得到的值，即可求解；
（2）根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，再根据完全平方公式的变形，即可求解．
（1）解：由题意得：，
解得：，
，
，
；
（2）解：由题意得：，
解得：，
，
，
，
．
23．(1)证明见解析
(2)是，理由见解析
（1）设正方形的边长为，根据折叠可知，由勾股定理可得，易得出的值，再求的值即可判断；
（2）先表示的长，再求出的值，即可判断．
（1）证明：根据第一步，可知四边形是正方形，设正方形的边长为．
根据第二步，可知．
在中，根据勾股定理，得．
根据第三步，可知，
．
，
矩形是黄金矩形．
（2）是．
理由如下：，
，
矩形是黄金矩形．
本题考查了黄金矩形，准确理解图中的折叠以及黄金矩形的定义是解决本题的关键．
24．(1)10
(2)
(3)
本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，二次根式的混合运算，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．
（1）连接，根据两点之间线段最短，得到的最小值为的长，作，在中，利用勾股定理进行求解即可；
（2）仿照题干方法，将代数式的最小值转化为两条线段和最小的问题，利用勾股定理进行求解即可；
（3）根据，得到，进而将转化为，类比题干方法进行求解即可．
（1）解：连接，作，由题意，得，
∴，
在中，由勾股定理，得；
故的最小值为10；
（2）解：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，．
连接，作，则，，
∴，
在中，由勾股定理，得；
故的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴，
如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，．
连接，作，则，，
∴，
在中，由勾股定理，得；
故的最小值为．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章 二次根式 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，不是同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．计算：的结果是（ ）
A． B． C．40 D．7
4．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知为实数，则代数式的值为（ ）
A．0 B． C． D．无法确定
7．若，把化成最简二次根式为（ ）．
A． B． C． D．
8．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若，则 ．
12．下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是 （填序号）．
13．若最简二次根式和可以合并，则的值为 ．
14．若整数满足，则能使为整数的的值是 ．
15．已知，是实数，且满足，则的值为 ．
16．观察下列等式：
，，…，则前10个等式的和是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．（1）计算：
（2）解方程：
18．计算：
(1)；
(2)
19．居民小区有块矩形绿地，绿地的长为米，宽为米．要在绿地内修建一个矩形小花坛（阴影部分），花坛的长为（）米，宽为（）米．
(1)求绿地的周长；（参考数值：，，结果精确到1米）
(2)除去修建花坛的地方，绿地的其余地方修建成通道．若通道要铺设造价为80元/米的地砖，铺设地砖需要花费多少元？
20．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请写出第8个等式：___________；
(2)请写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
21．摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察摆钟发现：摆球摆动的快慢与摆长有关系．他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：，其中表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），，是圆周率．（取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到，参考数据：，）
(1)若一个摆钟的摆线长为，它摆动一个周期的时间是多少？
(2)一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为，求该摆钟的摆线长．
22．问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法．
例：已知，求的值
解：由，得
(1)尝试应用：若x，y为实数，且，化简：；
(2)拓展创新：已知，求的值．
23．数学活动——黄金矩形．宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．下面我们折叠出一个黄金矩形：
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；
第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处；
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出，矩形（图4）就是黄金矩形．
(1)求证：矩形是黄金矩形．
(2)请判断图4中矩形是不是黄金矩形，并说明理由．
24．为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值．
(1)我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得，的最小值等于________；
(2)请你根据上述方法，试构图求出代数式的最小值．
(3)若，为正实数，且．求的最小值．(共7张PPT)
浙教版2024 八年级下册
第一章 二次根式
单元测试·培优卷分析
一、试题难度
整体难度：难
难度 题数
容易 1
较易 7
适中 13
较难 3
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 求二次根式中的参数
2 0.85 复合二次根式的化简；同类二次根式
3 0.75 二次根式的乘除混合运算
4 0.75 二次根式的乘法；二次根式的除法；二次根式的加减运算
5 0.65 最简二次根式的判断
6 0.65 二次根式有意义的条件
7 0.65 二次根式有意义的条件；不等式的性质；化为最简二次根式
8 0.65 利用二次根式的性质化简
9 0.65 求二次根式的值；相反数的定义；立方根概念理解
10 0.4 完全平方公式分解因式；已知字母的值，化简求值
三、知识点分布
二、填空题 11 0.75 求二次根式中的参数
12 0.65 化为最简二次根式；同类二次根式
13 0.65 已知最简二次根式求参数
14 0.65 利用二次根式的性质化简
15 0.65 二次根式有意义的条件；已知字母的值 ，求代数式的值
16 0.4 二次根式的应用；二次根式的乘除混合运算；数字类规律探索
三、知识点分布
三、解答题 17 0.75 实数的混合运算；利用二次根式的性质化简；求一个数的绝对值；利用平方根解方程
18 0.65 二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
19 0.65 平方差公式与几何图形；二次根式的应用；二次根式的乘法；二次根式的加减运算
20 0.65 利用二次根式的性质化简；数字类规律探索；运用完全平方公式进行运算
21 0.65 利用二次根式的性质化简
22 0.65 二次根式有意义的条件；通过对完全平方公式变形求值
23 0.65 二次根式的乘除混合运算；矩形与折叠问题；用勾股定理解三角形
24 0.4 用勾股定理构造图形解决问题；二次根式的混合运算
