2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章 二次根式 单元测试·真题重组卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．2
3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·月考）二次根式中，字母a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年级下·浙江台州·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若二次根式有意义，则字母的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（22-23八年级下·浙江·月考）已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25八年级下·浙江金华·月考）如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．（24-25八年级下·浙江金华·期末）当时，二次根式的值为 ．
12．（24-25八年级下·浙江金华·月考）若二次根式有意义，则的取值范围是
13．（24-25八年级下·浙江金华·期中）已知，则计算 ．
14．（24-25八年级下·浙江金华·月考）设，其中为正整数，则的值为 ．
15．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）观察下列各式：
，
，
，
．．．
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为 ．
16．（24-25八年级下·浙江嘉兴·月考）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为：
，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，又因为，所以．
（1）已知：，则的值是 ；
（2）计算：
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．（23-24八年级下·浙江金华·期中）（1）若实数满足等式，求的值；
（2）已知，求的平方根．
18．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如：因为，所以与互为有理化因式．
(1)判断与是不是有理化因式，并说明理由；
(2)请直接写出的有理化因式；
(3)请比较与的大小．
19．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：①要使二次根式有意义，则需，解得：；
②化简：
(1)利用①中的提示，请解答：如果，求的值；
(2)利用②中的结论，计算：
20．（24-25八年级下·浙江金华·期中）【阅读理解】爱思考的小明同学在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，，
，即，
，
．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： ；
(2)计算： ；
(3)若，求的值．
21．（24-25八年级下·浙江台州·期中）观察下列等式，并回答问题：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
(1)请直接写出第5个等式_______；
(2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明；
(3)计算：．
22．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
(1)求长方形的周长．
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
23．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时．
【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他．
（1）函数的最大值为________．
（2）求函数的最小值，并写出取最小值时x的值．
【猜想提升】小明由上述的提出猜想：（当且仅当时取到等号）．
通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题．
（3）设a，b，c是非负实数，求的最小值．
24．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）阅读下列材料，解答后面的问题：
在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：
①要使二次根式有意义，则需，解得：；
②化简：，则需计算，
而
，
所以
(1)根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围；
(2)利用①中的提示，请解答：如果，求的值；
(3)利用②中的结论，计算：(共7张PPT)
浙教版2024 八年级下册
第一章 二次根式
单元测试·真题重组卷分析
一、试题难度
整体难度：一般
难度 题数
容易 0
较易 7
适中 16
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.85 最简二次根式的判断
2 0.85 求二次根式的值
3 0.75 二次根式有意义的条件
4 0.65 二次根式的识别
5 0.65 二次根式的乘法；二次根式的除法；二次根式的加减运算
6 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的乘法；二次根式的加减运算
7 0.65 最简二次根式的判断；化为最简二次根式
8 0.65 二次根式有意义的条件；求一元一次不等式的解集
9 0.60 完全平方公式分解因式；已知字母的值，化简求值
10 0.55 二次根式的应用；等腰三角形的性质和判定
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 求二次根式的值
12 0.75 二次根式有意义的条件
13 0.65 利用二次根式的性质化简
14 0.65 有理数加减混合运算的应用；利用二次根式的性质化简；数字类规律探索
15 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的混合运算
16 0.65 加减消元法；利用二次根式的性质化简；二次根式的混合运算；分母有理化
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 二次根式有意义的条件；利用算术平方根的非负性解题；求一个数的平方根；求一个数的立方根
18 0.75 二次根式的乘法
19 0.65 二次根式有意义的条件；利用二次根式的性质化简
20 0.65 二次根式的混合运算；分母有理化
21 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的混合运算；运用平方差公式进行运算；数字类规律探索
22 0.65 二次根式的应用；二次根式的加减运算；二次根式的混合运算
23 0.65 通过对完全平方公式变形求值；不等式的性质；利用二次根式的性质化简
24 0.64 二次根式有意义的条件；利用二次根式的性质化简；分式有意义的条件2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章 二次根式 单元测试·真题重组卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D C D C C A C C
1．B
本题考查了最简二次根式的定义，二次根式的化简等知识点，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．
根据最简二次根式的定义：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母，逐一分析各选项即可．
解：A. ，被开方数含分母，需化简为，不是最简二次根式，不符合题意；
B. ，被开方数3无平方因子且不含分母，符合最简二次根式定义，符合题意；
C. ，可化简为整数，不是最简二次根式，不符合题意；
D. ，含平方因子4，可进一步化简，不符合题意；
故选：B．
2．D
本题考查二次根式的定义，把代入求值即可．
解：当时，二次根式，
故选：D．
3．D
本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
解：根据题意得，，
解得：，
故选：D．
4．C
本题考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题的关键．
直接利用二次根式的定义：形如()的代数式，逐一分析即可得出答案．
A、的根指数是3，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、的被开方数为负数，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C、的被开方数7一定大于0，故本选项符合题意；
D、的中的可能小于0，不一定为二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．D
本题考查二次根式的运算性质，需逐一验证各选项的正确性．
解：A．：二次根式加法不能直接合并，，而，显然不相等，故A错误．
B．：根据二次根式乘法法则，，故，而，故B错误．
C．：合并同类项得，而，故C错误．
D．：故D正确，
故选：D
6．C
本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
本题考查二次根式的运算性质，需逐一验证各选项的正确性。
A. ，二次根式加法不能直接合并，错误，故本选项不符合题意；
B. ，系数相减但未保留根号，结果应为，错误，故本选项不符合题意；
C. ，符合二次根式乘法法则，正确，故本选项符合题意；
D. ，算术平方根非负，结果应为而非，错误，故本选项不符合题意；
故选：C。
7．C
本题考查的是二次根式．熟练掌握“最简二次根式的含义”是解本题的关键．
最简二次根式：满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可．
解：A. ，A不是最简二次根式；
B. ，B不是最简二次根式；
C. ，C是最简二次根式；
D. ，D不是最简二次根式．
故选：C．
8．A
本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，即，解此不等式即可确定的取值范围．
解：要使二次根式有意义，需满足被开方数．
解不等式：
两边同时加4，得：
因此，的取值范围是，
故选：A
9．C
根据已知，得到，整体思想带入求值即可．
解：∵，
∴，
∴
．
故选C．
本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．
10．C
本题考查了等腰三角形的判定与性质、二次根式的应用等知识，正确求出长方形纸条的长是解题关键．如图（见解析），先求出能裁剪的纸条的条数为3条，再证出是等腰直角三角形，且，从而可得的长，然后求出长方形纸条的总长度，从而可得的长，最后求出的长，利用正方形的面积公式计算即可得．
解：∵如图②，，，
∴，
∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，
∴能裁剪的纸条的条数为（条），，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
同理可得：另两条纸条的长分别为，，
∴长方形纸条的总长度为，
如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），
∴，，
∴，
∴正方形美术作品的面积为，
故选：C．
11．
本题考查二次根式的求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．利用代入法，代入所求的式子即可．
解：当时，
故答案为：
12．
此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
13．1
本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的非负性成为解题的关键．
由可得，，然后根据二次根式的性质化简即可解答．
解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：1．
14．
本题主要考查了数式规律问题，二次根式的性质，有理数的加减混合运算，将分数裂项，再寻找抵消规律是解题关键．
先求出、、的值，代入原式，利用二次根式和进行化简与计算，即可求解．
解：，，
……
，
．
故答案为：．
15．
先根据所给式子，找到规律，判断出每个式子的值，再整体求和．
本题主要考查探索规律，二次根式的化简等内容，根据给出式子，找到规律是解题关键．
解：由题意可得：
．
故答案为：．
16．
此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键．
（1）仿照例题，列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案．
解：∵，
且，
∴；
∵
∴，
化简后两边同时平方得：，
∴，
经检验：是原方程的解；
故答案为：．
（2）
．
故答案为：．
17．（1）；（2）
本题考查代数式求值，涉及非负式和为零的条件、立方根、二次根式有意义的条件、平方根等知识，熟记相关定义与性质是解决问题的关键．
（1）根据非负式和为零的条件求出实数，代入代数式，根据立方根定义求解即可得到答案；
（2）根据二次根式有意义的条件求出实数，代入代数式，将值代入代数式，根据平方根定义求解即可得到答案．
解：（1），
，解得，
；
（2），
，且，
，则，
，则的平方根是．
18．(1)是有理化因式
(2)或
(3)
本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式比较大小，正确理解题意是解题的关键．
（1）计算出的结果即可得到答案；
（2）可计算出，，据此可得答案；
（3）可证明，由，可得．
（1）解：与是有理化因式，理由如下：
∵，
∴与是有理化因式；
（2）解：∵，
∴的有理化因式为，
∵，
∴的有理化因式为；
（3）解：，
，
∴，
∵，
∴．
19．(1)3；
(2)．
本题考查了二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；探索数与式的规律．解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
（1）根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式组，求解可得a的值，将a的值代入已知等式可得b的值，最后求a与b的和即可；
（2）利用②中的结论直接化简各个二次根式，再根据有理数的加减法法则计算即可．
（1）解：由题意得，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
．
20．(1)
(2)
(3)2
本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键；
（1）仿照题的方法化简即可；
（2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可；
（3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可．
（1）解：；
故答案为：
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴
21．(1)
(2)，证明见详解
(3)1
本题考查了二次根式的混合运算，数字规律，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合已有的式子过程，直接写出第5个等式，即可作答．
（2）根据前5个等式的特征，得出，运用平方差公式进行化简，得即可作答．
（3）结合前面的结论得，则原式，进行计算，即可作答．
（1）解：依题意，第5个等式：，
故答案为：；
（2）解：依题意，第n个等式:．
即第n个等式:，
证明如下：
；
（3）解：由（2）得
∴
．
22．(1)
(2)元
本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
（1）根据长方形的周长计算即可；
（2）用长方形的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可．
（1）解：．
长方形的周长是．
（2）解：
元．
答：购买地砖需要花费元．
23．（1）
（2）8，
（3）2
本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，不等式性质，熟练掌握完全平方公式和基本不等式的性质是解题的关键．
（1）变形得，则有，即可求解．
（2）变形得，则有，，即可求解．
（3）变形得，则有，即，即可求解．
解：（1）∵，
∴，
∴y有最大值；
（2）∵，
∴，
∴y有最小值；
此时，，
得，
（舍去）；
（3）∵，
∵a，b，c是非负实数，
∴，
∴，
∴的最小值为2，
∴的最小值为2．
24．(1)；
(2)；
(3)
（1）根据二次根式的被开方数不能为负数，且分母不能为0，列出不等式组，求解即可；
（2）根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式组，求解可得a的值，将a的值代入已知等式可得b的值，最后求a与b的和即可；
（3）利用②中的结论直接化简各个二次根式，再根据有理数的加减法法则计算即可．
（1）解：由题意得，，
由①得，
由②得，
∴；
（2）解：由题意得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：原式
．
本题考查了分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；探索数与式的规律．解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
