2.3 一元二次方程根与系数的关系 课后培优训练 （含答案） 浙教版2025—2026学年八年级数学下册

2.3一元二次方程根与系数的关系课后培优训练浙教版2025—2026学年八年级数学下册
一、选择题
1．方程的两根之和是（ ）．
A． B． C． D．
2．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设两根为，则的值是（ ）
A．1 B． C．3 D．
3．若，是一元二次方程的两个根，则：的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．3
4．已知是关于的一元二次方程的一个实数解，则该方程的另一个解为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
5．若，是一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．2 D．4
6．若关于x的一元二次方程各项系数满足，则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是（ ）
A．必有两个不相等的实数根 B．当时，有两个相等的实数根
C．当a，c同号时，方程有两个正的实数根 D．当a，b同号时，方程有两个异号实数根
7．一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（ ）
A．17 B．6 C．33 D．26
8．关于的一元二次方程的两个实数根，，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
10．关于的方程的根是均为常数，，则关于的方程的根是 ．
11．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小刚看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程为 ．
12．已知，，且，则 ．
三、解答题
13．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)设，求m的值．
14．已知关于x的一元二次方程．
(1)若，解这个方程；
(2)如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若一元二次方程是“倍根方程”，求m的值．
15．已知关于的方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
16．关于的一元二次方程的两个实数根分别为．
(1)求的取值范围；
(2)若，求和的值．
17．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程的两个实数根为，，且，求的值．
18．【阅读材料】
材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系：
材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．
下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根．
方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根．
根据上述材料解决下面问题：
(1)已知一元二次方程的两根，则___________，___________；
(2)已知实数满足，且，求的值；
(3)已知实数满足，且，求的最大值．
参考答案
一、选择题
1．A
2．A
3．D
4．A
5．D
6．A
7．C
8．C
二、填空题
9．
10．，
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）证明：，
，
，
无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得，，，
，
，即，
解得或．
14．【详解】（1）解：，
∴方程为：
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴不妨设，且，
∵，
∴，，
∴．
15．【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，，
∴，
解得：；
（2）解：∵方程有两个实数根，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
16．【详解】（1）解：∵的两个实数根分别为，
，
即，
；
（2）解：把代入方程得：，
，
由一元二次方程根与系数的关系得：，
，
．
17．【详解】（1） 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴
解得．
（2）解：∵，是方程的两个实数根
∴，
∵
∴
∴或
解得，
∵
∴不符合条件，舍去
∴．
18．【详解】（1）解：由一元二次方程的根与系数的关系可得，，．
故答案为：2，．
（2）解：∵，实数满足，，
∴可看作方程的两根，
∴，
∴原式
∴原式的值为．
（3）解：∵，
∴将看作是方程的两实数根；
∴，且，
∴，
∴，
解得，
∴的最大值为1．