浙教版八下2.3一元二次方程根与系数的关系 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
第2章 一元二次方程
2.3一元二次方程根与系数的关系
（浙教版）八年级
下
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
了解一元二次方程的根与系数的关系。
能运用一元二次方程根与系数的关系求一元二次方程的两根之和、两根之积及与两根有关的代数式的值。
能运用一元二次方程根与系数的关系由一元二次方程的一个根求出另一个根或方程中字母的值。
03
02
新知导入
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
【想一想】方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？
2. 如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0).
b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
03
新知探究
合作学习
先解下列方程，然后计算这些方程的两根之和与两根之积：
(1)x2-12x+11=0 (2)x2-9=0 (3)4x2+20x+25=0
方程 两个根 两根之和 两根之积
x1 x2 x1+x2 x1·x2
x2-12x+11=0
x2-9=0
4x2+20x+25=0
1
11
12
11
3
-3
0
-9
-5
03
新知探究
合作学习
你发现了什么？对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 ，
则
03
新知探究
合作学习
证明：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的两个根为x1，x2
03
新知探究
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0.
03
新知探究
不解方程，求方程两根的和与两根的积：
①x2+3x-1=0 ② 2x2-4x+1=0
解：①
②
原方程可化为：
二次项不是1，可以先把它化为1
练一练
03
新知讲解
例1
设x1，x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两个根，求 x12+x22和的值.
解：有一元二次方程的根与系数的关系，得
∴
∴
在解决上述这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系，我们不
必先求出方程的根，给计算带来方便。
03
新知讲解
例2
已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是，1.写出这个方程.
解 设这个方程为3x2+bx+c=0，由一元二次方程根与系数的关系，得
所以这个一元二次方程是3x2-4x+1=0.
03
新知探究
归纳总结
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
04
课堂练习
基础题
1. 已知x1，x2是方程x2－20x－25＝0的两个实数根，则x1＋x2的值为（　C　）
A. －25 B. －20 C. 20 D. 25
2. 已知关于x的一元二次方程2x2－mx－m＝0的一个根是－ ，则方程的另一个根是（　C　）
A. B. － C. 1 D. －1
C
C
04
课堂练习
基础题
3. 若，，则以, 为根的一元二次方程是( )
A. B.
C. D.
A
4. 已知， 是一元二次方程的两根，且，
,则， 的值分别是( )
D
A. , B. ,
C. , D. ，
04
课堂练习
基础题
（1） ＋ －x1x2；
解：原方程可化为2x2－3x－3＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝ ，x1x2＝－ . ＋ －x1x2＝（x1＋x2）2－3x1x2＝ －3× ＝
（2） ＋ .
解：原方程可化为2x2－3x－3＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝ ，x1x2＝－ . ＋ ＝ ＝ ＝ ＝－
5. 已知x1，x2是方程2x2－3＝3x的两个根，利用根与系数的关系求下面各式的值：
04
课堂练习
提升题
1.若一元二次方程x（x＋2）－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在直角坐标系中位于（　C　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 若关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＝0的两个实数根x1，x2满足x1x2＝2，则（ ＋2）（ ＋2）的值是（　B　）
A. 8 B. 32
C. 8或32 D. 16或40
C
B
04
课堂练习
拓展题
已知关于x的一元二次方程（x－3）（x－2）＝p（p＋1）.
（1） 求证：无论p取何值，此方程总有两个实数根；
解：（1） 原方程可变形为x2－5x＋6－p2－p＝0.因为（－5）2－4×1×（6－p2－p）＝25－24＋4p2＋4p＝4p2＋4p＋1＝（2p＋1）2≥0，所以无论p取何值，此方程总有两个实数根
（2） 若该方程的两个根x1，x2满足 ＋ －x1x2＝3p2＋1，求p的值.
解：（2） 因为该方程的两个根分别为x1，x2，所以x1＋x2＝5，x1x2＝6－p2－p.
又因为 ＋ －x1x2＝3p2＋1，所以（x1＋x2）2－3x1x2＝3p2＋1.所以52－3（6－p2－p）＝3p2＋1.所以25－18＋3p2＋3p＝3p2＋1.所以3p＝－6.所以p＝－2
05
课堂小结
根与系数的关系
（韦达定理）
内 容
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
应 用
06
板书设计
2.3一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系：
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