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二次根式 单元同步培优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2． 下列运算结果中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数y= 的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． － ＝3 B． + ＝6
C． × ＝2 D． ÷ ＝4
7．已知 ，则 的值为（ ）
A． B．-1 C．1 D．
8．计算 的结果为（ ）.
A． B． C． D．2
9．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，，，如的整数部分为，小数部分为所以根据以上信息，下列说法正确的有( )
；
的小数部分为；
；
．
A．个 B．个 C．个 D．个
10．若的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若成立，则a的取值范围是 ．
12．已知 ，则xy2= .
13．若实数 满足 ，则 .
14．计算：=
15． 已知是正整数，若是不大于的整数，则满足条件的有序数对为
16．设，则与最接近的整数是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算∶
18．计算：
（1）
（2）．
19．已知x＝-1，求代数式（3+2）x2+（+1）x+的值．
20．如图，点A表示的数为-，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B所表示的数为n．求|n+1|+（n+2-2）的值．
21．（1）计算
（2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式.
22．已知实数x，y满足
（1）求x，y的值；
（2）求x-2y的平方根。
23．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
，
，
，
．
．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1） ▲ ； ▲ ；
（2）化简：；
（3）若，求的值．
24．已知
（1）求的值．
（2）若x的小数部分是m， y的小数部分是n，求的值．
25．（1）求代数式的值，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程：
（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母） ．
A． B．
（2）化简：．
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二次根式 单元同步培优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A.∵∴不是最简二次根式，故A不符合题意
B.是最简二次根式，故B符合题意
C.∵∴不是最简二次根式，故C不符合题意
D.∵∴不是最简二次根式，故D不符合题意
故选：B．
【分析】
最简二次根式需要满足以下两个条件：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，因此A、C、D不是最简二次根式，而B是最简二次根式.
2． 下列运算结果中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，故选项A不符合题意；
B、（-2a2）3=-8a6，故选项B不符合题意；
C、a2·a3=a5，故选项C不符合题意；
D、a5÷a3+a2=2a2，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质可判断A选项；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此可判断B选项；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此可判断C选项；同底数幂的除法，底数不变，指数相减；合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，据此可判断D选项.
3．函数y= 的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵函数y= 有意义，
∴分母必须满足 ，
解得： ，
∴x＞1；
故答案为：B．
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式组求解，再画出解集即可。
4．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A. 与 不是同类根式，不能合并，故不符合题意；
B. 与2不是同类根式，不能合并，故不符合题意；
C. ，故不符合题意；
D. ，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同类二次根式的定义及合并方法解答即可。
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 ，故A不符合题意；
B、 不能计算，故B不符合题意；
C、 不能合并，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的性质：，可对A作出判断；只有同类二次根式才能合并，可对B、C作出判断；利用二次根式的除法法则进行计算，可对D作出判断.
6．下列计算正确的是（ ）
A． － ＝3 B． + ＝6
C． × ＝2 D． ÷ ＝4
【答案】C
【解析】【解答】解：A. － ＝ ，故A选项不符合题意；
B. + ＝ ，故B选项不符合题意；
C. × ＝2 ，故C选项符合题意；
D. ÷ ＝2，故D选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用二次根式的运算法则逐个计算，即可完成.
7．已知 ，则 的值为（ ）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】C
【解析】【解答】解∶∵
∴ ，
∴
故答案为：C.
【分析】根据x的范围可得x-3≤0，2-x<0，然后根据绝对值的非负性以及二次根式的性质化简即可.
8．计算 的结果为（ ）.
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】【解答】原式= .
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可.
9．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，，，如的整数部分为，小数部分为所以根据以上信息，下列说法正确的有( )
；
的小数部分为；
；
．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵的整数部分为2，小数部分为，
根据题意得，其整数部分为6，小数部分为；
，其整数部分为10，小数部分为；
，其整数部分为14，小数部分为；
，其整数部分为18，小数部分为；
，其整数部分为22，小数部分为；
，其整数部分为26，小数部分为；
…
，
∴①，故①正确；
②a2025的小数部分为，故②正确；
③，故③错误；
④
=
=
=
=
=
=
=
故④正确，
故答案为：C.
【分析】根据定义分别求出，从而找到an的规律，再逐个判断即可.
10．若的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【解析】【解答】解：
或
当时，，则原式；
当时，，则原式；
故答案为：D.
【分析】由已知与的平方和等于4知，与都是介于之间的数字且包含；又因为所求代数式中包含二次根式，则其被开方数是非负数；由于可对二次根式的被开方数分解因式，结合与的取值范围可判断二次根式的被开方数只能为0，此时可分类讨论，即当时或时，分别可求得对应的和的值，再代入到所求代数式中计算即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：若
成立，
则
，
解之得： 4
故答案为： 4【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组
，再求出a的取值范围即可。
12．已知 ，则xy2= .
【答案】18
【解析】【解答】解：根据题意得，x-2≥0且4-2x≥0，
解得x≥2且x≤2，
所以，x=2，
y=3，
∴ .
故答案为：18.
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后相乘计算即可得解.
13．若实数 满足 ，则 .
【答案】1或3
【解析】【解答】∵
∴当a＜1时，原式=1-a+2-a=a
解得a=1（舍去）
当1≤a≤2时，原式=a-1+2-a=a
解得a=1
当a＞2时，原式=a-1+a-2=a
解得a=3
综上， 1或3
故答案为：1或3.
【分析】原式可变形为|1-a|+|a-2|=a，然后分a＜1，1≤a≤2，a＞2，结合绝对值的性质化简求值即可.
14．计算：=
【答案】
【解析】【解答】解：
【分析】此题考查了二次根式的除法， ．
15． 已知是正整数，若是不大于的整数，则满足条件的有序数对为
【答案】，
【解析】【解答】解：∵已知a，b是正整数，
∴＞0，＞0．
∵+是不大于2的整数，
∴+=1或2．
∴a是3的倍数，b是7的倍数．
当a=3，b=7时，
+
=1+1=2；
当a=12，b=28时，
+
=+=1．
故满足条件的有序数对为 （3，7），（12，28）．
故答案为：（3，7），（12，28）．
【分析】先根据a、b为正整数、和为不大于2的整数，分析a、b的取值范围，利用试验的办法得结论。掌握二次根式的性质、二次根式有意义的条件是解决本题的关键。
16．设，则与最接近的整数是 ．
【答案】2025
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
，
，
故与S最接近的整数是2025.
故答案为：2025.
【分析】首先根据题意对S进行化简，发现规律，然后依次进行计算，即可得到S的结果，即可得到与S最接近的整数.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算∶
【答案】解：原式
；
【解析】【分析】先利用0指数幂和二次根式的性质化简，再计算乘除法，最后计算加减法即可.
18．计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）解： 原式 ；
（2）解： 原式
【解析】【分析】（1）利用二次根式的乘法运算法则解题即可；
（2）先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式解题即可．
（1）原式
（2）原式
19．已知x＝-1，求代数式（3+2）x2+（+1）x+的值．
【答案】解：∵x＝-1，
∴（3+2）x2+（+1）x+
＝（3+2）（-1）2+（+1）（-1）+
＝（3+2）（3-2）+2-1+
＝9-8+1+
＝2+；
【解析】【分析】将x的值代入（3+2）x2+（+1）x+，再利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
20．如图，点A表示的数为-，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B所表示的数为n．求|n+1|+（n+2-2）的值．
【答案】解：∵点A表示的数为-，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴|n+1|+（n+2-2）
．
【解析】【分析】先求出n的值，再求出，去掉绝对值，最后计算即可。
21．（1）计算
（2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式.
【答案】（1）解：
（2）解：一次函数的图象经过点与点，
代入解析式得：，解得：，
一次函数的解析式为：.
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的加法计算括号里面的数，进而根据二次根式的除法结合二次根式的加法即可求解；
（2）根据待定系数法将点代入即可求出函数解析式.
22．已知实数x，y满足
（1）求x，y的值；
（2）求x-2y的平方根。
【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【分析】（1）根据绝对值及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，列出算式，即可求得x，y的值；
（2）将x，y的值代入算式即可求出x-2y根据含加减乘除的混合运算的运算顺序算出答案，再根据平方根定义求解即可.
23．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
，
，
，
．
．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1） ▲ ； ▲ ；
（2）化简：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：
原式
（3）解：
即
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】(1)根据所给的解答方式进行求解即可；
(2)把各式的分母进行有理化，即可求解；
(3)先进行分母有理化的运算，再代入相应的式子运算即可.
24．已知
（1）求的值．
（2）若x的小数部分是m， y的小数部分是n，求的值．
【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
的小数部分是，
，
，
，
的小数部分是，
，
．
【解析】【分析】（1）先利用分母有理化化简x和y，再根据二次根式的加减法运算法则求出x+y的值，根据平方差公式及二次根式性质算出xy的值，进而将待求式子利用配方法变形为(x+y)2-xy，然后整体代入计算即可；
（2）利用（1）的结论、估算无理数大小的方法、不等式的性质判断出与的范围，进而可得，，然后代入式子中进行计算，即可解答．
（1）解：，
，
，
，
；
（2），
，
，
的小数部分是，
，
，
，
的小数部分是，
，
．
25．（1）求代数式的值，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程：
（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母） ．
A． B．
（2）化简：．
【答案】（1）小亮，A；
（2），
∴当时，原式；当时，原式．
【解析】【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质；
故答案为：小亮，A。
【分析】
（1）根据二次根式的性质，，结合即可判断；
（2）根据，进行化简求值即可．
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