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直线与圆的位置关系 单元综合全优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，若的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
2． 已知☉O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与☉O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
3．如图，的直径为3，点为的中点，切于点，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图所示，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB的长为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABG，AD=OD，AB=12，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．4
5．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，OP交⊙O于点C，连接BC．若∠P=20°，则∠B的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
6．如图，在平面直角坐标系中，以1.5为半径的圆的圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移1.5个单位长度，则x轴与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
7． 如图，PA，PB 是⊙O的两条切线，A，B 为切点，点D 在AB 上，点E，F 分别在线段PA，PB上，且AD=BF，BD=AE.若∠P=α，则∠EDF 等于( )
A． B． C． D．2α
8．如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB＝3，PB＝2.则PC等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9． 如图， 是 的直径， 交 于点 ， 于点 ， 要使 是 的切线， 还需补充一个条件，则补充的条件中不正确的是 （ ）
A． B． C． D．
10．如图，切于点，连结交于点交于点，连结，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图 ， 已知 的直径 为 是 外一点， 若 是 的切线， 为切点， 且 为 上一动点， 则 的最小值为 .
12．如图，在 中， ，以AB为直径的 分别交AC，BC于点D，E，过点B作 的切线与AC的延长线交于点F，若 ， ，则BF的长为 ．
13．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD 内平移(⊙O可以与该正方形的边相切)，则点A 到⊙O上的点的距离的最大值为 .
14．如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为
15．PA，PB分别切⊙O于A，B两点，点C为⊙O上不同于AB的任意一点，已知∠P=40°，则∠ACB的度数是 ．
16．如图 ，已知在 Rt 中， 的半径为 是 边上的一个动点， 过点 作 的一条切线 （ 为切点）， 则切线 的最小值为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，AB是圆O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，过点D作圆O的切线DC交AB的延长线于点C.
（1）求∠C的度数；
（2）若AB＝2 ，求BC的长度.
18． 如图，在中，以为直径的分别与、相交于点、，连接过点作，垂足为点，
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求图中阴影部分的面积．
19．已知内接于为的直径，弦与相交于点．
（1）如图①，若平分，连接，求和的大小；
（2）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小．
20．如图，是的直径，，是弦，过点作交于点，过点作的切线与的延长线交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，，求的长．
21． “抖空竹”在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一小亮玩”抖空竹”游戏时发现可以将某时刻的情形抽象成数学问题如图，、分别与相切于点、，延长、交于点，连接、，的半径为，．
（1）连接，，判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若某时刻，与交于点，求的长．
22．如图，是外一点，是的两条切线，切点分别为为劣弧上一点，过点作的切线，分别交于点．
（1）若的周长为12，求的长；
（2）若，求的度数．
23．如图，⊙O 的半径r=2，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于 1 的点的个数记为m.如：当d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线 l 的距离等于1的点，即m=4.求：
（1） 当d=3时，m的值.
（2） 当m=2时，d 的取值范围.
24．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）
25． 如图，在三角形中，点在上，以为半径的圆与相切于点，与相交于点．
（1）连接，若，，求的半径；
（2）连接，求证：；
（3）求证：．
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直线与圆的位置关系 单元综合全优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，若的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，，
∴这条直线与圆相交，
由图可知直线与圆心的距离较小，故这条直线可能是.
故答案为：C.
【分析】若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当r>d时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当r2． 已知☉O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与☉O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】☉O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，
直线l与☉O相切，
故答案为：B.
【分析】根据圆的半径与直线到圆心的距离关系即可得出结论.
3．如图，的直径为3，点为的中点，切于点，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵切于点，
∴即
∵点为的中点，的直径为3，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
故答案为：D.
【分析】如图，连接BC，由圆的切线垂直经过切点的半径得∠OCD=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得OB=BC=DB=1.5，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，由三边相等的三角形是等边三角形得△OBC为等边三角形，由等边三角形三个内角都是60°得∠ABC=60°，进而根据∠ABC的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出AC的长.
4．如图所示，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB的长为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABG，AD=OD，AB=12，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：与与相切于点，
，
，
，即，
平分，
，
，
，
，
，
，
，，
∵，
．
故答案为：A.
【分析】根据切线的性质可得，再根据特殊角的正切值可得，即可得，再由角平分线的性质及等腰三角形的性质证明，即可得，，解直角三角形，即可得解.
5．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，OP交⊙O于点C，连接BC．若∠P=20°，则∠B的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【解析】【解答】解：连接AC，
根据切线的性质定理得AB⊥AP，
∴∠AOP=70°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=55°；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=35°．
故选D．
【分析】根据切线性质得AB⊥AP，再根据圆周角定理即可求出．
6．如图，在平面直角坐标系中，以1.5为半径的圆的圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移1.5个单位长度，则x轴与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移1.5个单位长度，
平移后的点P的坐标为，
，
半径为1.5，
，
圆P与x轴相交，
故答案为：A.
【分析】先求出点P平移后的点坐标，可得OP=0.5，再根据即可得到圆P与x轴相交。
7． 如图，PA，PB 是⊙O的两条切线，A，B 为切点，点D 在AB 上，点E，F 分别在线段PA，PB上，且AD=BF，BD=AE.若∠P=α，则∠EDF 等于( )
A． B． C． D．2α
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 为切点，
∴ PA=PB.
在△AED 和△BDF 中，
，
∴ ∠AED = ∠BDF.
故答案为：C.
【分析】首先根据切线长定理得到PA=PB，在等腰三角形PAB中，用α表示∠PAB和∠PBA的度数，然后证明△AED 和△BDF全等，进而得到对应角相等，然后根据平角的定义即可得到∠EDF的度数.
8．如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB＝3，PB＝2.则PC等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴ ，
∵OB＝OC=3，PB＝2，
∴ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】连接OC，由切线的性质可得OC⊥PC，易得PO=BO+PB=5，然后利用勾股定理求解即可.
9． 如图， 是 的直径， 交 于点 ， 于点 ， 要使 是 的切线， 还需补充一个条件，则补充的条件中不正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：当AB=AC时，如图，连接AD，
∵AB是圆O的直径，
∴AD ⊥BC，
∴CD=BD，
∵АО=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AC，
∵DE ⊥AC，
∴DE⊥OD，
又∵OD为圆O的半径，
∴DE是圆O的切线，故B选项正确，不符合题意；
当CD=BD时，∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AC，
∵DE ⊥AC，
∴DE⊥OD，
又∵OD为圆O的半径，
∴DE是圆O的切线，故C选项正确，不符合题意；
当AC∥OD时，∵DE⊥AC，
∴DE ⊥OD，
又∵OD为半径，
∴DE是圆O的切线，故D选项正确，不符合题意；
当DE=DO时，根据题干条件不能推出DE⊥DO，故DE就不一定是圆O的切线，故A选项错误，符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC可推出DE⊥OD，可以证明DE是圆O的切线，据此可判断B选项；根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是OO的切线，据此可判断C选项；根据AC∥OD，AC⊥DE，可推出DE⊥OD，可以证明DE是圆O的切线，据此可判断D选项；当DE=DO时，根据题干条件不能推出DE⊥DO，故DE就不一定是圆O的切线，据此可判断A选项.
10．如图，切于点，连结交于点交于点，连结，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OD，
，
，
，
，
，
，
，
切于点，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】利用平行线的性质可得，再通过圆的性质求得，由切线的定义可得，进而求得，然后利用平行线的性质计算出的度数.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图 ， 已知 的直径 为 是 外一点， 若 是 的切线， 为切点， 且 为 上一动点， 则 的最小值为 .
【答案】1
【解析】【解答】解：连接MO， 如图：
∵ Q为 上一动点，
∴MQ≥OM－OQ，当O，Q，M三点共线时可以取“＝”.
∵AB=8，
∴AO=BO=4.
∵MB=3，BM为的切线，
∴MB⊥AB，
∴OM=5.
∴MQ最小为：MQ=OM-OQ=5-4=1.
故答案为：1.
【分析】根据切线的性质可得MB⊥AB，可求得OM的长，根据两点线段最短可得O，Q，M三点共线时MQ最小，此时MQ=OM-OQ.
12．如图，在 中， ，以AB为直径的 分别交AC，BC于点D，E，过点B作 的切线与AC的延长线交于点F，若 ， ，则BF的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB是 的直径，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
∵直线BF是 的切线，
∴AB⊥BF，
∴∠ABE+∠CBF=90°，又∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
则 ，
在Rt△AEB中，AB=5， ，
∴BE= ，
∴BC=2BE= ，
过C作CM⊥BF于M，则CM∥AB，
在Rt△CMB中， ，即 ，
解得：CM=2，
由勾股定理得：BM= =4，
由AB∥CM得△FCM∽△FAB，
，
即 ，
解得：BF= ，
故答案为： ．
【分析】利用锐角三角函数和相似三角形计算求解即可。
13．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD 内平移(⊙O可以与该正方形的边相切)，则点A 到⊙O上的点的距离的最大值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，过O点作 于E，于F，
∴OC平分.
∵四边形ABCD为正方形，
∴点O在AC上，
，
即点A到⊙O上的点的距离的最大值为：
故答案为
【分析】当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，过O点作于E， 于F，根据切线的性质得到利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可.
14．如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为
【答案】 或
【解析】【解答】解：如图，连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，
∵圆与AC相切于点A，
∴OA⊥AC，
①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径=r，
∴OA=r，OC=4-r，
∴ AC=4，
在Rt△AOC中，
∵OA2+AC2=OC2，即r2+4= (4-r)2，
解得：r=，
∴AD=AO=；
②当∠ADC=90°时，
∵，
，
∵AO=，AC=2，OC=4-r=，
∴AD=，
综上所述，AD的长为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，分两种情况讨论，即①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径=r，在Rt△AOC中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答；②当∠ADC=90°时，根据等面积法解答即可.
15．PA，PB分别切⊙O于A，B两点，点C为⊙O上不同于AB的任意一点，已知∠P=40°，则∠ACB的度数是 ．
【答案】70°或110°
【解析】【解答】解：
如图，连接OA、OB，
∵PA，PB分别切⊙O于A，B两点，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°，
当点C1在 上时，则∠AC1B= ∠AOB=70°，
当点C2在 上时，则∠AC2B+∠AC1B=180°，
∴∠AC2B=110°，
故答案为：70°或110°．
【分析】连接OA、OB，可求得∠AOB，再分点C在 上和 上，可求得答案．
16．如图 ，已知在 Rt 中， 的半径为 是 边上的一个动点， 过点 作 的一条切线 （ 为切点）， 则切线 的最小值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：连接OQ，OP，过点O作OC⊥AB，如图所示：
∵ 在 Rt 中， ，
∴.
过点C作的切线，切点为D，连接OD，
∴OD⊥DC，
∴.
∵PQ⊥，Q为切点，
∴PQ⊥OQ，
∴OQ2+PQ2=OP2，即1+PQ2=OP2，
∵当OP⊥AB时，OP最小，对应的PQ也最小.
∴PQ最小时，.
故答案为：.
【分析】连接OQ，OP，过点O作OC⊥AB，过点C作的切线，切点为D，连接OD，根据等腰直角三角形的性质可求得OC长；根据切线的性质可求得DC的长，以及1+PQ2=OP2；根据“垂线段最短”可得OP⊥AB时，OP最小，对应的PQ也最小.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，AB是圆O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，过点D作圆O的切线DC交AB的延长线于点C.
（1）求∠C的度数；
（2）若AB＝2 ，求BC的长度.
【答案】（1）解：连接 ，
则 ， ， ，
，
，
（2）解： ， ，
由（1）可知， 为等腰直角三角形，
，
.
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠ODC=90°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠DOB的度数，进而根据三角形的内角和求得∠C；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出OC的长，进而根据线段的和差即可算出BC的长.
18． 如图，在中，以为直径的分别与、相交于点、，连接过点作，垂足为点，
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接．
是的直径，
，
．
又AB＝AC，∴D是BC的中点，
．
连接；
由中位线定理，知，
又，
．
是的切线；
（2）解：连接，
，，
，
，
，
，
的半径为，
，
．
【解析】【分析】
（1）直径所对的圆周角为90°，可证明AD⊥BC，再根据等腰三角形三线合一可证明D为BC中点，连接OD，根据三角形中位线定理可得OD和AC平行，DF⊥AC可得DF⊥OD，从而得出DF是切线。
（2）根据∠CDF的度数和DF⊥AC可求出∠C，再结合AB＝AC，OA＝OE可得∠B，∠BAC，∠AEO，∠AOE，从而可计算出扇形AOE和三角形AOE的面积，得阴影部分面积。
19．已知内接于为的直径，弦与相交于点．
（1）如图①，若平分，连接，求和的大小；
（2）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小．
【答案】（1）解：∵为的直径，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得，，则，再根据角平分线定义可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）连接，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据等边对等角可得，，根据角之间的关系可得∠OCD，∠POD，再根据切线性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵为的直径，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴．
20．如图，是的直径，，是弦，过点作交于点，过点作的切线与的延长线交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，
连接OC，则.
∵是的切线，
∴．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵点C在⊙O上，
∴是的切线．
（2）解：如，
由（1）得：，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴
∴．
【解析】【分析】（1）连接，则，在根据是的切线得，进一步结合题意可证明
是的垂直平分线，从而得出，进而证明，可得，便可证明是的切线．
（2）根据得，在根据可得，进而得出，在中，根据勾股定理即可求出，进而得出的长.
（1）证明：如图，连接OC，
∵是的切线，
∴．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵点C在⊙O上，
∴是的切线．
（2）解：由（1）得：，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴
∴．
21． “抖空竹”在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一小亮玩”抖空竹”游戏时发现可以将某时刻的情形抽象成数学问题如图，、分别与相切于点、，延长、交于点，连接、，的半径为，．
（1）连接，，判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若某时刻，与交于点，求的长．
【答案】（1）解：四边形是正方形，
理由：，分别与相切于点，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；
（2）解：延长交于，
四边形是正方形，，
，，
，
，，
，
∽，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据切线性质可得：，再根据矩形的判定定理可得四边形是矩形，再根据，可得四边形是正方形；
（2）延长交于， 根据正方形性质，直线平行性质，特殊角的三角函数值可得，，再根据相似三角形的判定定理可得∽，则，代入计算即可求出答案。
22．如图，是外一点，是的两条切线，切点分别为为劣弧上一点，过点作的切线，分别交于点．
（1）若的周长为12，求的长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：由切线长定理可知，．
则的周长．
（2）解：如图，连接，则．
在四边形中，，
即，
【解析】【分析】（1）根据切线长定理可得，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
（2）连接，则，再根据角之间的关系可得，再根据四边形内角和即可求出答案.
23．如图，⊙O 的半径r=2，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于 1 的点的个数记为m.如：当d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线 l 的距离等于1的点，即m=4.求：
（1） 当d=3时，m的值.
（2） 当m=2时，d 的取值范围.
【答案】（1）解：当d=3时，
∵3>2，即d>r，
∴ 直线l与⊙O 相离.
又∵d-r=3-2=1，
∴易得m=1
（2）解：易得当d=1时，m=3.
由(1)，知当d=3时，m=1.
∴ 当1【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及题目中的数据分析即可得到答案.
24．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）
【答案】（1）解：连接OD，则OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵ AD平分∠BAC ，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠CDA=90°，
即∠CDO=90°，
∴ BC是⊙O的切线；
（2）解：连接OE、ED，则OE=OD=OA，
∵AD平分∠BAC ，且∠BAC＝60° ，
∴∠EAD=30°，
∴∠EOD=2∠EAD=60°，
∴△OAE，△OED均为等边三角形，
∴∠OED=∠EOA=60°，
∴ED∥AB，
∴△EOD的面积=△AOE的面积，
∴阴影部分的面积=扇形EOD的面积=.
【解析】【分析】（1）连接OD，则OA=OD，根据角平分线的定义及等腰三角形的性质可得∠CAD=∠ODA，从而得出∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠CDA=90°，即∠CDO=90°，根据切线的判定定理即证；
（2）连接OE、ED，可求△OAE，△OED均为等边三角形，可得∠OED=∠EOA=60°，从而得出ED∥AB，根据同底等高可得△EOD的面积=△AOE的面积，即得阴影部分的面积=扇形EOD的面积，利用扇形的面积公式即可求解.
25． 如图，在三角形中，点在上，以为半径的圆与相切于点，与相交于点．
（1）连接，若，，求的半径；
（2）连接，求证：；
（3）求证：．
【答案】（1）解：为的切线，
，
在中，
，
设，则，
解得：，
的半径为．
（2）证明：为直径，
，
，
，
，
，
，
；
（3）证明：，，
∽，
，
．
【解析】【分析】（1）根据BC是圆的切线，得△OBC为直角三角形进而勾股定理即可求解；
（2）由AE为圆的直径得∠ACE=90°，得出∠OCE=∠OEC，即可得出结论；
（3）证明△ABC∽△CBE，根据相似三角形的性质列出比例式，即可证明结论．
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