浙教版（2024）八年级下册 5.3 正方形 题型专练
【题型1】添加条件使四边形是正方形
【典例】如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】已知在四边形中，，下列可以判定四边形是正方形的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】已知在四边形中，，下列可以判定四边形是正方形的是（ ）
A. B. C. D.
【题型2】利用正方形的性质求角度
【典例】如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ）
A.45° B.30° C.60° D.55°
【强化训练2】如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边三角形ADE，则∠BED等于（ ）
A.30° B.37.5° C.45° D.50°
【强化训练3】如图，过点C画平行四边形与正方形，其中E点在上，若，，则的度数为（ ）
A.50 B.55 C.70 D.75
【强化训练4】如图，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE= ．
【强化训练5】如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 度．
【强化训练6】如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 度．
【强化训练7】如图，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE= ．
【题型3】利用正方形的性质求面积
【典例】四个全等的直角三角形如图所示摆放成一个风车的形状，连结四个顶点形成正方形，为对角线，的交点，的延长线交于点．记图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图所示，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边分别交于点M，N，若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，，则正方形的面积为（ ）
A.34 B.25 C.20 D.16
【强化训练3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，，则正方形的面积为（ ）
A.34 B.25 C.20 D.16
【强化训练4】四个全等的直角三角形如图所示摆放成一个风车的形状，连结四个顶点形成正方形，为对角线，的交点，的延长线交于点．记图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【题型4】正方形与折叠问题
【典例】如图，正方形ABCD的边长为8，点E是BC上的一点，连接AE并延长，交射线DC于点F，将沿直线AE翻折，点B落在点N处，AN的延长线交DC于点M，当时，则NM的长为（ ）
A.1 B. C. D.
【强化训练1】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将BCE沿BE翻折至BFE，连接DF，则DF的长度是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，将一块边长为 12 cm 正方形纸片 ABCD 的顶点 A 折叠至DC 边上的 E 点，使 DE＝5，折痕为 PQ，则 PQ 的长为 cm．
【强化训练3】如图，正方形的边长为2，点是中点，将沿翻折至，延长交边于点，则的长为 ．
【强化训练4】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求∠EAG的度数；
（3）求BG的长．浙教版（2024）八年级下册 5.3 正方形 题型专练（参考答案）
【题型1】添加条件使四边形是正方形
【典例】如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
∴添加，能使矩形成为正方形．
故选：B．
【强化训练1】已知在四边形中，，下列可以判定四边形是正方形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵，
∴四边形为矩形，
能使这个四边形是正方形的是邻边相等，即，
故选D．
【强化训练2】如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
∴添加，能使矩形成为正方形．
故选：B．
【强化训练3】已知在四边形中，，下列可以判定四边形是正方形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵，
∴四边形为矩形，
能使这个四边形是正方形的是邻边相等，即，
故选D．
【题型2】利用正方形的性质求角度
【典例】如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
四边形是正方形，
，，
为等边三角形，
，，
，，，
，
同理，
，
故选：B．
【强化训练1】如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ）
A.45° B.30° C.60° D.55°
【答案】A
【解析】
设∠BAE=x°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∵AE=AB，
∴AB=AE=AD，
∴∠ABE=∠AEB=（180°-∠BAE）=90°-x°，∠DAE=90°-x°，
∠AED=∠ADE=（180°-∠DAE）=[180°-（90°-x°）]=45°+x°，
∴∠BEF=180°-∠AEB-∠AED
=180°-（90°-x°）-（45°+x°）=45°．
∴∠BEF=45°．
故选：A．
【强化训练2】如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边三角形ADE，则∠BED等于（ ）
A.30° B.37.5° C.45° D.50°
【答案】C
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°，
∴∠BAE=150°，AB=AE，
∴∠AEB=15°，
∴∠BED=45°．
故选：C．
【强化训练3】如图，过点C画平行四边形与正方形，其中E点在上，若，，则的度数为（ ）
A.50 B.55 C.70 D.75
【答案】C
【解析】
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
故选C．
【强化训练4】如图，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE= ．
【答案】
22.5°．
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBE=45°，∠BCD=90°，
∵BE=BC，
∴∠BCE=（180°-∠BCE）=×（180°-45°）=67.5°，
∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-67.5°=22.5°．
故答案为22.5°．
【强化训练5】如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 度．
【答案】
【解析】
由图像可得，
在与中，
∴ ，
，
∵是正方形对角线，
∴，
∴，
故答案为：；
【强化训练6】如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 度．
【答案】
【解析】
由图像可得，
在与中，
∴ ，
，
∵是正方形对角线，
∴，
∴，
故答案为：；
【强化训练7】如图，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE= ．
【答案】
22.5°．
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBE=45°，∠BCD=90°，
∵BE=BC，
∴∠BCE=（180°-∠BCE）=×（180°-45°）=67.5°，
∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-67.5°=22.5°．
故答案为22.5°．
【题型3】利用正方形的性质求面积
【典例】四个全等的直角三角形如图所示摆放成一个风车的形状，连结四个顶点形成正方形，为对角线，的交点，的延长线交于点．记图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由对称性可知，，
如图过O作OH垂直BC于H，
设BF=2a，
∵，
∴CF=3a,
∴BC=5a,
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴BH=OH=HC=，，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
，
∴．
故选：C．
【强化训练1】如图所示，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边分别交于点M，N，若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
作，，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵是直角三角形，
∴，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，四边形是正方形，
∴≌，
∴，
∴四边形的面积等于正方形的面积，
∵正方形的边长为a，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴正方形的面积，
∴四边形的面积 ，
故选：D．
【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，，则正方形的面积为（ ）
A.34 B.25 C.20 D.16
【答案】B
【解析】
作轴于，如图，
，，
，
四边形为正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
正方形的面积为25．
故选：B．
【强化训练3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，，则正方形的面积为（ ）
A.34 B.25 C.20 D.16
【答案】B
【解析】
作轴于，如图，
，，
，
四边形为正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
正方形的面积为25．
故选：B．
【强化训练4】四个全等的直角三角形如图所示摆放成一个风车的形状，连结四个顶点形成正方形，为对角线，的交点，的延长线交于点．记图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由对称性可知，，
如图过O作OH垂直BC于H，
设BF=2a，
∵，
∴CF=3a,
∴BC=5a,
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴BH=OH=HC=，，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
，
∴．
故选：C．
【题型4】正方形与折叠问题
【典例】如图，正方形ABCD的边长为8，点E是BC上的一点，连接AE并延长，交射线DC于点F，将沿直线AE翻折，点B落在点N处，AN的延长线交DC于点M，当时，则NM的长为（ ）
A.1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，
∴AN=AB=8，∠BAE=∠NAE，
∵正方形对边AB∥CD，
∴∠BAE=∠F，
∴∠NAE=∠F，
∴AM=FM，
设CM=x，
∵AB=2CF=8，
∴CF=4，
∴DM=8-x，AM=FM=4+x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得，AM2=AD2+DM2，
即（4+x)2=82+（8-x)2，
解得x=4，
所以，AM=4+4=8，
所以，NM=AM-AN=8-8=．
故选：B．
【强化训练1】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将BCE沿BE翻折至BFE，连接DF，则DF的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
如图，连接CF，交BE于H，
∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，
∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°，
∴BE＝，
∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，
∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，
∵S△BCE＝×BE×CH＝×BC×CE，
∴CH＝，
∴EH=，
∵CE＝DE，FH＝CH，
∴DF＝2EH＝，
故选：D．
【强化训练2】如图，将一块边长为 12 cm 正方形纸片 ABCD 的顶点 A 折叠至DC 边上的 E 点，使 DE＝5，折痕为 PQ，则 PQ 的长为 cm．
【答案】
13
【解析】
先过点P作PM⊥BC于点M，利用三角形全等的判定得到△PQM≌△ADE，从而求出PQ=AE．
过点P作PM⊥BC于点M，
由折叠得到PQ⊥AE，
∴∠DAE+∠APQ=90°，
又∠DAE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠APQ，
∵AD∥BC，
∴∠APQ=∠PQM，
则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD
∴△PQM≌△ADE
∴PQ=AE=
故答案是：13.
【强化训练3】如图，正方形的边长为2，点是中点，将沿翻折至，延长交边于点，则的长为 ．
【答案】
【解析】
连接，如图，
正方形的边长为2，
，
点是中点，
，
四边形是正方形，
，
由折叠可知：，
则，，，
，
在和中，
，
．
，
设，则，，
在中，
，
，
解得：，
．
故答案为：．
【强化训练4】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求∠EAG的度数；
（3）求BG的长．
【答案】
解：（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，
∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，
又∵AG＝AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴△ABG≌△AFG（HL）；
（2）∵△ABG≌△AFG，
∴∠BAG＝∠FAG，
∴∠FAG＝∠BAF，
由折叠的性质可得：∠EAF＝∠DAE，
∴∠EAF＝∠DAF，
∴∠EAG＝∠EAF＋∠FAG＝（∠DAF＋∠BAF）＝∠DAB＝×90°＝45°；
（3）∵E是CD的中点，
∴DE＝CE＝CD＝×6＝3，
设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，
∵GE2＝CG2＋CE2
∴（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，
解得：x＝2，
∴BG＝2．
