2.2 一元二次方程的解法-课件(共63张PPT)--2025-2026学年浙教版数学八年级下册（新教材）

(共63张PPT)
浙教版数学8年级下册培优精做课件2.2一元二次方程的解法第2章一元二次方程授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1.因式分解法：先对方程 的左边因式分解，
使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式
分别等于0，从而实现降次。像这种利用因式分解解一元二次方程的
方法叫作因式分解法。
依据：若，则或
知识点1 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
1. 把方程 的二次项系数化为1，可得方程
( )
A
A. B.
C. D.
返回
3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型
常见类型 因式分解 方程的解
,
,
,为常数 ,
2. 一元二次方程 配方后
可变形为( )
A
A. B.
C. D.
返回
典例1 解下列方程：
（1） ；
解：移项，得 ，
将方程的左边分解因式，得 ，
则,或 ，解得， 。
（2） ;
解：将方程的左边分解因式，得 ,
则,
解得。 表示一元二次方程有两个相等的实数根
（3） 。
解：移项，得 。
将方程的左边分解因式，得 ,
则,或 ,
解得, 。
注意：原方程两边不能同时约去 ，否则变形后的结果为,会导致漏掉这个根
3. 已知关于的方程 通过配方可变形为
，则 的值为( )
A
A. B. 4 C. D. 8
【点拨】 ,
，
，
.
解得
.
故选A.
返回
1.开平方法：一般地，对于形如 的方程，根据平方根
的定义，可得, 。这种解一元二次方程的方法叫作
开平方法。
2.适用类型#3
适用类型 方程的解
,,是常数，,
,,, 是常数， ,
敲黑板
形如 的方程的解的情况：
（1）当 时，方程有两个不相等的实数根，，
或 。
（2）当时，方程有两个相等的实数根， 。
（3）当 时，方程没有实数根。#3.1.2.3
4.用配方法解方程： .
解：方程的两边同除以3，得_______________，
把常数项移项，得____________，
方程两边同加上_____，得_______________________，
即____________.
解得_______________.
,
返回
典例2 解下列方程：
（1） ；
解：移项，得 ，
方程两边同除以2，得 ，
解得， 。
（2） ；
解：两边直接开平方，得，或 ，
解得， 。
（3） 。
解：两边直接开平方，得,或 ，
解得， 。
5. 用配方法解下列方程：
（1） ；
【解】 ,
，
即 ，
解得 .
（2） ;
，
，
，
即 .
则，解得， .
（3） ;
，
,
,即 .
则 ，
解得， .
（4） .
，
，
,
即 ，
则 ，
, .
返回
1.配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一
个非负常数，即将方程转化为 的形式，然后用
开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法。
配方法的依据是完全平方公式 和直接开平方法，其实质是对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的形式，从而把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解
2.用配方法解一元二次方程的步骤：#3
一般步骤 方法 示例
一化 二次项系 数化为1 左、右两边同时除 以二次项系数。 。
二移 移项 将常数项移到等号 右边，含未知数的 项移到等号左边。 。
一般步骤 方法 示例
三配 配方 左、右两边同时加 上一次项系数一半 的平方。 ,即 。
四开 开平方求 根 直接开平方。 ,所以 ,
。
知识点2 配方法的应用
6. 用配方法将二次三项式 变形后的结果是
( )
B
A. B.
C. D.
返回
7.填空：
（1）___（___） ；
（2）_ __（__） .
（3）___（___） .
9
3
8. 若是一个关于 的完全平方
式，则 等于_____.
返回
典例3 用配方法解一元二次方程：
（1） ;
解：移项，得 ，
方程两边同时加上，得 ，
即 ，
则,或 ，
解得， 。
方程两边同时加上一次项系数一半的平方（前提是二次项系数为1）
降次（转化为两个一元一次方程）
（2） ;
解：方程两边同时除以4，得 ,
移项，得 ，
方程两边同时加上，得 ,
即 。
则，或 ，解得, 。
（3） 。
解：移项，得。 把 看作一个整体
方程两边同时加上，得 ,
即 。
则，或 ,
解得, 。
9.当为何值时，代数式的值与代数式 的
值互为相反数？
【解】由题意，得 ，
即 ，
方程两边同时除以3，得 ，
移项，得 ，
两边同加上，得 ，即
，
则 ，
解得， .
当或时，代数式 的值与代数式
的值互为相反数.
返回
1.求根公式：
问题提出
在学习了配方法之后，如何解用一般形式表示的一元二次方程

【问题分析】
一元二次方程的二次项系数不一定为1，
但只要在方程的两边同除以二次项系数，就化归为我们已能求解
的一元二次方程类型。#2.1.2.1
【推导过程】#2.1.3
方程 。
求解 过程 一化 。
二移 。
三配 ,即。
四开 ， 。
【结论归纳】
对于一元二次方程，当时，
它的两个根为。这个公式叫作一元二次方程的求根
公式。
2.公式法：利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数,,的
值，直接求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫作公式法。
10. 下列变形正确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
11. 已知，
（为任意实数），则， 的大小关系为( )
A
A. B. C. D. 不能确定
【点拨】因为
，所以 .故选A.
返回
3.用公式法解一元二次方程的步骤：
（1）化：把方程化为一般形式。
（2）定：确定，，的值。
（3）算：求出的值。
（4）判：判断的值的符号。
（5）求根：当时，把，，的值代入一元二次方程
的求根公式，求出方程的根；当时，方程没有实数根。
一元二次方程解法的比较#4.1
方法 理论依据 适用方程 关键步 骤 主要特点
因式分 解法 若 ， 则 或 。 右边化为0后，左 边易分解为两个 一次因式的积的 形式的方程。 分解因 式。 求解迅速，但适
用范围较小。
方法 理论依据 适用方程 关键步 骤 主要特点
开平方 法 平方根的 定义。 或 等类型的方程。 开平 方。 求解迅速，但只
适用于一些特殊
结构的方程。
配方法 完全平方 公式。 所有一元二次方 程。 配方。 解法烦琐，当二
次项系数为1时用
此法较简单。
方法 理论依据 适用方程 关键步 骤 主要特点
公式法 配方。 所有一元二次方 程。 代入求 根公 式。 计算量大，易出
现符号错误。
典例4 用公式法解下列一元二次方程：
（1） ；
解：因为，，，
所以，
所以方程无实数根。
（2） ；
解：原方程化为，则，， 。
所以 ，
所以，
解得， 。
（3） 。
解：因为，， ，
所以 ，
所以 ，
解得， 。
1.一元二次方程的根的判别式：从一元二次方程
的求根公式的推导过程中不难看出，方程的
根的情况由代数式的值决定。因此 叫作一元二次方
程的根的判别式。
2.利用一元二次方程根的判别式判定一元二次方程根的情况：
方程 有两个不相等的实
数根;
方程 有两个相等的实数
根;（不能说“方程只有一个根”）
方程 没有实数根。
方程在实数范围内无根，不能说“方程无根”
典例5 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：
（1） ；
解：因为，， ，
所以 ，
所以方程有两个不相等的实数根。
（2） ；
解：因为，， ，
所以 ，
所以方程有两个相等的实数根。
（3） 。
解：原方程化为 ，
因为，， ，
所以 ，
所以原方程没有实数根。
12.若，则 的值为
_ ______________.
或
【点拨】设为，则原方程可化为 ，配
方，得 .
解得，.所以的值为 或
.
返回
13.已知,则 的值为____.
13
【点拨】 ，
.
.
， .
.
返回
14. 定义：关于 的一元二次方程
与 称为“同族二次方程”.
例如：与 是“同族二次方
程”.现有关于的一元二次方程
与 是“同族二次方程”，则代数式
的最小值是_______.
2 019
【点拨】 与
是“同族二次方程”，
.
解得
代数式 的最小值是2 019.
返回
15. 用配方法解下列方程：
（1） ；
【解】 ，
，
，
，
，
.
则或 ，
解得， .
（2） ；
，
，
，
，
.
则或 ，
解得， .
（3） .
，
，
，
.
，
，即 ，
解得， .
返回
16. 先仔细阅读下面的材料，再尝试解决问题.
求多项式 的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式 .
因为无论取何值，的值均为非负数，所以
的最小值为0,此时.当 时，
，故原多项式的最小值是 .
解决问题：
（1）请根据上面的解题思路，求多项式 的最小
值，并写出此时 的值.
【解】 .
因为无论取何值，的值均为非负数，所以
的最小值为0,此时 .
当时， ，
故多项式的最小值是1,此时的值为 .
（2）请根据上面的解题思路，求多项式 的最
大值，并写出此时 的值.
因为无论取何值， 的值均为非正数，所以
的最大值为0,此时 .
当时， ，
故多项式的最大值是15，此时的值为 .
（3）某一农户计划利用已有的一堵长为 的墙，用篱笆
围成一个长方形园子，现有篱笆总长.如图,设 ,
则当 取何值时，园子的面积最大？最大面积是多少？
【解】设园子的面积为 .
由题意，得
.
因为无论取何值， 的值均
为非正数，所以 的最大值
为0,此时 .
当 时，
，
，
所以当 时，园子的面积最大，最
大面积为 .
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