3.3 离差平方和与方差-课件(共40张PPT)--2025-2026学年浙教版数学八年级下册（新教材）

(共40张PPT)
浙教版数学8年级下册培优精做课件3.3离差平方和与方差第3章数据分析初步授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1.了解离差平方和、方差的概念。
2.会计算一组简单数据的离差平方和、方差，知道离差平方和、方
差都能刻画这组数据的离散程度。
3.经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数
据进行分类的方法。
4.体会样本与总体的关系，能用样本方差估计总体方差，感悟通过
样本特征估计总体特征的思想，形成数据观念，发展模型观念。
定义 样本中，各数据与平均数的差（又称离差）的平方和称为
离差平方和，记为 。
公式 对于一组数据，， ，，这组数据的平均数为 ，
则 。
特点 可以刻画一组数据的离散程度，在比较两组数据的离散程
度时，只适用于数据个数相同的情况。
因为离差平方和除了和离差有关，还和数据个数相关，所以在用离差平方和比较两组数据的离散程度时，前提是两组数据的个数相同
知识点1 方差
1. [2024·杭州上城区期中] 已知数据,, , 的方差计算
公式为 ，则
“4”是这组数据的( )
C
A. 方差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数
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典例1 体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高
（单位： ），数据如下：
八（2）班：154，161，149，158，162，155，160，152，156，163；
八（5）班：148，150，166，168，152，155，158，149，165，159。
（1）分别计算两组数据的离差平方和；
解：计算平均身高：
八（2）班：
。
八（5）班： 。
计算离差平方和：八（2）班： 。
八（5）班：
。
（2）根据离差平方和判断哪个班的身高数据离散程度更大。
解：因为 ，
所以八（5）班身高数据离散程度更大。
2. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次
射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环 ）如
表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定
的运动员参加比赛，应选择( )
甲 乙 丙 丁
9 8 9 8
1.6 0.8 0.8 3
C
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
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定义 一般地，一组数据的各离差的平方的平均数叫作这组数据
的方差，记为 。
公式 。
特点 方差能较好地反映出数据的离散程度，方差越大，说明数
据的波动越大（即离散程度越大），越不稳定；在利用方
差比较两组数据的离散程度时，不受数据个数的限制。
在求总体方差时，若所要考察的总体包含很多个体或考
察对象带有破坏性，常常用样本方差来估计总体方差。
3. 为迎接2025年体育中考，甲、乙、丙三
名男生参加1 000米长跑训练，体育老师根据训练成绩得出
他们的成绩的方差分别为，， ，
则____的成绩较稳定（填“甲”“乙”或“丙”）.
乙
4.已知一组数据为7，1，5， ，8，它们的平均数是5，则这
组数据的方差为___.
6
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知识点2 标准差
5. 已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是( )
D
A. 9 B. 3 C. D.
6. 下列五个数：11，12，13，14，15的标准
差为____.
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典例2 甲进行了10次射击训练，平均成绩为9环，且前9次的成绩
（单位：环）依次为：8，10，9，10，7，9，10，8，10。
（1）求甲第10次的射击成绩；
解：根据题意，得甲第10次的射击成绩为
（环）。
（2）求甲这10次射击成绩的方差；
解：甲这10次射击成绩的方差为
(环 )。
（3）乙在相同情况下也进行了10次射击训练，平均成绩为9环，
方差为1.6环 ，请问甲和乙两人中谁的射击成绩更稳定？
解：因为甲、乙两人的平均成绩相等，且 ，所以甲的射击
成绩更稳定。
7. 已知一组数据为7，2，5， ，8，它
们的平均数是5，则这组数据的标准差是_ ____.
【点拨】 这组数据7，2，5， ,8的平均数为5，
，解得 ，
.
这组数据的标准差是 .
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定义 一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差。
公式 。
特点 标准差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
典例3 一组数据2，5，4， ，3的平均数是4，则这组数据的标准差
是____。
解析：因为数据2，5，4， ，3的平均数是4，
所以，所以 ，
所以这组数据的方差为
，
所以这组数据的标准差为 。
1.组内离差平方和与组间离差平方和
一般地，设有个数据，，， ，，它们的平均数为 ，
离差平方和为。如果把这些数据分为两组，第1组有 个数据，
平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为 ，
离差平方和为，其中。
通常称 为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的
离散程度；称 为组间离差平方和，它表
达了两个组之间的差异。#3.1.2
2.数据分组原则
合理的分组原则是使 最小，同时使
最大。由于总离差平方和 不变，所以
只需考虑 最小，即组内离差平方和最小即可。
在大数据分析中，数据分组是重要的方法之一。数据分
组方法有许多种，其中使得“组内离差平方和最小”的方法最为常见。
8. 某校模拟考试中，九年级（1）班的六名学生的数学成绩
（单位：分）如下：96，108，102，110，108，82.下列说法
不正确的是( )
D
A. 众数是108分 B. 中位数是105分
C. 方差约是94.3分 D. 标准差是 分
【点拨】把这六名学生的数学成绩从小到大排列为：
82,96,102,108,108,110,
众数是108分,中位数为 （分）,平均数为
（分） 方差为
（分） 标准差不是 分.故选D.
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典例4 生物小组测量了10株新栽树苗的高度（单位：厘米），数据
按从小到大的顺序排列为12，15，18，20，22，25，28，30，33，
35。老师按照前5株、后5株 的方式将树苗分成了
2组。
（1）请计算该分组下的组内离差平方和。
解： ，
。
， ，
。
（2）请计算该分组下的组间离差平方和。
解：因为 。
所以该分组下的组间离差平方和为
。
9. 甲、乙两名技工每天的基本工作量都是做10件产品，质检
部将他们一周的优等品件数绘制成如图的折线统计图，根据
统计图中的数据，下列说法正确的是( )
C
A. 甲、乙的优等品件数的平均数相同
B. 甲、乙的优等品件数的中位数相同
C. 甲的优等品件数的众数小于乙的众数
D. 甲的优等品件数的方差大于乙的方差
【点拨】A.
（件），
（件），故该选项错误，不符合题意；B.甲
的优等品件数的中位数为7件，乙的优等品件数的中位数为9
件,故该选项错误，不符合题意；C.甲的优等品件数的众数为
8件和7件, 乙的优等品件数的众数为9件,故该选项正确，符合
题意；D.
（件），（件 ），故该选项错误，不符合题意.故选C.
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10.某排球队场上6名队员的身高（单位： ）分别是：180，
184，188，190，192，194.现用一名身高为 的队员换
下场上身高为 的队员，与换人前相比，场上队员身高
的平均数______，方差______.（填“变大”或“变小”）
变小
变小
【点拨】原数据的平均数为
，
则原数据的方差为
，
新数据的平均数为 ，
则新数据的方差为
平均数变小，方差变小.
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11. 某校为了普及环保
知识，从七、八两个年级中各选出
10名学生参加环保知识竞赛
（满分100分），并对成绩进行整理
分析，得到如下信息：
平均数（分） 众数 （分） 中位数
（分）
七年级参赛学生的 成绩 85.5 87
八年级参赛学生的 成绩 85.5 85
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：____, ____；
80
86
（2）七、八年级参赛学生成绩的方
差分别记为，，请判断___ ；
（填“ ”“ ”或“ ”）
（3）从平均数和中位数的角度分析，
哪个年级参赛学生的成绩较好.
【解】 七、八年级参赛学生成绩的
平均数相同，但七年级参赛学生成绩
的中位数较大， 七年级参赛学生的
成绩较好.
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12. 已知三组数据，请完成下表.
数据 平均数 方差
1，2，3，4，5
11，12，13，14，15
3，6，9，12，15
3
2
13
2
9
18
【分析数据】 请你比较三组数据的大小及统计量的结果，
写出其中一些规律性的结论.
【解】结论：若已知数据,,, ,的平均数为,方差
为 ,则新数据,,, , 的平均
数为，方差为 .
【解决问题】请你用发现的结论来解决以下的问题.
已知数据，，， ，的平均数为，方差为 ,则：
（1）数据，，， ， 的平均数为
______，方差为___；
（2）数据，，， ， 的平均数为
______，方差为___；
（3）数据，，， ， 的平均数为____，方差
为____；
（4）数据，，， ， 的平均
数为_______，方差为____.
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