4.6 反证法 教案

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分课时教学设计
第10课时《4.6 反证法 》教学设计
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教学内容分析 本节课的主要内容是反证法和平行线的传递性.要求学生探究反证法的概念和利用反证法证明的一般步骤，要求学生能够灵活运用反证法来解决问题，并能完成平行线的传递性的证明.反证法在我国中学数学教育中有着重要地位，是中学数学教材中平面几何部分的重要内容，也是几何相关问题证明的重要手段。
学习者分析 学生已经学习了定义与命题、证明、逆命题和逆定理等，且学生具备一定的独立思考、合作探究、推理证明、归纳概括的能力，这些都有利于学生探究反证法。但是学生在初次接触反证法时，可能会感到困惑和难以理解。因此，教师在教学过程中需要充分准备，通过生动的案例和详细的解释，帮助学生逐步理解反证法的思想和应用。
教学目标 1.反证法的概念和利用反证法证明的一般步骤。 2.能灵活运用反证法来解决问题。 3.了解定理“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”。 4.通过反证法的学习，感受数学证明的严谨性，提高学习数学的兴趣和信心。
教学重点 反证法的含义和步骤。
教学难点 用两种方法完成平行线的传递性的证明。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课根据路边的李树上结满了成熟的果子，有人推断这棵树上李子的味道一定是苦的，你认为有道理吗？为什么？ 学生活动1： 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题.。 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，激发学生的兴趣，理解学生思考，提出问题，学生思考，引起学生探讨的兴趣，通过生动的案例和详细的解释，帮助学生逐步理解反证法的思想和应用。环节二：新知探究教师活动2： 中国古代有一个《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动. 有人问王戎为什么 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢 他运用了怎样的推理方法 【思考】假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？ 这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？ 所以，李子是苦的. 【总结归纳】王戎的推理方法是: 提出假设 推理论证 得出矛盾 结论成立 【例】小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了，小华对小明说：“昨天晚上下雨了。” 你能对小华的判断说出理由吗？ 小华的理由吗： 假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。 反证法定义： 在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法。 【知识拓展】 用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的。这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定．既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生自主解答，教师适时的进行提示 学生思考， 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，让学生在小组内共同合作，培养学生发现问题，探求规律的良好学习习惯。反证法的概念和利用反证法证明的一般步骤，能灵活运用反证法来解决问题。 环节三：典例精析【例】求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角． 已知：四边形ABCD. 求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角． 证明：假设 四边形ABCD中没有一个角是钝角或直角， 即∠A<90°，∠B<90° ，∠C<90°，∠D<90°， 于是∠A+∠B+∠C+∠D<360°. 这与“四边形的内角和为360°”矛盾. 所以四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角. 求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 已知：a∥b，b∥c 求证：a∥c 证明：假设a∥c不成立 即这两条直线相交，设交点为A 因为 a∥b，b∥c 所以过点A有两条直线a，c都与b平行 这与平行公理“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾 因此假设不成立，即a∥c成立 思考：你还有其它证明方法吗？ 证明：∵ a∥b ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） ∵ b∥c ∴∠2+∠3=180°(两直线平行，同旁内角互补) ∴∠1+∠3=180°(等量代换) ∴a∥c（同旁内角互补，两直线平行） 【总结归纳】 用反证法证题时，应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误 学生活动3： 参与教师分析和讲例题。 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，了解定理“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”。通过反证法的学习，感受数学证明的严谨性，提高学习数学的兴趣和信心。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．“ab C．a=b D．a=b或a>b 2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ） A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交 选做题： 3．如下图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点。 证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______________________”矛盾，所以假设不成立，则______________。 【综合拓展类作业】 4.用反证法证明：等腰三角形的底角都是锐角。
课堂总结 利用反证法证明的一般步骤是什么？ 一般步骤： 假设：假设命题结论的否定 推理归谬：将假设作为条件，与原命题的条件一起，进行正确的推理，推出矛盾的结果 得出结论：否定假设，肯定原命题结论是正确的。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　 　） A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60° C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60° 选做题： 2．完成下列证明．如右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．证明：假设结论不成立，则∠B是_________或_________。 当∠B是_______时，则____________________，这与__________________________矛盾； 当∠B是_______时，则__________________， 这与___________________________矛盾。 综上所述，假设不成立。∴∠B一定是锐角。 3.用反证法证明:在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.有如下步骤: ①∵∠PAB+∠PBA+∠APB>180°,这与三角形内角和定理相矛盾; ②∴假设不成立,原命题成立; ③如图,假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直,不妨设PA⊥直线l于点A,PB⊥直线l于点 B;④∴∠PAB=90°,∠PBA=90°。 正确的顺序是　　　　。 【综合拓展类作业】 4.如图,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内的一点,且∠APB>∠APC, 求证:PB180°，三角形的内角和等于180°，钝角，∠A+∠B+∠C>180°，三角形的内角和等于180° 3.③④①② 4.证明:假设P≥PC. 把△ABP绕点A逆时针旋转得到△ACD,连结PD,则BP=CD,∠APB=∠ADC, ∵PB≥PC,PB=CD,∴CD≥PC,∴∠CPD≥∠CDP, ∵AP=AD, ∴∠APD=∠ADP, ∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP,即∠APC≥∠ADC, 又∵∠APB=∠ADC,∴∠APC≥∠APB,与∠APB>∠APC矛盾, ∴PB≥PC不成立,∴PB教学反思 学 反证法在我国中学数学教育中有着重要地位，是中学数学教材中平面几何部分的重要内容，也是几何相关问题证明的重要手段。教师在教学过程中需要充分准备，通过生动的案例和详细的解释，帮助学生逐步理解反证法的思想和应用。同时，在教学过程中，教师还需帮助学生逐步理解和掌握反证法的思想和应用技巧，通过大量的练习和实践，提高学生的应用能力和解题水平。
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