浙教版八年级数学（上）寒假作业（五）4.2 平行四边形
一、4.2 平行四边形（1）—选择题
1．在平行四边形中，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∠B=∠D，
∠B+∠D=110°，
∠B=55°，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质，可知∠B=∠D，结合∠B+∠D=110°，计算可得∠B的度数；
2．如图，中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
AB//CD，
∠A+∠D=180°，
∠D=180°-∠A=180°-70°=110°，
故答案为：D.
【分析】 根据平行四边形的性质，可得AB//CD，然后根据平行线的性质得到∠A+∠D=180°，进行计算得到∠D的度数。
3．在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，
AD//BC，∠A=∠C，
∠A+∠B=180°，
∠A：∠B=2：3，
设∠A=2x，∠B=3x，
则2x+3x=180，
解得x=36，
则∠A=72°，
则∠C=72°，
故答案为：B.
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形，得到AD//BC，∠A=∠C，进行得到∠A+∠B=180°，然后根据∠A：∠B=2：3，得到∠A的度数，即可得到∠C的度数。
4．如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，
AD=BC=10，AB=CD=6，AD//BC，
∠FBC=∠AFB，∠DEC=∠BCE，
平分，平分，
∠ABF=∠CBF，∠DCE=∠BCE，
∠ABF=∠AFB，∠DEC=∠DCE，
AB=AE=6，DE=DC=6，
EF=AF+DE-AD=6+6-10=2，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质，得到AD//BC，AD=BC，AB=CD，然后根据BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，得到△ABF和△CDE为等腰三角形，然后利用线段的和差计算即可得到EF的长.
5．如图，在中，，，平分，交边于点E，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
AD//BC，BC=AD=12，
∠DAE=∠AEB，
AE平分∠BAD，
∠DAE=∠BAE，
∠BAE=∠AEB，
BE=AB=8，
CE=BC-BE=12-8=4，
故答案为：C.
【分析】首先根据平行四边形的性质，得到BC=AD，AD//BC，又根据角平分线的定义，得到▲ABE为等腰三角形，进而利用线段的和差得到CE的长.
二、4.2 平行四边形（1）填空题
6．在中，若，则的度数为 度。
【答案】65
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，
AD//BC，
∠A+∠B=180°，
∠A=∠B+50°，
∠B=65°，
故答案为：65.
【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，进而得到∠A+∠B=180°，再根据∠A=∠B+50°，即可得到∠B的度数.
7．（2025八下·渌口月考）平行四边形中，，，则平行四边形的周长为 ．
【答案】28
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形中，，，
∴平行四边形的周长为．
故答案为：28．
【分析】利用平行四边形的对边相等，可求出平行四边形的周长.
8．如图，在 ABCD 中，若∠A=2∠B，则∠D= °.
【答案】60
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，
AD//BC，∠B=∠D，
∠A+∠B=180°，
∠A=2∠B，
∠B=60°，
∠D=60°，
故答案为：60.
【分析】根据平行四边形的性质，得到AD//BC，∠B=∠D，进而得到∠A+∠B=180°，根据∠A=2∠B，得到∠B的度数.
9．如图，在平行四边形 中， ， 的平分线 交 于点E，连接 ，若 ，则平行四边形 的面积为 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点B作BF⊥CE于点F，
四边形ABCD为平行四边形，
AB//CD，AD=BC=5，∠BAD=∠C，
∠DEA=∠BAE，
AE平分∠BAD，
∠DAE=∠BAE，
∠DAE=∠DEA，
DA=DE=3，
CE=CD-DE=2，
∠BAD=∠BEC，
∠C=∠BEC，
BE=BC=3，
EF=CF=1，
在Rt△BCF中，由勾股定理得BF=，
平行四边形 的面积为CD×BF=5×=，
故答案为：.
【分析】首先根据平行四边形的性质，得到AB//CD，AD=BC，∠BAD=∠C，进而得到∠DEA=∠BAE，根据AE平分∠BAD，得到▲ADE为等腰三角形，进行得到CE的长，再根据∠BAD=∠BEC，得到BC=BE，然后过点B做垂线，利用勾股定理得到高，利用平行四边形的面积公式计算即可.
10．如图3，在 ABCD中，AB＝5，AD＝8，DE平分∠ADC，则BE＝ 。
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=8，CD=AB=5，
∠CED=∠ADE，
∵DE平分∠ADC，
∠ADE=∠CDE，
∠CDE=∠CED，
CE=CD=5，
BE=BC-CE=8-5=3，
故答案为：3.
【分析】首先根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC，然后结合角平分线的定义，得到△CDE为等腰三角形，进而得到CE的长，然后用BC-CE即可得到BE的长.
三、4.2 平行四边形（1）解答题
11．如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，平分，则的长为 ．
【答案】（1）证明：是边的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
（2）4
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（2）由（1）知，
AD=CF，
四边形ABCD是平行四边形，
AD=BC=CF=2，AD//CF，
∠DAF=∠F，BF=4，
AF平分∠BAD，
∠DAF=∠BAF，
∠DAF=∠F，
AB=BF=4，
故答案为：4.
【分析】（1）根据E是AD的中点得到DE=CE，结合平行四边形的性质即可得到AD//CF，然后用平行线的性质得到∠D=∠ECF，则可以用ASA判断两三角形全等；
（2）在（1）的基础上得到AD=CF，进而根据平行四边形的性质得到AD//BC，AD=BC得到BF=4，然后利用平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF=∠F，最后根据等角对等边即可得到AB的长.
12．如图，在 中， 于 ， 于 ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
【答案】（1）证明： 在平行四边形 中， ，
又 ，
，
， ．
，
在 和 中，
（2）解：在 中， ， ，
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）首先根据平行四边形的性质，得到AD//CB，AD=CB，得到∠DAE=∠BCF，然后根据垂直得到∠DEA=∠BFC，即可用AAS证明全等；
（2）在（1）的基础上得到∠CBF=∠ADE，在RT▲ADE中，根据∠DAE=35°，根据三角形内角和得到∠ADE即可.
13． 如图， 在平行四边形 中， 于点 于点 ， 求证 .
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中
，
，
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】首先根据平行四边形的性质，得到AB=CD，AB//CD，得到∠BAE=∠DCF，然后根据垂直得到∠AEB=∠CFD，进而证明△AEB≌△CFD，然后利用全等三角形的性质得到BE=DF.
14．如图，在 ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E.
（1）求证：AB=AE；
（2）若BC=2AE，∠E=34°，求∠DAB的度数.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，BC=AD，
∴∠E=∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF=DF，
在△AFE和△DFC中，
∴△AFE≌△DFC(AAS)，
∴CD=AE，
∴AB=AE
（2）解：由(1)可得AF=DF，BC=AD，
∴BC=2AF
∵BC=2AE，
∴AE=AF，
∵∠E=34°，
∴∠AFE=∠E=34°
∴∠DAB=2∠E=68°
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)首先根据平行四边形的性质，得到对边平行且相等，然后利用平行线的性质得到内错角相等，接着根据点F是AD的中点，得到AF=DF，即可证明△AFE≌△DFC，然后得到CD=AE，即可证明AB=AE；
(2)由（1）得到AF=DF，BC=AD，得到BC=2AE，然后根据等边对等角得到∠AFE=∠E，接着用三角形外角的性质，得到∠DAB的度数.
15．如图，已知：平行四边形中，，的平分线交于点E，且点E刚好落在上，分别延长、交于F．
（1）与之间有什么数量关系？并证明你的猜想；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）解：，
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可证明，
∵，
∴，
∴
（2）解：过点A作于G点，如图，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)首先根据平行四边形的性质，得到AD//BC，AB=CD，然后结合角平分线得到∠ABE=∠AEB，得到AB=AE和AB=CD，进而即可得到CD=2AB；
(2)过点A作垂线，利用平行四边形的性质得到BC=AD=4，然后根据三角形内角和得到∠GAB=30°，然后利用30°角直角三角形的性质，得到BG的长，然后利用勾股定理得到AG，进而得到平行四边形的面积，接着证明，从而得到的面积.
四、4.2 平行四边形（2）—选择题
16．如图，方格图中每个小正方形的边长为 1 ，则两平行线 之间的距离是 ( )
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：观察图形，根据平行线间距离的定义，可以发现两条直线互相平行，垂直方向的小正方形有三格，故可以确定两平行线AB，CD之间的距离为3.
故答案为：C.
【分析】 利用平行线间距离的定义（垂直于平行线的线段长度），观察方格图中 AB 与 CD 之间垂直方向的小正方形边长数量，即可得到.
17．如图在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD=10cm2，则S△ACD=（ ）
A．10cm2 B．9cm2 C．8cm2 D．7cm2
【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：已知AD∥BC，则△ABD和△ACD共享底边AD，且这两个三角形的高是AD与BC之间的距离（平行线间距离处处相等）。
根据三角形面积公式：，
△ABD和△ACD的底（AD）相同、高相等，
它们的面积相等。
已知，
，
故答案为：A.
【分析】因为AD∥BC，所以△ABD和△ACD以AD为底时，高是相同的（平行线间的距离处处相等），根据三角形面积公式 “面积 = 底 × 高 ÷2”，同底等高的三角形面积相等， 即可确定答案.
18．已知在同一平面内，直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，那么直线与的距离是（ ）
A． B． C．2或 D．不能确定
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：已知直线a∥b∥c，需分两种位置情况分析：
当直线b在a和c之间时：
直线a与c的距离 = 直线a与b的距离 + 直线b与c的距离，即3cm+5cm=8cm。
当直线a在b和c之间时：
直线a与c的距离 = 直线b与c的距离 - 直线a与b的距离，即5cm 3cm=2cm。
直线a与c的距离是2cm或8cm。
故答案为：C.
【分析】分两种情况讨论：直线b在直线a和c之间，或直线a在直线b和c之间，根据平行线间距离的叠加 / 相减关系计算a与c的距离。
19．如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（ ）
A．AC=BP B．△ABC的周长等于△BCP的周长
C．△ABC的面积等于△ABP的面积 D．△ABC的面积等于△PBC的面积
【答案】D
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：已知m∥n，直线m、n之间的距离为定值。
选项 A：AC和BP是两条线段，无已知条件（如全等、等腰）能证明它们长度相等，故A错误；
选项 B：△ABC的周长为AB+BC+AC，△BCP的周长为BP+BC+PC，AB与BP、AC与PC长度不一定相等，故周长不一定相等，B 错误；
选项 C：△ABC以BC为底时，高是m、n间的距离；△ABP以AP为底时，高是点B到m的距离，底和高均不对应相等，面积不一定相等，C 错误；
选项 D：△ABC和△PBC共享底边BC，且高都是m、n之间的距离（平行线间距离相等），根据 “同底等高的三角形面积相等”，可知，D 正确。
故答案为：D.
【分析】 根据 “平行线间距离处处相等”，结合三角形面积公式（面积 = 底 × 高 ÷2），分析各选项中三角形的底和高的关系，判断面积或边长是否相等。
20．如图，直线a∥b，则直线a，b之间距离是（ ）
A．线段AB的长度 B．线段CD的长度
C．线段EF的长度 D．线段GH的长度
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解： 利用平行线间距离的定义：垂直于平行线的线段长度，
观察图形，可以发现CD⊥b，
故线段CD的长度是直线a，b之间的距离.
故答案为：B.
【分析】根据平行线间的距离的定义，可以确定正确的选项.
五、4.2 平行四边形（2）—填空题
21．如图，直线，且、之间相距，点是直线上一定点，点在直线上运动，则在点的运动过程中，线段的最小值是 ．
【答案】4
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：已知直线a∥b，且a、b之间的距离为 4cm。
根据几何性质：平行线间的垂线段长度是两直线上任意两点连线的最小值（其他连线都是斜线，长度大于垂线段）。
当点 Q 运动到 “PQ 垂直于直线a（或b）” 的位置时，线段 PQ 的长度最小，其值等于a、b之间的距离，即 4cm。
线段 PQ 的最小值是4 cm。
故答案为：4.
【分析】 根据 “平行线间的距离是两直线间垂线段的长度，且垂线段是两直线上点连线中最短的”，可知当 PQ 垂直于直线 a（或 b）时，PQ 长度最小，其值等于平行线 a、b 之间的距离。
22．如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点，若，，则平行线，之间的距离是 。
【答案】3
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：已知直线a∥b∥c，直线d与它们垂直，因此：
线段AB是平行线a、b之间的垂线段，其长度就是a、b之间的距离；
线段BC是平行线b、c之间的垂线段，长度为 6；线段AC是平行线a、c之间的垂线段，长度为 9。
根据线段的和差关系：AB=AC BC，代入数值得：AB=9 6=3。
平行线a、b之间的距离是3 。
故答案为：3.
【分析】利用 “平行线的垂线与平行线相交的线段长度，就是对应平行线间的距离”，通过线段AC和BC的长度差，求出平行线a、b之间的距离。
23．如图，在平行四边形中，于点，于点，则直线与间的距离是线段 的长度．（填图中已有线段）
【答案】AP
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC（平行四边形对边平行）。
已知AP⊥BC于点P，则线段AP是AD与BC之间的垂线段。
根据 “平行线间的距离是两直线间垂线段的长度”，可知直线AD与BC间的距离是线段AP的长度。
答案是AP 。
故答案为：AP.
【分析】先明确平行四边形中AD∥BC，再根据 “平行线间的距离是两直线间垂线段的长度”，找到AD与BC之间的垂线段，即可确定距离对应的线段。
24．如图，直线AE∥BD，点C在BD上．若BD=9，△ABD的面积为27，△ACE的面积为18，则AE= ．
【答案】6
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：AE∥BD，
△ABD中BD边上的高，等于AE与BD之间的距离。
已知=27，BD=9，
设高为h，则：27=9×h÷2
解得：h=6
△ACE以AE为底时，
高就是AE与BD之间的距离h=6。
已知 =18，代入面积公式：18=21 ×AE×6
解得：AE=6，
故答案为：6.
【分析】先利用△ABD的面积求出AE与BD之间的距离（平行线间的距离），再结合△ACE的面积公式求出AE的长度即可。
25．在□ABCD 中，∠A=150°，AB=8cm，BC=10cm，若点 P 是□ABCD 上 AD 上任意一点，那么△PBC 的面积是 。
【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=150°，
则∠B=180° 150°=30°，
过A作BC的垂线，高h=AB×=4，
AD∥BC，
点P到BC的距离等于AD与BC之间的高h=4cm，
根据三角形面积公式，△PBC的底BC=10cm，高为4cm，
故答案为：.
【分析】先利用平行四边形的性质，求出AD与BC之间的高（即△PBC中BC边上的高），再结合三角形面积公式计算△PBC的面积。
六、4.2 平行四边形（2）—解答题
26．有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程．
（1）探索：已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB=CD．应用此定理进行证明求解．
（2）应用一、已知：如图2，AD∥BC，AD＜BC，AB=CD．求证：∠B=∠C；
（3）应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC=4，BD=3．求：AD与BC两条线段的和．
【答案】（1）证明：如图1，
连接AC，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA
∵AB∥CD．∴∠BAC=∠DCA
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
∴AB=CD
（2）证明：如图2，
作DE∥AB交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴AB=DE
∵AB=CD，
∴DE=CD，
∴∠DEC=∠C
∵DE∥AB，
∴∠B=∠DEC，
∴∠B=∠C；
（3）解：如图3，
作DF∥AC交BC的延长线于点F
∵AD∥BC，∴AC=DF、AD=CF，
∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BEC，
∵AC⊥BD，∴∠BDF=∠BEC=90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：BF=5，
故BC+AD=BC+CF=BF=5
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理的应用；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】 (1) 连接 AC，利用平行线的内错角相等，结合 AC 为公共边，通过 ASA 证明△ABC≌△CDA，从而得 AB=CD。
(2) 作 DE∥AB 构造平行线段，结合已知 AB=CD 推出 DE=CD，利用平行线的同位角相等和等腰三角形的底角相等，推导得∠B=∠C。
(3)利用 “平行线间平行线段相等”，将 AD 与 BC 的垂线段转化为 AC（或 BD 相关），结合 AC⊥BD 的条件，通过面积法计算两条线段的积。
27．如图，在 ABCD中，BE⊥CD 于点 E，BF⊥AD于点 F.
（1）请表示出平行线 AD与BC 之间的距离.
（2）若 BE=2cm，BF=4cm，求平行线 AB与CD 之间的距离.
【答案】（1）解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵BF⊥AD，
∴平行线 AD与BC 之间的距离是BF的长
（2）解：∵DC∥AB，BE⊥CD，
∴平行线 AB与CD 之间的距离是BE的长，
∴平行线 AB与CD 之间的距离是2cm
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质
【解析】【分析】 (1) 根据平行四边形对边平行的性质，结合 “平行线间的距离是垂线段长度”，确定 AD 与 BC 的垂线段 BF 的长即为其距离。
(2) 利用平行四边形面积的两种表示方法（以 AD 为底乘 BF、以 CD 为底乘 AB 与 CD 的距离），结合 AB=CD 的性质，通过面积相等求出 AB 与 CD 之间的距离。
28．如图，直线m∥n，A，B为直线n上两点，C，P为直线上两点．
（1）如果固定A，B，C，点P在直线m上移动，那么：不论点P移动到何处，总有△ 与△ABC的面积相等，理由是 ；
（2）如果P处在如图所示位置，请写出另外两对面积相等的三角形：
① ；② ．
【答案】（1）PAB；同底等高
（2）△PAC的面积与△PBC的面积相等；△OAC的面积与△PBO的面积相等
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）已知直线m∥n，△ABC 和△PAB 的公共底为AB，且点C、P都在直线m上，所以C、P到直线n的距离相等（平行线间距离处处相等），即△ABC 和△PAB “同底等高”。
根据三角形面积公式（面积 = 底 × 高 ÷2），同底等高的三角形面积相等，
故总有△PAB与△ABC 的面积相等。
（2）① 观察△ACP和△BCP：
它们以CP为公共底，且A、B在直线n上，CP在直线m上，A、B到直线m的距离相等（平行线间距离相等），即△ACP和△BCP同底等高，故面积相等。
② 观察△AOC和△BOP：
由 (1) 知，同时减去公共部分△AOB的面积，可得 ，即。
故答案为：（1）PAB，同等底高；（2）△PAC的面积与△PBC的面积相等；△OAC的面积与△PBO的面积相等.
【分析】（1）根据 “平行线间距离处处相等”，确定△PAB 与△ABC 同底（AB）且等高，因此面积相等。
（2）利用 “同底等高” 或 “公共部分面积相减” 的思路，找出另外两对面积相等的三角形。
29．根据题意解答
（1）观察发现：
如图（1），已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上，当点P在直线m上移动到任意一位置时，总有 与△ABC的面积相等．
（2）实践应用
①如图（2），在△ABC中，已知BC=6，且BC边上的高为5，若过C作CE∥AB，连接AE，BE，则△BAE的面积= ；
（3）②如图（3），A、B、E三点在同一直线上，四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，若AB=5，AC=4，求△ACF的面积．
（4）拓展延伸
如图（4），在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画一条直线平分四边形ABCD面积（简单介绍作法，不必说明理由）
【答案】（1）△APB
（2）15
（3）解：如图（3），
过点B作BH⊥AC于点H，连接BF．
∵AB=BC，
∴AH= AC=2．
在直角△AHB中，BH=== ．
∴S△ABC= ×4×=2 ．
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，
∴AC∥BF，
∴S△ACF=S△ABC=2
（4）解：如图所示．
过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴有S△ABC=S△AEC，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；
∵S△ACD＞S△ABC，
所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】（1）已知直线m∥n，A、B在直线n上，C、P在直线m上，
m∥n，所以点C、P到直线n的距离相等（平行线间距离处处相等），
△ABC和△APB以AB为公共底，且高相等（即C、P到AB的距离），
根据三角形面积公式，同底等高的三角形面积相等，
总有△APB与△ABC的面积相等。
（2）已知在△ABC中，BC=6，BC边上的高为5，根据三角形面积公式，可得：。
又CE∥AB，所以△BAE与△ABC以AB为公共底，且高相等（平行线AB与CE间的距离），
即△BAE与△ABC同底等高。
根据 “同底等高的三角形面积相等”，可得。
故答案为：（1）△APB，（2）15.
【分析】 (1) 利用 “平行线间距离相等”，△APB 与△ABC 同底（AB）等高，故面积相等，
(2)①由 CE∥AB，△BAE 与△ABC 同底等高，用△ABC 面积公式计算得△BAE 面积，
(3)②通过平行四边形性质得 AC∥BF，△ACF 与△ABC 同底等高，先求△ABC 面积再得△ACF 面积，
(4)连接 AC，取 CD 上一点 E 使 CE=AB，连接 AE，再取 DE 中点，作过该中点与 A 的直线平分面积。
1 / 1浙教版八年级数学（上）寒假作业（五）4.2 平行四边形
一、4.2 平行四边形（1）—选择题
1．在平行四边形中，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在中，，，平分，交边于点E，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
二、4.2 平行四边形（1）填空题
6．在中，若，则的度数为 度。
7．（2025八下·渌口月考）平行四边形中，，，则平行四边形的周长为 ．
8．如图，在 ABCD 中，若∠A=2∠B，则∠D= °.
9．如图，在平行四边形 中， ， 的平分线 交 于点E，连接 ，若 ，则平行四边形 的面积为 .
10．如图3，在 ABCD中，AB＝5，AD＝8，DE平分∠ADC，则BE＝ 。
三、4.2 平行四边形（1）解答题
11．如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，平分，则的长为 ．
12．如图，在 中， 于 ， 于 ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
13． 如图， 在平行四边形 中， 于点 于点 ， 求证 .
14．如图，在 ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E.
（1）求证：AB=AE；
（2）若BC=2AE，∠E=34°，求∠DAB的度数.
15．如图，已知：平行四边形中，，的平分线交于点E，且点E刚好落在上，分别延长、交于F．
（1）与之间有什么数量关系？并证明你的猜想；
（2）若，，求的面积．
四、4.2 平行四边形（2）—选择题
16．如图，方格图中每个小正方形的边长为 1 ，则两平行线 之间的距离是 ( )
A．5 B．4 C．3 D．2
17．如图在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD=10cm2，则S△ACD=（ ）
A．10cm2 B．9cm2 C．8cm2 D．7cm2
18．已知在同一平面内，直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，那么直线与的距离是（ ）
A． B． C．2或 D．不能确定
19．如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（ ）
A．AC=BP B．△ABC的周长等于△BCP的周长
C．△ABC的面积等于△ABP的面积 D．△ABC的面积等于△PBC的面积
20．如图，直线a∥b，则直线a，b之间距离是（ ）
A．线段AB的长度 B．线段CD的长度
C．线段EF的长度 D．线段GH的长度
五、4.2 平行四边形（2）—填空题
21．如图，直线，且、之间相距，点是直线上一定点，点在直线上运动，则在点的运动过程中，线段的最小值是 ．
22．如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点，若，，则平行线，之间的距离是 。
23．如图，在平行四边形中，于点，于点，则直线与间的距离是线段 的长度．（填图中已有线段）
24．如图，直线AE∥BD，点C在BD上．若BD=9，△ABD的面积为27，△ACE的面积为18，则AE= ．
25．在□ABCD 中，∠A=150°，AB=8cm，BC=10cm，若点 P 是□ABCD 上 AD 上任意一点，那么△PBC 的面积是 。
六、4.2 平行四边形（2）—解答题
26．有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程．
（1）探索：已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB=CD．应用此定理进行证明求解．
（2）应用一、已知：如图2，AD∥BC，AD＜BC，AB=CD．求证：∠B=∠C；
（3）应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC=4，BD=3．求：AD与BC两条线段的和．
27．如图，在 ABCD中，BE⊥CD 于点 E，BF⊥AD于点 F.
（1）请表示出平行线 AD与BC 之间的距离.
（2）若 BE=2cm，BF=4cm，求平行线 AB与CD 之间的距离.
28．如图，直线m∥n，A，B为直线n上两点，C，P为直线上两点．
（1）如果固定A，B，C，点P在直线m上移动，那么：不论点P移动到何处，总有△ 与△ABC的面积相等，理由是 ；
（2）如果P处在如图所示位置，请写出另外两对面积相等的三角形：
① ；② ．
29．根据题意解答
（1）观察发现：
如图（1），已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上，当点P在直线m上移动到任意一位置时，总有 与△ABC的面积相等．
（2）实践应用
①如图（2），在△ABC中，已知BC=6，且BC边上的高为5，若过C作CE∥AB，连接AE，BE，则△BAE的面积= ；
（3）②如图（3），A、B、E三点在同一直线上，四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，若AB=5，AC=4，求△ACF的面积．
（4）拓展延伸
如图（4），在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画一条直线平分四边形ABCD面积（简单介绍作法，不必说明理由）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∠B=∠D，
∠B+∠D=110°，
∠B=55°，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质，可知∠B=∠D，结合∠B+∠D=110°，计算可得∠B的度数；
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
AB//CD，
∠A+∠D=180°，
∠D=180°-∠A=180°-70°=110°，
故答案为：D.
【分析】 根据平行四边形的性质，可得AB//CD，然后根据平行线的性质得到∠A+∠D=180°，进行计算得到∠D的度数。
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，
AD//BC，∠A=∠C，
∠A+∠B=180°，
∠A：∠B=2：3，
设∠A=2x，∠B=3x，
则2x+3x=180，
解得x=36，
则∠A=72°，
则∠C=72°，
故答案为：B.
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形，得到AD//BC，∠A=∠C，进行得到∠A+∠B=180°，然后根据∠A：∠B=2：3，得到∠A的度数，即可得到∠C的度数。
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，
AD=BC=10，AB=CD=6，AD//BC，
∠FBC=∠AFB，∠DEC=∠BCE，
平分，平分，
∠ABF=∠CBF，∠DCE=∠BCE，
∠ABF=∠AFB，∠DEC=∠DCE，
AB=AE=6，DE=DC=6，
EF=AF+DE-AD=6+6-10=2，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质，得到AD//BC，AD=BC，AB=CD，然后根据BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，得到△ABF和△CDE为等腰三角形，然后利用线段的和差计算即可得到EF的长.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
AD//BC，BC=AD=12，
∠DAE=∠AEB，
AE平分∠BAD，
∠DAE=∠BAE，
∠BAE=∠AEB，
BE=AB=8，
CE=BC-BE=12-8=4，
故答案为：C.
【分析】首先根据平行四边形的性质，得到BC=AD，AD//BC，又根据角平分线的定义，得到▲ABE为等腰三角形，进而利用线段的和差得到CE的长.
6．【答案】65
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，
AD//BC，
∠A+∠B=180°，
∠A=∠B+50°，
∠B=65°，
故答案为：65.
【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，进而得到∠A+∠B=180°，再根据∠A=∠B+50°，即可得到∠B的度数.
7．【答案】28
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形中，，，
∴平行四边形的周长为．
故答案为：28．
【分析】利用平行四边形的对边相等，可求出平行四边形的周长.
8．【答案】60
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，
AD//BC，∠B=∠D，
∠A+∠B=180°，
∠A=2∠B，
∠B=60°，
∠D=60°，
故答案为：60.
【分析】根据平行四边形的性质，得到AD//BC，∠B=∠D，进而得到∠A+∠B=180°，根据∠A=2∠B，得到∠B的度数.
9．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点B作BF⊥CE于点F，
四边形ABCD为平行四边形，
AB//CD，AD=BC=5，∠BAD=∠C，
∠DEA=∠BAE，
AE平分∠BAD，
∠DAE=∠BAE，
∠DAE=∠DEA，
DA=DE=3，
CE=CD-DE=2，
∠BAD=∠BEC，
∠C=∠BEC，
BE=BC=3，
EF=CF=1，
在Rt△BCF中，由勾股定理得BF=，
平行四边形 的面积为CD×BF=5×=，
故答案为：.
【分析】首先根据平行四边形的性质，得到AB//CD，AD=BC，∠BAD=∠C，进而得到∠DEA=∠BAE，根据AE平分∠BAD，得到▲ADE为等腰三角形，进行得到CE的长，再根据∠BAD=∠BEC，得到BC=BE，然后过点B做垂线，利用勾股定理得到高，利用平行四边形的面积公式计算即可.
10．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=8，CD=AB=5，
∠CED=∠ADE，
∵DE平分∠ADC，
∠ADE=∠CDE，
∠CDE=∠CED，
CE=CD=5，
BE=BC-CE=8-5=3，
故答案为：3.
【分析】首先根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC，然后结合角平分线的定义，得到△CDE为等腰三角形，进而得到CE的长，然后用BC-CE即可得到BE的长.
11．【答案】（1）证明：是边的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
（2）4
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（2）由（1）知，
AD=CF，
四边形ABCD是平行四边形，
AD=BC=CF=2，AD//CF，
∠DAF=∠F，BF=4，
AF平分∠BAD，
∠DAF=∠BAF，
∠DAF=∠F，
AB=BF=4，
故答案为：4.
【分析】（1）根据E是AD的中点得到DE=CE，结合平行四边形的性质即可得到AD//CF，然后用平行线的性质得到∠D=∠ECF，则可以用ASA判断两三角形全等；
（2）在（1）的基础上得到AD=CF，进而根据平行四边形的性质得到AD//BC，AD=BC得到BF=4，然后利用平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF=∠F，最后根据等角对等边即可得到AB的长.
12．【答案】（1）证明： 在平行四边形 中， ，
又 ，
，
， ．
，
在 和 中，
（2）解：在 中， ， ，
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）首先根据平行四边形的性质，得到AD//CB，AD=CB，得到∠DAE=∠BCF，然后根据垂直得到∠DEA=∠BFC，即可用AAS证明全等；
（2）在（1）的基础上得到∠CBF=∠ADE，在RT▲ADE中，根据∠DAE=35°，根据三角形内角和得到∠ADE即可.
13．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中
，
，
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】首先根据平行四边形的性质，得到AB=CD，AB//CD，得到∠BAE=∠DCF，然后根据垂直得到∠AEB=∠CFD，进而证明△AEB≌△CFD，然后利用全等三角形的性质得到BE=DF.
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，BC=AD，
∴∠E=∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF=DF，
在△AFE和△DFC中，
∴△AFE≌△DFC(AAS)，
∴CD=AE，
∴AB=AE
（2）解：由(1)可得AF=DF，BC=AD，
∴BC=2AF
∵BC=2AE，
∴AE=AF，
∵∠E=34°，
∴∠AFE=∠E=34°
∴∠DAB=2∠E=68°
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)首先根据平行四边形的性质，得到对边平行且相等，然后利用平行线的性质得到内错角相等，接着根据点F是AD的中点，得到AF=DF，即可证明△AFE≌△DFC，然后得到CD=AE，即可证明AB=AE；
(2)由（1）得到AF=DF，BC=AD，得到BC=2AE，然后根据等边对等角得到∠AFE=∠E，接着用三角形外角的性质，得到∠DAB的度数.
15．【答案】（1）解：，
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可证明，
∵，
∴，
∴
（2）解：过点A作于G点，如图，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)首先根据平行四边形的性质，得到AD//BC，AB=CD，然后结合角平分线得到∠ABE=∠AEB，得到AB=AE和AB=CD，进而即可得到CD=2AB；
(2)过点A作垂线，利用平行四边形的性质得到BC=AD=4，然后根据三角形内角和得到∠GAB=30°，然后利用30°角直角三角形的性质，得到BG的长，然后利用勾股定理得到AG，进而得到平行四边形的面积，接着证明，从而得到的面积.
16．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：观察图形，根据平行线间距离的定义，可以发现两条直线互相平行，垂直方向的小正方形有三格，故可以确定两平行线AB，CD之间的距离为3.
故答案为：C.
【分析】 利用平行线间距离的定义（垂直于平行线的线段长度），观察方格图中 AB 与 CD 之间垂直方向的小正方形边长数量，即可得到.
17．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：已知AD∥BC，则△ABD和△ACD共享底边AD，且这两个三角形的高是AD与BC之间的距离（平行线间距离处处相等）。
根据三角形面积公式：，
△ABD和△ACD的底（AD）相同、高相等，
它们的面积相等。
已知，
，
故答案为：A.
【分析】因为AD∥BC，所以△ABD和△ACD以AD为底时，高是相同的（平行线间的距离处处相等），根据三角形面积公式 “面积 = 底 × 高 ÷2”，同底等高的三角形面积相等， 即可确定答案.
18．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：已知直线a∥b∥c，需分两种位置情况分析：
当直线b在a和c之间时：
直线a与c的距离 = 直线a与b的距离 + 直线b与c的距离，即3cm+5cm=8cm。
当直线a在b和c之间时：
直线a与c的距离 = 直线b与c的距离 - 直线a与b的距离，即5cm 3cm=2cm。
直线a与c的距离是2cm或8cm。
故答案为：C.
【分析】分两种情况讨论：直线b在直线a和c之间，或直线a在直线b和c之间，根据平行线间距离的叠加 / 相减关系计算a与c的距离。
19．【答案】D
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：已知m∥n，直线m、n之间的距离为定值。
选项 A：AC和BP是两条线段，无已知条件（如全等、等腰）能证明它们长度相等，故A错误；
选项 B：△ABC的周长为AB+BC+AC，△BCP的周长为BP+BC+PC，AB与BP、AC与PC长度不一定相等，故周长不一定相等，B 错误；
选项 C：△ABC以BC为底时，高是m、n间的距离；△ABP以AP为底时，高是点B到m的距离，底和高均不对应相等，面积不一定相等，C 错误；
选项 D：△ABC和△PBC共享底边BC，且高都是m、n之间的距离（平行线间距离相等），根据 “同底等高的三角形面积相等”，可知，D 正确。
故答案为：D.
【分析】 根据 “平行线间距离处处相等”，结合三角形面积公式（面积 = 底 × 高 ÷2），分析各选项中三角形的底和高的关系，判断面积或边长是否相等。
20．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解： 利用平行线间距离的定义：垂直于平行线的线段长度，
观察图形，可以发现CD⊥b，
故线段CD的长度是直线a，b之间的距离.
故答案为：B.
【分析】根据平行线间的距离的定义，可以确定正确的选项.
21．【答案】4
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：已知直线a∥b，且a、b之间的距离为 4cm。
根据几何性质：平行线间的垂线段长度是两直线上任意两点连线的最小值（其他连线都是斜线，长度大于垂线段）。
当点 Q 运动到 “PQ 垂直于直线a（或b）” 的位置时，线段 PQ 的长度最小，其值等于a、b之间的距离，即 4cm。
线段 PQ 的最小值是4 cm。
故答案为：4.
【分析】 根据 “平行线间的距离是两直线间垂线段的长度，且垂线段是两直线上点连线中最短的”，可知当 PQ 垂直于直线 a（或 b）时，PQ 长度最小，其值等于平行线 a、b 之间的距离。
22．【答案】3
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：已知直线a∥b∥c，直线d与它们垂直，因此：
线段AB是平行线a、b之间的垂线段，其长度就是a、b之间的距离；
线段BC是平行线b、c之间的垂线段，长度为 6；线段AC是平行线a、c之间的垂线段，长度为 9。
根据线段的和差关系：AB=AC BC，代入数值得：AB=9 6=3。
平行线a、b之间的距离是3 。
故答案为：3.
【分析】利用 “平行线的垂线与平行线相交的线段长度，就是对应平行线间的距离”，通过线段AC和BC的长度差，求出平行线a、b之间的距离。
23．【答案】AP
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC（平行四边形对边平行）。
已知AP⊥BC于点P，则线段AP是AD与BC之间的垂线段。
根据 “平行线间的距离是两直线间垂线段的长度”，可知直线AD与BC间的距离是线段AP的长度。
答案是AP 。
故答案为：AP.
【分析】先明确平行四边形中AD∥BC，再根据 “平行线间的距离是两直线间垂线段的长度”，找到AD与BC之间的垂线段，即可确定距离对应的线段。
24．【答案】6
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：AE∥BD，
△ABD中BD边上的高，等于AE与BD之间的距离。
已知=27，BD=9，
设高为h，则：27=9×h÷2
解得：h=6
△ACE以AE为底时，
高就是AE与BD之间的距离h=6。
已知 =18，代入面积公式：18=21 ×AE×6
解得：AE=6，
故答案为：6.
【分析】先利用△ABD的面积求出AE与BD之间的距离（平行线间的距离），再结合△ACE的面积公式求出AE的长度即可。
25．【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=150°，
则∠B=180° 150°=30°，
过A作BC的垂线，高h=AB×=4，
AD∥BC，
点P到BC的距离等于AD与BC之间的高h=4cm，
根据三角形面积公式，△PBC的底BC=10cm，高为4cm，
故答案为：.
【分析】先利用平行四边形的性质，求出AD与BC之间的高（即△PBC中BC边上的高），再结合三角形面积公式计算△PBC的面积。
26．【答案】（1）证明：如图1，
连接AC，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA
∵AB∥CD．∴∠BAC=∠DCA
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
∴AB=CD
（2）证明：如图2，
作DE∥AB交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴AB=DE
∵AB=CD，
∴DE=CD，
∴∠DEC=∠C
∵DE∥AB，
∴∠B=∠DEC，
∴∠B=∠C；
（3）解：如图3，
作DF∥AC交BC的延长线于点F
∵AD∥BC，∴AC=DF、AD=CF，
∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BEC，
∵AC⊥BD，∴∠BDF=∠BEC=90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：BF=5，
故BC+AD=BC+CF=BF=5
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理的应用；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】 (1) 连接 AC，利用平行线的内错角相等，结合 AC 为公共边，通过 ASA 证明△ABC≌△CDA，从而得 AB=CD。
(2) 作 DE∥AB 构造平行线段，结合已知 AB=CD 推出 DE=CD，利用平行线的同位角相等和等腰三角形的底角相等，推导得∠B=∠C。
(3)利用 “平行线间平行线段相等”，将 AD 与 BC 的垂线段转化为 AC（或 BD 相关），结合 AC⊥BD 的条件，通过面积法计算两条线段的积。
27．【答案】（1）解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵BF⊥AD，
∴平行线 AD与BC 之间的距离是BF的长
（2）解：∵DC∥AB，BE⊥CD，
∴平行线 AB与CD 之间的距离是BE的长，
∴平行线 AB与CD 之间的距离是2cm
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质
【解析】【分析】 (1) 根据平行四边形对边平行的性质，结合 “平行线间的距离是垂线段长度”，确定 AD 与 BC 的垂线段 BF 的长即为其距离。
(2) 利用平行四边形面积的两种表示方法（以 AD 为底乘 BF、以 CD 为底乘 AB 与 CD 的距离），结合 AB=CD 的性质，通过面积相等求出 AB 与 CD 之间的距离。
28．【答案】（1）PAB；同底等高
（2）△PAC的面积与△PBC的面积相等；△OAC的面积与△PBO的面积相等
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）已知直线m∥n，△ABC 和△PAB 的公共底为AB，且点C、P都在直线m上，所以C、P到直线n的距离相等（平行线间距离处处相等），即△ABC 和△PAB “同底等高”。
根据三角形面积公式（面积 = 底 × 高 ÷2），同底等高的三角形面积相等，
故总有△PAB与△ABC 的面积相等。
（2）① 观察△ACP和△BCP：
它们以CP为公共底，且A、B在直线n上，CP在直线m上，A、B到直线m的距离相等（平行线间距离相等），即△ACP和△BCP同底等高，故面积相等。
② 观察△AOC和△BOP：
由 (1) 知，同时减去公共部分△AOB的面积，可得 ，即。
故答案为：（1）PAB，同等底高；（2）△PAC的面积与△PBC的面积相等；△OAC的面积与△PBO的面积相等.
【分析】（1）根据 “平行线间距离处处相等”，确定△PAB 与△ABC 同底（AB）且等高，因此面积相等。
（2）利用 “同底等高” 或 “公共部分面积相减” 的思路，找出另外两对面积相等的三角形。
29．【答案】（1）△APB
（2）15
（3）解：如图（3），
过点B作BH⊥AC于点H，连接BF．
∵AB=BC，
∴AH= AC=2．
在直角△AHB中，BH=== ．
∴S△ABC= ×4×=2 ．
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，
∴AC∥BF，
∴S△ACF=S△ABC=2
（4）解：如图所示．
过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴有S△ABC=S△AEC，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；
∵S△ACD＞S△ABC，
所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】（1）已知直线m∥n，A、B在直线n上，C、P在直线m上，
m∥n，所以点C、P到直线n的距离相等（平行线间距离处处相等），
△ABC和△APB以AB为公共底，且高相等（即C、P到AB的距离），
根据三角形面积公式，同底等高的三角形面积相等，
总有△APB与△ABC的面积相等。
（2）已知在△ABC中，BC=6，BC边上的高为5，根据三角形面积公式，可得：。
又CE∥AB，所以△BAE与△ABC以AB为公共底，且高相等（平行线AB与CE间的距离），
即△BAE与△ABC同底等高。
根据 “同底等高的三角形面积相等”，可得。
故答案为：（1）△APB，（2）15.
【分析】 (1) 利用 “平行线间距离相等”，△APB 与△ABC 同底（AB）等高，故面积相等，
(2)①由 CE∥AB，△BAE 与△ABC 同底等高，用△ABC 面积公式计算得△BAE 面积，
(3)②通过平行四边形性质得 AC∥BF，△ACF 与△ABC 同底等高，先求△ABC 面积再得△ACF 面积，
(4)连接 AC，取 CD 上一点 E 使 CE=AB，连接 AE，再取 DE 中点，作过该中点与 A 的直线平分面积。
1 / 1
