浙教版八年级数学（上）寒假作业（一）第1章 《二次根式》
1．（2024·常州）若式子有意义，则实数x的值可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 式子有意义，
∴x-2≥0，
∴x≥2.
∵-1<0<1<2，即选项ABC的数字都小于2，D满足条件.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数.
2．（2022·重庆）估计 的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=6+，
∵9<15<16，
∴3<<4，
∴9<6+<10，
即 的值和10之间.
故答案为：B.
【分析】先进行二次根式的混合运算将原式化简，然后根据二次根式的性质求出3<<4，从而求出的值所在的范围，即可解答.
3．（2017·贵港）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含分母，故C不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；
故选：A．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
4．如果y=+3，那么yx的算术平方根是（ ）
A．2 B．3 C．9 D．±3
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0，
解得，x=2，
∴y=3，
则yx=9，
9的算术平方根是3．
故选：B．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出x、y的值，根据算术平方根的概念解答即可．
5． 已知实数a，b满足则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A．18 B．25 C．29 D．25或29
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：
a-7=0，b-11=0
a=7，b=11
当a=7为腰长时，三角形三边长为7、7、11，则周长为7+7+11=25
当a=7为底边时，三角形三边长为7、11、11，则周长为7+11+11=29
综上所述， 等腰三角形的周长是25或29
故答案为：D
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a是腰长和底边进行求解即可。
6．（2021七下·台安期中）的平方根是（ ）
A．16 B．±16 C．4 D．±4
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】＝16，16的平方根是±4．
故答案为：D．
【分析】根据当a可得。
7．（2024七上·浙江期中）下列说法：① 若两个数乘积为1，则这两个数必互为倒数；② 任何正数都有两个互为相反数的平方根；③ 立方根等于本身的数有1，0，-1；④ 一个数的算术平方根一定比原数小.其中错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】有理数的倒数；算术平方根的性质（双重非负性）；平方根的性质；立方根的性质
【解析】【解答】解： ① 若两个数乘积为1，则这两个数必互为倒数； 正确不选；
② 任何正数都有两个互为相反数的平方根；正确不选；
③ 立方根等于本身的数有1，0，-1；正确不选；
④ 一个数的算术平方根一定比原数小。错误当选。比如0的算术平方根还是0。
故答案为：D.
【分析】a×=1，则a与互为倒数，因此①正确；任意正数a，其平方根为，其中互为相反数，因此②正确；当时，即a=a3，变形为a（a+1）（a-1）=0，因此a=0、1、-1，所以③正确。一个数的算数平方根肯定是非负数，0是特例，所以④错误。
8．（2024八上·深圳期中） 下列运算正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵与不能合并，∴A不符合题意；
B、∵，∴B不符合题意；
C、∵＝，∴C符合题意；
D、∵，∴D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可.
9．（2024八上·上海市月考）若，，则a与b的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较；分母有理化
【解析】【解答】解：，
，
，
故选：D.
【分析】利用分母有理化求出a=-，再将与比较即可．
10．某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；乙：设有理数a，b满足：，则；
丙：；丁：已知，则；
戊：.以上结论正确的有（ ）
A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁
【答案】B
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：根据题意可知有理数因式的定义，针对小组成员利用有理化因式的结论：
甲： ，故甲的结论是正确的；
乙：由 ，所以得到，故乙的结论错误；
丙：
因为，所以 ，丙的结论正确；
丁： 已知，且，所以 ，故丁的结论错误；
戊：
故戊的结论正确；
所以正确的结论为：甲丙戊，
故答案为：B.
【分析】逐一验证每个结论的正确性， 主要用到有理化因式的概念和计算方法。通过有理化处理， 可以消除分母中的根号， 从而简化计算和比较大小。
11．如图，数轴上点表示的数为，化简的值是 ．
【答案】5
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可知，，
则a-5<0，
那么，
故答案为：5.
【分析】首先根据数据可以确定a的取值范围，然后利用二次根式的性质，进行化简即可.
12．（2024·长春模拟）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 .
【答案】4
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】根据最简二次根式的定义结合题意即可求解。
13．（2024八上·甘州期末）若，则 ．
【答案】2025
【知识点】二次根式有无意义的条件；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴
∴
∴
∵
∴
∴即
∴
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意得到，则，再化简等式即可得到，从而移项即可求解。
14．（2025七上·东营期末）已知，则的平方根是 ．
【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是．
故答案为：．
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，以及平方根的计算，先根据算术平方根的非负性，得到，求得，再将其代入代数式计算，进而得到的平方根，得出答案.
15．设，则与最接近的整数是 ．
【答案】2025
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
，
，
故与S最接近的整数是2025.
故答案为：2025.
【分析】首先根据题意对S进行化简，发现规律，然后依次进行计算，即可得到S的结果，即可得到与S最接近的整数.
16．（2024八上·怀化期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】根据新定义的运算法则将原式转化为二次根式的混合运算，分母有理化解题即可．
17．（2025八上·茂名期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据实数的运算顺序，先算零指数幂，然后去绝对值，然后根据二次根式的加减运算法则进行计算即可；
(2)首先根据完全平方公式的和平方差公式进行计算，然后再合并即可.
19．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1) 是先分别计算算术平方根、负指数幂、零指数幂、乘方、立方根，再按四则运算计算；
(2) 是先展开完全平方，再把根式化为最简后约分、合并同类二次根式。
20．我们规定，对数轴上的任意点 P 进行如下操作：先将点 P 表示的数乘 再把所得数对应的点向右平移2个单位长度，得到点 P 的对应点 现对数轴上的点 A，B进行以上操作，分别得到点
（1）如图，若点 A 对应的数是 则点 对应的数 ；若点 对应的数是 则点B 对应的数 .
（2）在(1)的条件下，求代数式 的值.
【答案】（1）4；
（2）解：当 时，
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的化简求值；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：(1)根据操作规则，x=(-2)×(-1)+2=4，则点A'对应的数为4；对于点B，已知操作后的数，则反向操作得；故点B的对应的数为；
故答案为：4； .
【分析】(1) 第一个空：根据操作规则 “数乘 - 1 再加 2”，把点 A 的数 - 2 代入计算，得 x=(-2)×(-1)+2=4；第二个空： 反向用操作规则 “数减 2 再乘 - 1”，把点 B' 的数√3+2 代入，得 y=(√3+2-2)×(-1)=-√3；
(2)先将（1）中求得的x=4、
代入代数式，再分别计算算术平方根、去括号，最后合并化简得出结果。
21．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”.例如：1，4，9这三个数，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数被称为“和谐组合”，最小算术平方根是2，最大算术平方根是6.
（1）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根.
（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值.
【答案】（1）解：
∴2，18，8这三个数是“和谐组合”，
∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12
（2）解：分三种情况讨论：
①当9≤a≤25时，a=3a，解得a=0(不合题意)；
②当a≤9<25时，×25=3解得(不合题意)；
③当9<25≤a时，a=3×25，解得a=81.
综上所述，a的值为81
【知识点】求算术平方根；分类讨论
【解析】【分析】 （1）依据 “和谐组合” 的定义，计算 2、18、8 中任意两个数乘积的算术平方根，验证结果均为整数，再从这些结果里找出最小和最大的算术平方根；
（2） 先根据 “和谐组合” 的定义确定 a 需满足 9、a、25 两两乘积的算术平方根为整数，分析 a 的形式后，结合 “最大算术平方根是最小的 3 倍” 列方程，求解得到 a 的值。
22．如图，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点 B，点A 表示 设点 B所表示的数为m.
（1）m 的值是 .
（2）求 的值.
（3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有 与 互为相反数，求2c-3d的平方根.
【答案】（1）2-
（2）解：则m+1>0， m-1<0，
∴|m+1|+|m-1|=m+1+1-m=2；
答： |m+1|+|m-1|的值为2
（3）解：∵|2c+d|-与 互为相反数，
∴|2c+d|=0， 且d+4=0，
解得： c=2， d=-4，
∴2c-3d=16，
∴2c-3d的平方根为±4.
答： 2c+3d的平方根为±4
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】（1）根据题意可知点A表示的数为，向右平移两个单位，即是在原数基础上加2，即+2，
故答案为：2-.
【分析】(1) 的解题思路：根据数轴上点向右平移的规律，用点 A 表示的数 加上平移的 2 个单位长度，得到点 B 表示的数m；
(2) 的解题思路：先判断m+1、m 1的正负，再依据绝对值的化简规则去掉绝对值符号，进而计算式子的值；
(3) 的解题思路：利用相反数的性质和绝对值、算术平方根的非负性列方程求出c、d，代入计算2c 3d后求其平方根。
23．若一个含根号的式子可以写成的平方其中，，，都是整数，为正整数，即，则称为完美根式．是的完美平方根例如：因为，所以是的完美平方根．
（1）已知是的完美平方根，求的值；
（2）若是的完美平方根，用含，的式子表示，．
（3）已知为完美根式，直接写出它的一个完美平方根．
【答案】（1）解：是的完美平方根，
，
，
（2）解：是的完美平方根，
，
，
，
（3）解：是完美根式，
，
，
，，
，或，，
，都是整数，
，，
的完美平方根是或
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)依据完美根式的定义，将完美平方根 平方展开，与 对应相等，进而求出a的值；
(2)把完美平方根 按完全平方公式展开，将展开式的有理项、含的项分别对应a和b，即可用
m、n表示a、b；
(3)设完美平方根为整数系数的 ，展开其平方后与 对应，求出m、n，得到一个完美平方
根。
1 / 1浙教版八年级数学（上）寒假作业（一）第1章 《二次根式》
1．（2024·常州）若式子有意义，则实数x的值可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．（2022·重庆）估计 的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
3．（2017·贵港）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．如果y=+3，那么yx的算术平方根是（ ）
A．2 B．3 C．9 D．±3
5． 已知实数a，b满足则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A．18 B．25 C．29 D．25或29
6．（2021七下·台安期中）的平方根是（ ）
A．16 B．±16 C．4 D．±4
7．（2024七上·浙江期中）下列说法：① 若两个数乘积为1，则这两个数必互为倒数；② 任何正数都有两个互为相反数的平方根；③ 立方根等于本身的数有1，0，-1；④ 一个数的算术平方根一定比原数小.其中错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．（2024八上·深圳期中） 下列运算正确的是 （ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·上海市月考）若，，则a与b的关系是（ ）
A． B． C． D．
10．某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；乙：设有理数a，b满足：，则；
丙：；丁：已知，则；
戊：.以上结论正确的有（ ）
A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁
11．如图，数轴上点表示的数为，化简的值是 ．
12．（2024·长春模拟）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 .
13．（2024八上·甘州期末）若，则 ．
14．（2025七上·东营期末）已知，则的平方根是 ．
15．设，则与最接近的整数是 ．
16．（2024八上·怀化期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ．
17．（2025八上·茂名期末）计算：
（1）；
（2）．
18．计算：
（1）
（2）
19．计算：
（1）
（2）
20．我们规定，对数轴上的任意点 P 进行如下操作：先将点 P 表示的数乘 再把所得数对应的点向右平移2个单位长度，得到点 P 的对应点 现对数轴上的点 A，B进行以上操作，分别得到点
（1）如图，若点 A 对应的数是 则点 对应的数 ；若点 对应的数是 则点B 对应的数 .
（2）在(1)的条件下，求代数式 的值.
21．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”.例如：1，4，9这三个数，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数被称为“和谐组合”，最小算术平方根是2，最大算术平方根是6.
（1）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根.
（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值.
22．如图，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点 B，点A 表示 设点 B所表示的数为m.
（1）m 的值是 .
（2）求 的值.
（3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有 与 互为相反数，求2c-3d的平方根.
23．若一个含根号的式子可以写成的平方其中，，，都是整数，为正整数，即，则称为完美根式．是的完美平方根例如：因为，所以是的完美平方根．
（1）已知是的完美平方根，求的值；
（2）若是的完美平方根，用含，的式子表示，．
（3）已知为完美根式，直接写出它的一个完美平方根．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 式子有意义，
∴x-2≥0，
∴x≥2.
∵-1<0<1<2，即选项ABC的数字都小于2，D满足条件.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数.
2．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=6+，
∵9<15<16，
∴3<<4，
∴9<6+<10，
即 的值和10之间.
故答案为：B.
【分析】先进行二次根式的混合运算将原式化简，然后根据二次根式的性质求出3<<4，从而求出的值所在的范围，即可解答.
3．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含分母，故C不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；
故选：A．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
4．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0，
解得，x=2，
∴y=3，
则yx=9，
9的算术平方根是3．
故选：B．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出x、y的值，根据算术平方根的概念解答即可．
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：
a-7=0，b-11=0
a=7，b=11
当a=7为腰长时，三角形三边长为7、7、11，则周长为7+7+11=25
当a=7为底边时，三角形三边长为7、11、11，则周长为7+11+11=29
综上所述， 等腰三角形的周长是25或29
故答案为：D
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a是腰长和底边进行求解即可。
6．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】＝16，16的平方根是±4．
故答案为：D．
【分析】根据当a可得。
7．【答案】D
【知识点】有理数的倒数；算术平方根的性质（双重非负性）；平方根的性质；立方根的性质
【解析】【解答】解： ① 若两个数乘积为1，则这两个数必互为倒数； 正确不选；
② 任何正数都有两个互为相反数的平方根；正确不选；
③ 立方根等于本身的数有1，0，-1；正确不选；
④ 一个数的算术平方根一定比原数小。错误当选。比如0的算术平方根还是0。
故答案为：D.
【分析】a×=1，则a与互为倒数，因此①正确；任意正数a，其平方根为，其中互为相反数，因此②正确；当时，即a=a3，变形为a（a+1）（a-1）=0，因此a=0、1、-1，所以③正确。一个数的算数平方根肯定是非负数，0是特例，所以④错误。
8．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵与不能合并，∴A不符合题意；
B、∵，∴B不符合题意；
C、∵＝，∴C符合题意；
D、∵，∴D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可.
9．【答案】D
【知识点】实数的大小比较；分母有理化
【解析】【解答】解：，
，
，
故选：D.
【分析】利用分母有理化求出a=-，再将与比较即可．
10．【答案】B
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：根据题意可知有理数因式的定义，针对小组成员利用有理化因式的结论：
甲： ，故甲的结论是正确的；
乙：由 ，所以得到，故乙的结论错误；
丙：
因为，所以 ，丙的结论正确；
丁： 已知，且，所以 ，故丁的结论错误；
戊：
故戊的结论正确；
所以正确的结论为：甲丙戊，
故答案为：B.
【分析】逐一验证每个结论的正确性， 主要用到有理化因式的概念和计算方法。通过有理化处理， 可以消除分母中的根号， 从而简化计算和比较大小。
11．【答案】5
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可知，，
则a-5<0，
那么，
故答案为：5.
【分析】首先根据数据可以确定a的取值范围，然后利用二次根式的性质，进行化简即可.
12．【答案】4
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】根据最简二次根式的定义结合题意即可求解。
13．【答案】2025
【知识点】二次根式有无意义的条件；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴
∴
∴
∵
∴
∴即
∴
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意得到，则，再化简等式即可得到，从而移项即可求解。
14．【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是．
故答案为：．
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，以及平方根的计算，先根据算术平方根的非负性，得到，求得，再将其代入代数式计算，进而得到的平方根，得出答案.
15．【答案】2025
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
，
，
故与S最接近的整数是2025.
故答案为：2025.
【分析】首先根据题意对S进行化简，发现规律，然后依次进行计算，即可得到S的结果，即可得到与S最接近的整数.
16．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】根据新定义的运算法则将原式转化为二次根式的混合运算，分母有理化解题即可．
17．【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据实数的运算顺序，先算零指数幂，然后去绝对值，然后根据二次根式的加减运算法则进行计算即可；
(2)首先根据完全平方公式的和平方差公式进行计算，然后再合并即可.
19．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1) 是先分别计算算术平方根、负指数幂、零指数幂、乘方、立方根，再按四则运算计算；
(2) 是先展开完全平方，再把根式化为最简后约分、合并同类二次根式。
20．【答案】（1）4；
（2）解：当 时，
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的化简求值；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：(1)根据操作规则，x=(-2)×(-1)+2=4，则点A'对应的数为4；对于点B，已知操作后的数，则反向操作得；故点B的对应的数为；
故答案为：4； .
【分析】(1) 第一个空：根据操作规则 “数乘 - 1 再加 2”，把点 A 的数 - 2 代入计算，得 x=(-2)×(-1)+2=4；第二个空： 反向用操作规则 “数减 2 再乘 - 1”，把点 B' 的数√3+2 代入，得 y=(√3+2-2)×(-1)=-√3；
(2)先将（1）中求得的x=4、
代入代数式，再分别计算算术平方根、去括号，最后合并化简得出结果。
21．【答案】（1）解：
∴2，18，8这三个数是“和谐组合”，
∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12
（2）解：分三种情况讨论：
①当9≤a≤25时，a=3a，解得a=0(不合题意)；
②当a≤9<25时，×25=3解得(不合题意)；
③当9<25≤a时，a=3×25，解得a=81.
综上所述，a的值为81
【知识点】求算术平方根；分类讨论
【解析】【分析】 （1）依据 “和谐组合” 的定义，计算 2、18、8 中任意两个数乘积的算术平方根，验证结果均为整数，再从这些结果里找出最小和最大的算术平方根；
（2） 先根据 “和谐组合” 的定义确定 a 需满足 9、a、25 两两乘积的算术平方根为整数，分析 a 的形式后，结合 “最大算术平方根是最小的 3 倍” 列方程，求解得到 a 的值。
22．【答案】（1）2-
（2）解：则m+1>0， m-1<0，
∴|m+1|+|m-1|=m+1+1-m=2；
答： |m+1|+|m-1|的值为2
（3）解：∵|2c+d|-与 互为相反数，
∴|2c+d|=0， 且d+4=0，
解得： c=2， d=-4，
∴2c-3d=16，
∴2c-3d的平方根为±4.
答： 2c+3d的平方根为±4
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】（1）根据题意可知点A表示的数为，向右平移两个单位，即是在原数基础上加2，即+2，
故答案为：2-.
【分析】(1) 的解题思路：根据数轴上点向右平移的规律，用点 A 表示的数 加上平移的 2 个单位长度，得到点 B 表示的数m；
(2) 的解题思路：先判断m+1、m 1的正负，再依据绝对值的化简规则去掉绝对值符号，进而计算式子的值；
(3) 的解题思路：利用相反数的性质和绝对值、算术平方根的非负性列方程求出c、d，代入计算2c 3d后求其平方根。
23．【答案】（1）解：是的完美平方根，
，
，
（2）解：是的完美平方根，
，
，
，
（3）解：是完美根式，
，
，
，，
，或，，
，都是整数，
，，
的完美平方根是或
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)依据完美根式的定义，将完美平方根 平方展开，与 对应相等，进而求出a的值；
(2)把完美平方根 按完全平方公式展开，将展开式的有理项、含的项分别对应a和b，即可用
m、n表示a、b；
(3)设完美平方根为整数系数的 ，展开其平方后与 对应，求出m、n，得到一个完美平方
根。
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