浙教版八下第二章专项训练：两根和与两根积的出现是代数式恒等变形终止的标志（含解析）

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两根和与两根积的出现是代数式恒等变形终止的标志（1）
夯实基础，稳扎稳打
1．用公式法解下列各方程：
(1)(2)
2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2025＝0的两根，求x1+x2 - x1x2 的值
3．若方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为x1，x2，求的值
4.已知关于x的方程x2－(k＋4)x＋2k＋4=0。
(1)求证：该方程总有两个实数根。
(2)记该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式(x1－2)(x2－2)的值。
5．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．
（1）求的取值范围；（2）若，求的值．
连续递推，豁然开朗
6．关于x的一元二次方程x2+（m2+4m）x+m2﹣m﹣1=0的两根互为相反数，求m的值 ．
7.关于的方程有两个实数根、，且，求的值．
思维拓展，更胜一筹
8．关于x的方程（为常数），判断根的情况
9．已知满足，求的值；
两根和与两根积的出现是代数式恒等变形终止的标志（2）
夯实基础，稳扎稳打
1.用公式法解方程
（1） （2）
2．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，求的值
3.若x1，x2是一元二次方程2x2－3x－1=0的两个根，求(x1－x2)2的值
已知关于x的一元二次方程．
(1)证明：无论k取任何实数，方程总有实数根．(2)若，求k的值．
5．已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求的取值范围．
（2）若该方程的两个实数根，满足，求的值．
连续递推，豁然开朗
6．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，求
7．已知关于x的方程有两个同号的实数根，求k的取值范围
思维拓展，更胜一筹
8．如果方程有两个不同的实数解，求p的取值范围
9．已知 ， 且 ， 求 的值.
两根和与两根积的出现是代数式恒等变形终止的标志（3）
夯实基础，稳扎稳打
用公式法解方程
（2）
2．设是一元二次方程的两个实数根，的值．
3．已知 是方程 的两个根，求 的值
4、已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为 ， 且==10， 求 的值．
5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；(2)若方程的两个实数根互为倒数，求的值．
连续递推，豁然开朗
6．已知关于x的一元二次方程，若方程的两根之和等于两根之积，求k的值
7．关于x的方程两个不相等的实数根，，若，求m的值．
思维拓展，更胜一筹
8．若关于的一元二次方程有实数根，．
求实数的取值范围；（2）设，的最小值．
9．关于x的方程ax2+（2a+1）x+a＝0有两个不等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，求a的取值范围
两根和与两根积的出现是代数式恒等变形终止的标志（4）
夯实基础，稳扎稳打
1．用公式法解下列方程．
（1）4x2-x-1=0 （2）3x2-5x-1=0
2.设α、β是方程x2+2x﹣9＝0的两个实数根，求α2β+αβ2的值．
3．设是方程的两根，求的值
4、已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值．
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a+2）x+a2﹣5＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；（2）若方程的两根为x1，x2，且，求a的值．
连续递推，豁然开朗
6．关于x的方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣5＝0的两个实数根的平方和等于44，求m的值
7．已知关于x的一元二次方程．若，求k的值．
思维拓展，更胜一筹
8．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个根都是正整数，求m的最小值．
9. 已知．满足，求正整数的最小值．
参考答案
两根和与两根积的出现是代数式恒等变形终止的标志（1）
1.（1）解：
．
（2）解：整理，得，
．
2.解：∵a，b是一元二次方程x2﹣x﹣2025＝0的两根，
∴a+b＝1，ab＝﹣2025，∴a+b﹣ab＝1﹣（﹣2025）＝2026，
3.解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的解，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
∴+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝22﹣2×（﹣1）＝6．
4.解：(1)∵Δ=[－(k＋4)]2 －4(2k＋4)=k2≥0，∴方程总有两个实数根。
(2)根据韦达定理可得，x1＋x2=k＋4，x1x2=2k＋4，
∴(x1－2)(x2－2)=x1x2－2(x1＋x2)＋4=2k＋4－2(k＋4)＋4=0。
5.（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，
∴，∴，∴；
（2）解：，
∵，∴，∴，解得或（舍去）．
6.【详解】∵关于x的一元二次方程x2+（m2+4m）x+m2﹣m﹣1=0的两根互为相反数，
∴-（m +4m）=0，解得：,
∵当m=-4时，m2+4m=0得x2+19=0无解.．
解：∴，∵，
∴
．，．∵，∴．
解：，整理得：，，
∴方程有两不等实根、，∵，∴两个异号，而且负根的绝对值大．
9.解：∵m，n满足，当时，原式；
当时，m、n可看作方程的两根，
∵，∴原式．
综上，的值为2或．
两根和与两根积的出现是代数式恒等变形终止的标志（2）
1.（1）解：，，，，∴
∴，∴，；
（2）解：，，，，．
2.解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn＝，所以+＝＝＝4．
3.解：∵x1，x2是一元二次方程2x2－3x－1=0的两个根，∴x1＋x2=，x1x2=－。
原式=(x1＋x2)2－4x1x2=－4×
4.（1）证明：无论取任何实数，方程总有实数根；
（2），；
5.（1）解：∵该方程有两个实数根，∴， 解得．（2）解：∵该方程的两个实数根，，∴，，
∴，
化简得，解得，由（1）可知∴k=5
6.解：，∵方程的两根互为倒数，∴可得，∴，解得：，
∵方程有两个实数根，∴，
当时，，∴符合题意，
当时，，∴不符合题意．∴，
7.解：由题意得，，解得：，
∵两个同号的实数根，∴，∴，
8．【详解】解：∵，∴，，
∵方程有两个不同的实数解，∴，解得：．
又∵方程的两根，∴，即，∴，
9.【解析】∵，∴，
∵，
∴设m，为一元二次方程两个不等实根，∴，
∴.
两根和与两根积的出现是代数式恒等变形终止的标志（3）
1.（1）解:∵,∴移项得:,∴配方得:,
∴整理得:,∴直接开方得:;∴移项得:．
（2）解：，，，，，
解得：，；
2.解：是关于x的一元二次方程的两个实数根，
，；
3.【解析】，
∴=，
4.（1）证明： △=[-（2m-2）]2-4（-2m）=4>0∴方程有两个不相等的实数根.
（2）解：
=-=10或m=3.
5．(1)解： 方程有两个不相等的实数根，
，解得：；的取值范围为：；
(2)解：方程的两个实数根互为倒数，，，．
6.解∶根据题意得，解得，
，，而，．
7．，，∵，∴，∴，，，∵，∴∴．
8.【解析】（1）∵关于x的一元二次方程有两实数根，
∴，
∴k≤-1，∴实数k的取值范围为k≤-1．
（2）∵α、β为方程的两实数根，∴，
∴．∵，∴．∴t的最小值为-6．
9.解：ax2+（2a+1）x+a＝0∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且△＞0，
由（2a+1）2-4a×a=4a+1＞0，解得a > - ，
又∵x1＜1＜x2，∴x1-1＜0，x2-1＞0，那么（x1-1）（x2-1）＜0，∴x1x2-（x1+x2）+1＜0，
1+ + 1<0，<0， 4a+1＞0,a<0
综上所述，a的取值范围为：- 两根和与两根积的出现是代数式恒等变形终止的标志（4）
1.（1）解：4x2-x=1 4x2-x-1=0
（2）解：3x2-5x-1=0
2.解：根据题意得α+β＝﹣2，αβ＝﹣9．α2β+αβ2＝αβ（α+β）＝﹣9×（﹣2）＝18．
3.解：∵是方程的两根，∴，
而，
且，∴∴，
4.（1）
，
∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：由两根关系得，
∵，∴，即
即解得：；
5.解：（1）因为关于x的一元二次方程x2﹣2（a+2）x+a2﹣5＝0有实数根，
所以Δ＝[﹣2（a+2）]2﹣4（a2﹣5）≥0，解得a≥，
（2）．又因为，所以，
则（2a+4）2﹣2（a2﹣5）＝44，解得a＝1或﹣9．又因为a≥，所以a＝1．
6.，令2m2+16m+26＝44，即m2+8m﹣9＝0，
解得：m1＝1，m2＝﹣9，由条件可知Δ＝b2﹣4ac＝16m+36≥0，即：，综上所述：m＝1．
7.证明：，，，无论取任何实数，方程总有实数根；
，；
8.（1）证明：∵Δ＝（m﹣2）2﹣4（﹣m）＝m2﹣4m+4﹣m2+4m＝4＞0，∴方程总有两不等的实数根；
（2）∵x＝，∴x1＝，x2＝∵方程的两个根都是正数，∴＞0且＞0，解得m＞4，
∵方程的两个根都是正整数，∴和都是正整数，∴m的最小值为6．．
9.解：∵，∴，∴a、b为一元二次方程的两根，
∵，而，∴，即．∴c的最小整数为3．
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