专题(十)特殊平行四边形中的折叠问题与最值问题 同步练习（含部分答案）2025-2026学年浙教版数学八年级下册

专题(十)特殊平行四边形中的折叠问题与最值问题
一 折叠问题
【教材母题】(教材 P117作业题第5题)
已知：如图，将矩形纸 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH。
(1)求证:四边形 EFGH 是矩形。
(2)若 EH=3cm,EF=4 cm,求边 AD 的长。
【思想方法】在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键。要注意轴对称性质的灵活运用，折叠前后，重叠部分图形全等，另外要注意勾股定理等知识在求折叠图形中的线段时的适当运用。
【变式1】(沿对角线折叠)
1.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD 折叠，点 C 落在点 E 处,BE 交 AD 于点 F。已知∠BDC=62°,则∠DFE的度数为 ( )
A.28° B.31°
C.56° D.62°
【变式2】(沿任意直线折叠)
2.如图，将边长为 6 cm的正方形纸片 ABCD 折叠,使点 D 落在AB边的中点 E 处，点 C 落在点Q处，折痕为 FH，则线段AF的长为 cm。
二 最值问题
【例题】如图,正方形 ABCD 的边长为4,E 为BC 边上的一点,BE=1,F为AB 的中点。若P 为对角线AC上的一个动点，求 PF+PE 的最小值。
【思想方法】求线段和的最小值时，若已知的两点在动点所在直线的同侧，则将动点所在直线当作对称轴，作出其中一点的对称点，再连结另一点与这个对称点，与直线(对称轴)的交点即为所求动点所在位置，最后求出所连结的线段长即可。
【变式】(同类变式)
3.如图,菱形 ABCD 的边长为4,∠B=120°,E为AB 边上的中点，P是对角线AC 上的一个动点,过点 P 作PF⊥BC 于点F,求 PE+PF的最小值。
拓展性任务
1.如图，正方形纸片ABCD的边长为9，将正方形纸片折叠，使顶点 D 落在 BC 边上的点 E处,折痕为 GH。若 BE: EC=2:1,则线段CH 的长为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D.6
2.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,M 是边AB 上一点(不与点 A,B 重合),过点 M作ME⊥AC 于点E,MF⊥BC于点F,连结 EF。若 P 是 EF 的中点,则 CP 的最小值为 ( )
A.1.2 B.1.5
C.2.4 D.2.5
3.如图,菱形 ABCD 的边长为2,∠DAB=60°。E为 BC 边的中点，P 为对角线AC 上的一个动点,则 PB+PE 的最小值为 。
4.如图,在矩形ABCD 中,AB=20,BC=10。点E,F,G,H 分别在矩形ABCD 各边上,且 AE=CG,BF=DH,则四边形 EFGH 的周长的最小值为 。
5.如图，取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【实践探究】
第一步：如图1，对折矩形纸片ABCD，使 AD与BC 重合，折痕为 EF，把纸片展平；
第二步：在AD上选一点 P，沿BP 折叠纸片，使点 A 落在矩形内部的点 M 处，当点 M 在EF上时,∠PBM= °。
(2)【类比应用】
如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式折叠，并延长 PM，交CD 于点 Q。连结BQ,当点 M在EF 上时,求∠MBQ的度数。
(3)【拓展延伸】
在(2)的探究中，正方形纸片的边长为4cm，改变点 P 在AD 上的位置(点 P 不与点A,D 重合)，沿BP 折叠纸片，使点 A 落在矩形内部的点 M 处,延长 PM,交 CD 于点 Q,连结 BQ。当QF=1 cm时,求出 AP 的长。
【教材母题】(1)略 (2)5cm
1. C 2.
【例题】PF+PE的最小值为
3. PE+PF的最小值为:
拓展性任务1. B 2. A 3. 4.20
5.(1)30 (2)15°(3)AP的长为- cm或 cm