浙教版数学八（下）同步分层训练1.3 二次根式的运算（3）
一、【经典例题】
1．如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD（i=CE：ED，单位：m）.
【答案】解：如图，过点B作BF⊥AD于点F，则BF=CE=4 m，EF=BC=4.5 m.
在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF===3(m).
在Rt△CED中，根据i=，
可知ED===4(m)，
则 AD=AF+EF+ED=3+4.5+4=(7.5+4)m.
答：坝底宽AD为(7.5+4)m.
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】根据勾股定理得AF的长，根据坡比i的值计算得ED的长，从而计算坝底宽AD的长.
2．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现在要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
（1）长方形的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为5元的地砖，要铺完整个通道，预算为660元，经费是否够用？
【答案】（1）解：∵长方形的长为，宽为，∴长方形的周长为：
．
答：长方形的周长是．
（2）解：由题意，知
∵，
∴经费不够用．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【分析】(1)先把长方形的长和宽化为最简二次根式，再代入长方形周长公式2×（长+宽），合并同类二次根式后得到结果；
(2)先计算长方形绿地的面积与花坛的面积，求出通道的面积；再用通道面积乘以地砖单价得到总造价，最后与预算660元比较，判断经费是否足够。
3．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ；
（2）求剩余木料的面积；
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条．
【答案】（1）；
（2）解：矩形的长为，宽为，
∴剩余木料的面积；
（3）2
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：（3），，
（3）剩余木条的长为，宽为，
∵，，
∴能截出个木条．
【分析】(1)正方形的边长等于其面积的算术平方根，所以直接对面积开方并化简二次根式即可得到两块正方形的边长；
(2)先确定原矩形木板的长和宽：长是两个正方形边长之和，宽是较大正方形的边长；再用矩形面积减去两个正方形的面积，即可得到剩余木料的面积；
(3)先确定剩余木料的长和宽，再分别计算长和宽方向能截出的木条数量，最后将两个方向的数量相乘，得到最多能截出的木条总数。
4．有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的三块正方形木板.
（1）截出的三块正方形木板的边长分别为 dm， dm和 dm；
（2）求长方形木板的面积；(结果保留根号)
（3）如果木工师傅想从剩余的A木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的长方形木块，最多能截出多少块这样的木块
【答案】（1）；；2
（2）解：根据题意得：长方形的边长为；
阴影部分的面积
（3）解：根据题意的：剩余A木料的长为，宽为，
且，
能截出这样的木块共2块.
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】（1）根据正方形的面积公式，则可知三块正方形的边长为，，，
故答案为：；；；
【分析】(1)正方形的边长等于其面积的算术平方根，对三个面积分别开方并化简二次根式，即可得到三块正方形木板的边长；
(2)先确定原长方形木板的长和宽：长是面积为3dm2和8dm2的正方形边长之和，宽是面积为8dm2和12dm2的正方形边长之和；再代入长方形面积公式长×宽展开计算；
(3)先确定剩余木料A的长和宽，再分别计算长方向能截出1.5dm长的木条数量，宽方向能载出1dm
宽的木条数量，最后将两个方向的数量相乘，得到最多能截出的木块总数。
5．如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为.
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
【答案】（1）解：长方形的周长
答：长方形的周长是.
（2）解：蔬菜地的面积
.
（元）.
答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元.
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【分析】(1)先把长方形的长和宽化为最简二次根式，再代入长方形周长公式2×(长+宽)，合并同类二次根式后得到结果；
(2)先计算长方形空地的面积与养鸡场的面积，求出种植蔬菜的面积；再用蔬菜面积乘以每平方米产量和单价，即可得到销售收入。
6．如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边(纸条不重叠)如图③，正方形美术作品的面积为 .
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，
∴∠B=∠C=45°，
∵四边形CDHG是矩形，且CD= ，
∴HG=CD= ，∠BGH=90°，
∴∠B=∠BHG=45°，
∴GB=GH=，
∴CG=DH=BC-BG=cm，
∵四边形CDHG是矩形，
∴DH∥BC，
∴∠B=∠DHN=45°，
∵四边形DENM是矩形，且DE=，
∴MN=ED= ，∠NMH=90°，
∴∠MNH=∠MHN=45°，
∴MN=MH=，
∴DM=EN=DN-MH=cm；
同理FQ=PE=，
∵AF=AC-CD-DE-EF=，
∴这样的长方形纸条只能裁出三条，
这三条的总长度为：CG+DM+EN=cm，
∴美术作品的边长为：cm，
∴这个美术作品的面积为：cm2.
故答案为：.
【分析】先计算等腰直角三角形ABC的面积，根据每条纸条的长度为，且是等腰直角三角形，每裁剪一条，直角边就减少，一共可剪出4条，则可知每条纸条的长度，进而可以计算出总面积，最后用三角形面积减去纸条总面积，得到正方形美术作品的面积.
7．已知直角三角形的斜边长为 ，一条直角边长为，则此直角三角形的面积是
【答案】2
【知识点】二次根式的混合运算；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得：另一直角边为，
∴ 此直角三角形的面积为.
故答案为：2.
【分析】由勾股定理得另一直角边为，根据三角形面积公式，计算求解即可.
二、【基础训练】
8． 如图，已知斜坡AB，且 BC⊥AC，则斜坡 AB 的坡比指的是（ ）
A．AB：BC B．AB：AC C．AC：BC D．BC：AC
【答案】D
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：斜坡 AB 的坡比指的是，即 BC：AC .
故答案为：D.
【分析】根据坡比的定义作答.
9．长方形的相邻两边长分别为 则它的周长和面积分别是（ ）
A．，4 B．2 ，4 C．4，3 D．6 ，4
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得 长方形的周长=2(+)=2(+2)=2×3=6，
长方形的面积=×=×2=4.
故答案为：D.
【分析】根据长方形的周长公式：2（长+宽）与面积公式：长×宽，分别计算其周长和面积即可.
10．（2024八下·嵊州月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵两个空白小正方形的面积是、
∴两个空白小正方形的边长是、
∴大正方形的边长是
∴大正方形的面积是
∴阴影部分的面积是．
故答案为：A
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方可得正方形边长就是面积的算术平方根，可得两个空白小正方形的边长，然后结合图形可表示出大正方形的边长，最后结合正方形面积公式由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个空白小正方形面积，列式计算即可.
11．（2020八下·陆丰期中）如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；平移的性质；图形的平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示：
则阴影面积=
=
=
故答案为：D
【分析】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的图形的长和宽，计算可得答案.
12．如图， 在 的网格中， 每个小正方形的边长均为 1 ， 点 都在格点上. 若 是 的高线， 则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；三角形的面积；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
∵，
∴
∴.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用正方形面积减三个小三角形面积求出三角形ABC面积，再由三角形的面积法求高即可.
13．如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的渔线BC长为3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'为 m，则BB'的长为（ ）
A． m B．2 m C． m D．2 m
【答案】B
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ AC=AC'=6 m，BC=3 m，B'C'= m，
∴AB= (m)，
AB'= (m)，
∴BB'=AB-AB'=3 - =2 (m)．
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB'的长，再根据线段的和差关系求BB'长即可.
14． 如图，在一次春游活动中，某中学八(1)班学生从A 地出发，沿北偏东 52°方向走了600 m到达 B地，然后由 B 地沿北偏西38°方向走了( 到达目的地点C，则A，C两地之间的距离为 .
【答案】1800m
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理
【解析】【解答】解：
如图，连结AC
根据题意，得∠DAB=52°，∠EBC=38°.
∵EF∥AD，
∴∠FBA=∠DAB=52°，
∴∠ABC=180°-(∠EBC+∠FBA)=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=====×=600×3=1800(m).
故A，C两地之间的距离为1800 m.
故答案为：1800m.
【分析】根据题意得Rt△ABC，再根据勾股定理计算出AC的长.
15．（2022八下·杭州月考）如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形①，②，③都是正方形，且正方形①，③的面积分别为16和3，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的实际应用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解： 正方形① 的边长= =4，正方形③ 的边长= ，
∴阴影部分长方形的长=正方形② 的边长=4- ，
阴影部分长方形的宽=4- - =4-2 ，
∴阴影部分的面积=(4-2 ) = .
故答案为： .
【分析】根据正方形的面积公式先计算得正方形①和③的边长，然后求出阴影部分的长和宽，再根据长方形的面积公式列式计算，即可得到结果.
16．在数学课上，老师将一个长方形纸片的长增加 ，宽增加7 cm，就得到一个面积为 192 cm2 的正方形纸片，求原长方形纸片的面积.
【答案】解：∵面积为192 cm2的正方形纸片的边长为8 cm，
∴原长方形纸片的长为8-2=6(cm)，宽为8-7=(cm)，
∴原长方形纸片的面积为6×=18(cm2).
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的实际应用；二次根式的乘法
【解析】【分析】根据正方形面积得其边长，再根据题意确定长方形的长与宽，从而计算其面积.
17．（2025八下·柯桥期中）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为m，宽AB为m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（1）m，宽为（1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】（1）解：长方形ABCD的周长＝2（）＝2（98）＝34（m）
（2）解：购买地砖需要花费＝
＝50×（144﹣12）＝50×132＝6600（元）
【知识点】二次根式的实际应用；多边形的面积
【解析】【分析】(1)利用长方形的周长公式表示出长方形ABCD的周长，再通过二次根式的性质进行化简.
(2)利用割补法计算出通道的面积，再计算出地砖面积.
三、【培优训练】
18．如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵如图②，，，
∴，
∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，
∴能裁剪的纸条的条数为（条），，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
同理可得：另两条纸条的长分别为，，
∴长方形纸条的总长度为，
如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），
∴，，
∴，
∴正方形美术作品的面积为，
故选：C．
【分析】 先算出等腰直角三角形的总面积，再算出所有裁剪纸条的总面积，两者相减即可得到正方形美术作品的面积。
19．若 ， 则 ( )
A．-2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
.
故答案为：B.
【分析】 利用完全平方公式的变形求得，再通过x的取值范围计算出的值.
20．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形(长为，宽为4cm)的盒子底部(如图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是 （ ）
A． B．16 cm C． D．
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：设小长方形的长、宽分别为a、b，
根据题意得：a+2b=，
∴ 图2中两块阴影部分的周长和为 2+2(4-2b)+2(4-a)
= 2+8-4b+8-2a= 2+16-2(a+2b)
=2+16+2×=16.
故答案为：B.
【分析】设小长方形的长、宽分别为a、b，则a+2b=，图2中两块阴影部分的周长和为 2+2(4-2b)+2(4-a)，然后整理代入计算即可.
21．小亮和小强相约周六去登山，小亮由北坡山脚C处出发，以24 米/分的速度攀登，同时小强从南坡山脚 B 处出发，如图所示，已知小山北坡的坡比为1： ，坡面AC长 240 米，南坡 的 坡 角 是 45°，小强 以 米/分的速度攀登才能和小亮同时到达山顶A.（将山路AB，AC看成线段，结果保留根号）
【答案】12
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：
如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.
设AD=x(x>0)米.
∵AC的坡比为1∶，
∴CD=x米.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC===2x(米)，
∴2x=240，
解得x=120，
∴AD=120米.
在Rt△ABD中，∵∠B=45°，
∴BD=AD=120米，
∴AB==120(米).
由题意可知小亮到达山顶所用的时间为240÷24=10(分)，
∴若小强和小亮同时到达山顶A，则小强的攀登速度为120÷10=12(米/分).
故答案为：12.
【分析】根据直角三角形根据勾股定理得AC、AB的长，再根据“路程=速度×时间”计算小强的速度.
22．（2025八下·海曙期中）定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：若多项式，，，（是实数）是一组黄金多项式，有三种情况，
①
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时：舍去，
②
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时，符合题意；
③
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时；
综上所述，的值为．
故答案为：
【分析】
按照新定义的概念分三种情况进行讨论，即：①；②；③，再进一步计算并检验即可.
23．如图，D是等边三角形ABC的边AC 的延长线上一点，连结BD，E是边AB 上一点，且DE=DB.若 则BC= .
【答案】
【知识点】二次根式的实际应用；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过D作DF⊥AB于F，交BC于G，如图：
∵DE=DB，DF⊥AB，
∴，
设AE=x，则，
∴；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，BC=AB，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF=∠AFD-∠A=30°，
∴AD=2AF；
则
解得：；
∴；
故答案为：.
【分析】过D作DF⊥AB于F，交BC于G；根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形底边上的中线、顶角的角平分线，底边上的高重合可得；设AE=x，求出，；根据等边三角形的三个角都是60°，三条边都相等；直角三角形两锐角互余可得∠ADF=30°；根据直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半可得AD=2AF；即可列出方程式，求出x的值，即可求解.
24．如图，等腰直角三角形纸片，，按图中方式裁剪出阴影部分的长方形纸条若干张，若纸条的宽都为，则这些阴影部分长方形纸条的总面积是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵根据题意可知阴影部分的长方形纸条的宽都为，且长方形的四个角都是直角，
∴△ANL、是等腰直角三角形，
∴AN=NL，，
∵DF∥BC，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理可知：右边5个三角形都是腰为的等腰直角三角形，
而是边长为的等腰直角三角形，
∴S阴影部分总面积=S△ABC-5S等腰直角三角形-S△ANL=
，
故答案为：．
【分析】 先算出等腰直角三角形的总面积，再确定能裁剪出的纸条数量和每条纸条的长度，求出所有纸条的总面积，即可得到阴影部分的总面积。
25．（2025八下·义乌月考）配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题：
（1）已知：，求的值；
（2）已知：，，求的值；
（3）已知：，，，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴.
（2）解：，，
，
，
∴
．
（3）解：∵，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）运用完全平方公式的变形求解；
（2）分别求出再求出的值，然后配成完全平方，接着代入求值；
（3）将变形为完全平方：，再整体代入求解．
（1）解：∵，
∴；
（2）解：，，
，
，
则
．
（3）解：∵，，
∴．
四、【期末常考】
26．（2021八下·余姚期末）如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，则阴影部分的面积为（ ）
A．8﹣3 B．9﹣3 C．3 ﹣3 D．3 ﹣2
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，
∴两个正方形的边长分别为3和；
∴阴影部分的面积为：.
故答案为：C.
【分析】利用正方形的面积可求出两个正方形的边长，利用平移法将两个阴影部分放在一起，可得到一个矩形，边长分别为和；然后利用矩形的面积公式矩形计算即可.
五、【课后作业】
27．（2024八下·杭州期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，大正方形的边长，
小正方形的边长，
∴阴影部分的面积，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的面积求出大、小正方形的边长，然后计算阴影部分面积即可．
28．要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法；勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知，所需要钢材长度=AB+BC+AC+BD=AB+BC+(AD+DC)+BD，
∵ AD=4m，DC=1m，BD=2m，
∴ 钢材长度=AB+BC+(4+1)+2=AB+BC+7，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AB=，
在Rt△BDC中，由勾股定理可得：BC=，
∴ 所需钢材长度=，
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理算出直角三角形 ABD 和 BCD 的斜边 AB 与 BC 的长度，再把所有边长相加，即可得到焊接钢架所需的总钢材长度。
29．（2024八下·上城期中）已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）著作《度量》一书中，给出海伦公式S（其中p）：我国南宋时期数学家秦九韶（约1202一约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S．海伦公式与秦九韶公式只是形式不同，实质上是同一个公式若一个三角形的三边长分别为，2，，在以上两种形式的公式中，选择恰当的公式进行代入计算，可得这个三角形的面积为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：一个三角形的三边长分别为，2，，
设，
S
．
这个三角形的面积为．
故答案为．
【分析】直接代入秦九韶公式求出面积即可．
30．（2025八下·杭州月考）如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和3．求图中阴影部分的面积．
【答案】解：∵如图所示：
由题意得：四边形ABGE，四边形CGFH，四边形EFMN都是正方形，且四边形ABGE的面积为24，四边形EFMN的面积为3，
∴，，FG=FH.
∴.
∴.
∴
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】先标出字母，由题意表示出①和③两个正方形的边长，利用大正方形边长－小正方形边长，即可得到阴影部分的正方形②的边长，进而可得阴影部分的长和宽，最后利用长方形的面积公式计算即可.
31． 如图 1， 某桥的引桥两端各由 2 个斜面和一个水平面构成． 如图 2， 引桥一侧的桥墩顶端点 距地面 ， 从点 处测得点 的俯角为 ， 斜面 的长为 ， 水平面 的长为 ， 斜面 的坡比为 ， 求处于同一水平面上引桥底部 的长． (结果精确到 )
【答案】解：如图，作DF⊥AE于点F，DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H，则DF=GA，DC=GH=2，AF=DG=CH.
由题意，得
∴斜面BC的坡度为
答：处于同一水平面上引桥底部AB的长约为17.5m.
【知识点】二次根式的实际应用；含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】先通过俯角30°和斜面ED的长度，用三角函数算出D点到E点正下方的垂直和水平距离，从而得
到D点的高度和水平位置；再利用斜面BC的坡比为1：4，求出BC的水平长度；最后把各段水平距离相加，得到引桥底部AB的长度。
32．要焊接一个如图所示的钢架，图中于点，且．问：做这个钢架需要钢材多少米（不计焊接损耗）
【答案】解：∵BD⊥AC于点D，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，BD=2，CD=1，
∴BC=，
∵BD：AD=1：2，
∴AD=2BD=2×2=4，
在Rt△ABD中，BD=2，AD=4，
AB=，
∴ 做这个钢架需要钢材：AB+BC+CD+AD+BD=++1+4+2=(7+)m.
答：做这个钢架需要钢材(7+)m.
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的实际应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】先根据BD：AD=1：2求出AD的长度，再用勾股定理算出斜边AB和BC的长度，最后把钢架的所有边长相加得到总钢材长度。
33．如图， 扶梯 的坡比为 ， 滑梯 的坡比为 平行于地面， 于点 于点 . 若 ， 一男孩从扶梯走到滑梯的顶部， 然后从滑梯滑下， 他所经过的总路程是多少(结果保留根号)
【答案】解：∵扶梯AB的坡比（BE与AE长度之比）为4：3，AE=30dm，
∴BE=40dm，
∴，，
∵CD的坡比（CF与DF长度之比）为1：2，
∴FD=2CF=2×40=80（dm），
∴，
∴他所经过的总路程是：.
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】首先在直角三角形ABE中求得AB和BE，然后就可以知道CF的长，在直角三角形CFD中求得CD的长，则他所经过的总路程就是AB+BC+CD.
34．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.3二次根式的运算(2)）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，BC= ，求Rt△ABC的面积和斜边AB的长．
【答案】解：∵AC= ，BC= ，
∴S△ABC= AC·BC= ×( )( )=
∵AB2=AC2 + BC2=( )2+( )2=10，
∴AB=
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】利用三角形面积公式，得出S△ABC= AC·BC，得出结果。再利用勾股定理，可以得出AB2=AC2 + BC2=( )2+( )2=10，再得出结果。
35．如图@是一张等腰直角三角形彩色纸， 现要裁出几条宽度都为5 cm的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形照片 EFGH镶边（纸条不重叠），如图 .图①和图②是两种不同裁法的示意图.
（1）求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
（2）分别计算两种裁法得到的长方形纸条的总长度；
（3）这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH 的最大面积为 cm2.
【答案】（1）解：如图①，过点C作CM⊥AB于点M.
∵AC=BC=20 cm，∠ACB=90°，
∴AB===40(cm)，
∴CM=AB=20 cm.
=2，且2<2<3，
∴按题图①中的裁法最多能得到2条长方形纸条；
20÷5=4，
∴按题图②中的裁法最多能得到3条长方形纸条.
（2）解：如图②，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=EF=5 cm，
∴EQ=40-5-5=(40-10)cm，
同理可得：DP=40-10-10=(40-20)cm，
∴按题图①中的裁法得到的长方形纸条的总长度=EQ+DP=40-10+40-20=(80-30)cm；
如图③，
同理可知△LNB是等腰直角三角形，且BL=LN=5 cm，
∴NR=20-5=15(cm)，KT=15-5=10(cm)，…，
∴按题图②中的裁法得到的长方形纸条的总长度=15+10+5=30(cm).
（3）12.5
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：如图④，
按题图①中的裁法，可知SG==(20-)cm，
则FG=SG-SF=20--5=(20-)cm；
按题图②中的裁法，可知SG==(cm)，
则FG=SG-SF=-5=(cm).
∵20-<，
∴这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为()2=12.5(cm2).
故答案为12.5.
【分析】⑴计算等腰直角三角形AB边上的高，再根据小长方形的宽计算其数量即可.
⑵根据两种裁剪方法，分别计算所得每个长方形的长度，从而确定其总长度即可.
⑶分别计算两种裁剪方法所得正方形的边长并作比较，再计算正方形的最大面积即可.
36．我们新定义一种三角形： 两边的平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫可爱三角形．
（1）根据可爱三角形的定义，请判断 “等边三角形一定是可爱三角形” 是否正确． (填“正确”或“不正确”)．
（2）若三角形的三边长分别是 ， 该三角形是不是可爱三角形？ 说明理由．
（3） ①若等腰三角形是可爱三角形， 并且有一边长为 ， 求这个三角形的周长．
②若 Rt 是可爱三角形， 且一条直角边长为 ， 则斜边长为 ▲
【答案】（1）正确
（2）解：该三角形是可爱三角形，理由如下：
∴该三角形是可爱三角形；
（3）解：①∵ 等腰三角形是可爱三角形， 并且有一边长为 ，
当为腰时，设该等腰三角形的底边长为c，
根据题意得
或
解得，
∴这个三角形的周长为；
当为底边时，设该等腰三角形的腰长为d，
根据题意，得
或，
解得
∴这个三角形的周长为，
综上该三角形的周长为；
②或
【知识点】二次根式的混合运算；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）设等边三角形的边长为a，
∵a2+a2=2a2，
∴等边三角形一定是可爱三角形；
故答案为：正确；
（3）②设该直角三角形另一条直角边为m，斜边为n，由勾股定理得；
∴
根据可爱三角形定义得或；
∴或
解得或，
∴该三角形斜边得长为或.
故答案为：或.
【分析】（1）设等边三角形的边长为a，然后根据“可爱三角形”定义判断即可；
（2）根据二次根式的性质分别算出三角形三边长的平方，然后根据“可爱三角形”定义判断即可；
（3）①分类讨论：当为腰时，设该等腰三角形的底边长为c，当为底边时，设该等腰三角形的腰长为d，分别根据可爱三角形的定义列出方程，求解得出c、d的值，再根据三角形周长计算公式计算可得答案；
②设该直角三角形另一条直角边为m，斜边为n，由勾股定理得，进而根据可爱三角形定义得或，再根据等量代换可得关于字母n的方程，求解即可.
37．如图是一张等腰直角三角形彩纸，AC=BC= 20cm．要裁出几条宽度相等的长方形纸条，宽度都为5cm，用这些纸条为一 幅正方形照片EFGH镶边(纸条不重叠)．图①和图②是两种不同裁法的示意图．
（1）求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
（2）分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度； ．
（3）这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？
【答案】（1）解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC=BC= 20 cm，∠ACR= 90°，
∴AB=AC=x20 = 40( cm)，
∴CD=AB=20 cm
∵，且2<<3，
∴如题图①救法最多能得到2条长方形纸条
∵=4
∴如题图②裁法最多能得到3条长方形纸条，
（2）解：
如图①，∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠A=45° ，
∴△AEF是等腰直角三角彩，EF=AF=5 cm， ．
． EQ= 40-5-5= (40-10 )cm，
同理得DP= 40-10-10 =(40-20 )cm，
∴图①裁法得到长方形纸条的总长度= EQ+DP= 40- 10+40-20=(80-30)cm．
如图②，同理可知OPEB是等顾直角三角形，且BE=5 cm，
∴PD= 20-5= 15 (cm) ，QG= 15-5= 10 (cm)，……
∴图②裁法得到长力形纸条的总长度= 15+10+5=30 (cm)．
（3）解：如图③。
如图①执法：PC=cm，
FG=PG-PF=cm．
如图②裁法：PG= (cm)，
FG=PC-PF (cm)，
∵
∴这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFCH的最大面积==12.5(cm2)．
【知识点】二次根式的混合运算；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，根据等腰直角三角形的性质得CD=20 cm，，可得图①救法最多能得到2条长方形纸条，=4，可得最多能得到3条长方形纸条；
（2）根据等腰直角三角形的性质分别计算图①，图②中长方形纸条的总长度，即可得解；
（3）如图①裁法：cm．如图②裁法：，根据正方形面积公式，计算求解即可.
1 / 1浙教版数学八（下）同步分层训练1.3 二次根式的运算（3）
一、【经典例题】
1．如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD（i=CE：ED，单位：m）.
2．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现在要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
（1）长方形的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为5元的地砖，要铺完整个通道，预算为660元，经费是否够用？
3．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ；
（2）求剩余木料的面积；
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条．
4．有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的三块正方形木板.
（1）截出的三块正方形木板的边长分别为 dm， dm和 dm；
（2）求长方形木板的面积；(结果保留根号)
（3）如果木工师傅想从剩余的A木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的长方形木块，最多能截出多少块这样的木块
5．如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为.
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
6．如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边(纸条不重叠)如图③，正方形美术作品的面积为 .
7．已知直角三角形的斜边长为 ，一条直角边长为，则此直角三角形的面积是
二、【基础训练】
8． 如图，已知斜坡AB，且 BC⊥AC，则斜坡 AB 的坡比指的是（ ）
A．AB：BC B．AB：AC C．AC：BC D．BC：AC
9．长方形的相邻两边长分别为 则它的周长和面积分别是（ ）
A．，4 B．2 ，4 C．4，3 D．6 ，4
10．（2024八下·嵊州月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2020八下·陆丰期中）如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
12．如图， 在 的网格中， 每个小正方形的边长均为 1 ， 点 都在格点上. 若 是 的高线， 则 的长为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的渔线BC长为3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'为 m，则BB'的长为（ ）
A． m B．2 m C． m D．2 m
14． 如图，在一次春游活动中，某中学八(1)班学生从A 地出发，沿北偏东 52°方向走了600 m到达 B地，然后由 B 地沿北偏西38°方向走了( 到达目的地点C，则A，C两地之间的距离为 .
15．（2022八下·杭州月考）如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形①，②，③都是正方形，且正方形①，③的面积分别为16和3，则图中阴影部分的面积为 ．
16．在数学课上，老师将一个长方形纸片的长增加 ，宽增加7 cm，就得到一个面积为 192 cm2 的正方形纸片，求原长方形纸片的面积.
17．（2025八下·柯桥期中）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为m，宽AB为m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（1）m，宽为（1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
三、【培优训练】
18．如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（ ）
A． B． C． D．
19．若 ， 则 ( )
A．-2 B． C． D．
20．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形(长为，宽为4cm)的盒子底部(如图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是 （ ）
A． B．16 cm C． D．
21．小亮和小强相约周六去登山，小亮由北坡山脚C处出发，以24 米/分的速度攀登，同时小强从南坡山脚 B 处出发，如图所示，已知小山北坡的坡比为1： ，坡面AC长 240 米，南坡 的 坡 角 是 45°，小强 以 米/分的速度攀登才能和小亮同时到达山顶A.（将山路AB，AC看成线段，结果保留根号）
22．（2025八下·海曙期中）定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为 ．
23．如图，D是等边三角形ABC的边AC 的延长线上一点，连结BD，E是边AB 上一点，且DE=DB.若 则BC= .
24．如图，等腰直角三角形纸片，，按图中方式裁剪出阴影部分的长方形纸条若干张，若纸条的宽都为，则这些阴影部分长方形纸条的总面积是 ．
25．（2025八下·义乌月考）配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题：
（1）已知：，求的值；
（2）已知：，，求的值；
（3）已知：，，，求的值．
四、【期末常考】
26．（2021八下·余姚期末）如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，则阴影部分的面积为（ ）
A．8﹣3 B．9﹣3 C．3 ﹣3 D．3 ﹣2
五、【课后作业】
27．（2024八下·杭州期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．3 D．4
28．要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（ ）
A． B． C． D．
29．（2024八下·上城期中）已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）著作《度量》一书中，给出海伦公式S（其中p）：我国南宋时期数学家秦九韶（约1202一约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S．海伦公式与秦九韶公式只是形式不同，实质上是同一个公式若一个三角形的三边长分别为，2，，在以上两种形式的公式中，选择恰当的公式进行代入计算，可得这个三角形的面积为 ．
30．（2025八下·杭州月考）如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和3．求图中阴影部分的面积．
31． 如图 1， 某桥的引桥两端各由 2 个斜面和一个水平面构成． 如图 2， 引桥一侧的桥墩顶端点 距地面 ， 从点 处测得点 的俯角为 ， 斜面 的长为 ， 水平面 的长为 ， 斜面 的坡比为 ， 求处于同一水平面上引桥底部 的长． (结果精确到 )
32．要焊接一个如图所示的钢架，图中于点，且．问：做这个钢架需要钢材多少米（不计焊接损耗）
33．如图， 扶梯 的坡比为 ， 滑梯 的坡比为 平行于地面， 于点 于点 . 若 ， 一男孩从扶梯走到滑梯的顶部， 然后从滑梯滑下， 他所经过的总路程是多少(结果保留根号)
34．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.3二次根式的运算(2)）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，BC= ，求Rt△ABC的面积和斜边AB的长．
35．如图@是一张等腰直角三角形彩色纸， 现要裁出几条宽度都为5 cm的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形照片 EFGH镶边（纸条不重叠），如图 .图①和图②是两种不同裁法的示意图.
（1）求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
（2）分别计算两种裁法得到的长方形纸条的总长度；
（3）这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH 的最大面积为 cm2.
36．我们新定义一种三角形： 两边的平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫可爱三角形．
（1）根据可爱三角形的定义，请判断 “等边三角形一定是可爱三角形” 是否正确． (填“正确”或“不正确”)．
（2）若三角形的三边长分别是 ， 该三角形是不是可爱三角形？ 说明理由．
（3） ①若等腰三角形是可爱三角形， 并且有一边长为 ， 求这个三角形的周长．
②若 Rt 是可爱三角形， 且一条直角边长为 ， 则斜边长为 ▲
37．如图是一张等腰直角三角形彩纸，AC=BC= 20cm．要裁出几条宽度相等的长方形纸条，宽度都为5cm，用这些纸条为一 幅正方形照片EFGH镶边(纸条不重叠)．图①和图②是两种不同裁法的示意图．
（1）求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
（2）分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度； ．
（3）这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？
答案解析部分
1．【答案】解：如图，过点B作BF⊥AD于点F，则BF=CE=4 m，EF=BC=4.5 m.
在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF===3(m).
在Rt△CED中，根据i=，
可知ED===4(m)，
则 AD=AF+EF+ED=3+4.5+4=(7.5+4)m.
答：坝底宽AD为(7.5+4)m.
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】根据勾股定理得AF的长，根据坡比i的值计算得ED的长，从而计算坝底宽AD的长.
2．【答案】（1）解：∵长方形的长为，宽为，∴长方形的周长为：
．
答：长方形的周长是．
（2）解：由题意，知
∵，
∴经费不够用．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【分析】(1)先把长方形的长和宽化为最简二次根式，再代入长方形周长公式2×（长+宽），合并同类二次根式后得到结果；
(2)先计算长方形绿地的面积与花坛的面积，求出通道的面积；再用通道面积乘以地砖单价得到总造价，最后与预算660元比较，判断经费是否足够。
3．【答案】（1）；
（2）解：矩形的长为，宽为，
∴剩余木料的面积；
（3）2
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：（3），，
（3）剩余木条的长为，宽为，
∵，，
∴能截出个木条．
【分析】(1)正方形的边长等于其面积的算术平方根，所以直接对面积开方并化简二次根式即可得到两块正方形的边长；
(2)先确定原矩形木板的长和宽：长是两个正方形边长之和，宽是较大正方形的边长；再用矩形面积减去两个正方形的面积，即可得到剩余木料的面积；
(3)先确定剩余木料的长和宽，再分别计算长和宽方向能截出的木条数量，最后将两个方向的数量相乘，得到最多能截出的木条总数。
4．【答案】（1）；；2
（2）解：根据题意得：长方形的边长为；
阴影部分的面积
（3）解：根据题意的：剩余A木料的长为，宽为，
且，
能截出这样的木块共2块.
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】（1）根据正方形的面积公式，则可知三块正方形的边长为，，，
故答案为：；；；
【分析】(1)正方形的边长等于其面积的算术平方根，对三个面积分别开方并化简二次根式，即可得到三块正方形木板的边长；
(2)先确定原长方形木板的长和宽：长是面积为3dm2和8dm2的正方形边长之和，宽是面积为8dm2和12dm2的正方形边长之和；再代入长方形面积公式长×宽展开计算；
(3)先确定剩余木料A的长和宽，再分别计算长方向能截出1.5dm长的木条数量，宽方向能载出1dm
宽的木条数量，最后将两个方向的数量相乘，得到最多能截出的木块总数。
5．【答案】（1）解：长方形的周长
答：长方形的周长是.
（2）解：蔬菜地的面积
.
（元）.
答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元.
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【分析】(1)先把长方形的长和宽化为最简二次根式，再代入长方形周长公式2×(长+宽)，合并同类二次根式后得到结果；
(2)先计算长方形空地的面积与养鸡场的面积，求出种植蔬菜的面积；再用蔬菜面积乘以每平方米产量和单价，即可得到销售收入。
6．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，
∴∠B=∠C=45°，
∵四边形CDHG是矩形，且CD= ，
∴HG=CD= ，∠BGH=90°，
∴∠B=∠BHG=45°，
∴GB=GH=，
∴CG=DH=BC-BG=cm，
∵四边形CDHG是矩形，
∴DH∥BC，
∴∠B=∠DHN=45°，
∵四边形DENM是矩形，且DE=，
∴MN=ED= ，∠NMH=90°，
∴∠MNH=∠MHN=45°，
∴MN=MH=，
∴DM=EN=DN-MH=cm；
同理FQ=PE=，
∵AF=AC-CD-DE-EF=，
∴这样的长方形纸条只能裁出三条，
这三条的总长度为：CG+DM+EN=cm，
∴美术作品的边长为：cm，
∴这个美术作品的面积为：cm2.
故答案为：.
【分析】先计算等腰直角三角形ABC的面积，根据每条纸条的长度为，且是等腰直角三角形，每裁剪一条，直角边就减少，一共可剪出4条，则可知每条纸条的长度，进而可以计算出总面积，最后用三角形面积减去纸条总面积，得到正方形美术作品的面积.
7．【答案】2
【知识点】二次根式的混合运算；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得：另一直角边为，
∴ 此直角三角形的面积为.
故答案为：2.
【分析】由勾股定理得另一直角边为，根据三角形面积公式，计算求解即可.
8．【答案】D
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：斜坡 AB 的坡比指的是，即 BC：AC .
故答案为：D.
【分析】根据坡比的定义作答.
9．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得 长方形的周长=2(+)=2(+2)=2×3=6，
长方形的面积=×=×2=4.
故答案为：D.
【分析】根据长方形的周长公式：2（长+宽）与面积公式：长×宽，分别计算其周长和面积即可.
10．【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵两个空白小正方形的面积是、
∴两个空白小正方形的边长是、
∴大正方形的边长是
∴大正方形的面积是
∴阴影部分的面积是．
故答案为：A
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方可得正方形边长就是面积的算术平方根，可得两个空白小正方形的边长，然后结合图形可表示出大正方形的边长，最后结合正方形面积公式由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个空白小正方形面积，列式计算即可.
11．【答案】D
【知识点】正方形的性质；平移的性质；图形的平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示：
则阴影面积=
=
=
故答案为：D
【分析】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的图形的长和宽，计算可得答案.
12．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；三角形的面积；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
∵，
∴
∴.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用正方形面积减三个小三角形面积求出三角形ABC面积，再由三角形的面积法求高即可.
13．【答案】B
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ AC=AC'=6 m，BC=3 m，B'C'= m，
∴AB= (m)，
AB'= (m)，
∴BB'=AB-AB'=3 - =2 (m)．
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB'的长，再根据线段的和差关系求BB'长即可.
14．【答案】1800m
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理
【解析】【解答】解：
如图，连结AC
根据题意，得∠DAB=52°，∠EBC=38°.
∵EF∥AD，
∴∠FBA=∠DAB=52°，
∴∠ABC=180°-(∠EBC+∠FBA)=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=====×=600×3=1800(m).
故A，C两地之间的距离为1800 m.
故答案为：1800m.
【分析】根据题意得Rt△ABC，再根据勾股定理计算出AC的长.
15．【答案】
【知识点】二次根式的实际应用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解： 正方形① 的边长= =4，正方形③ 的边长= ，
∴阴影部分长方形的长=正方形② 的边长=4- ，
阴影部分长方形的宽=4- - =4-2 ，
∴阴影部分的面积=(4-2 ) = .
故答案为： .
【分析】根据正方形的面积公式先计算得正方形①和③的边长，然后求出阴影部分的长和宽，再根据长方形的面积公式列式计算，即可得到结果.
16．【答案】解：∵面积为192 cm2的正方形纸片的边长为8 cm，
∴原长方形纸片的长为8-2=6(cm)，宽为8-7=(cm)，
∴原长方形纸片的面积为6×=18(cm2).
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的实际应用；二次根式的乘法
【解析】【分析】根据正方形面积得其边长，再根据题意确定长方形的长与宽，从而计算其面积.
17．【答案】（1）解：长方形ABCD的周长＝2（）＝2（98）＝34（m）
（2）解：购买地砖需要花费＝
＝50×（144﹣12）＝50×132＝6600（元）
【知识点】二次根式的实际应用；多边形的面积
【解析】【分析】(1)利用长方形的周长公式表示出长方形ABCD的周长，再通过二次根式的性质进行化简.
(2)利用割补法计算出通道的面积，再计算出地砖面积.
18．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵如图②，，，
∴，
∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，
∴能裁剪的纸条的条数为（条），，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
同理可得：另两条纸条的长分别为，，
∴长方形纸条的总长度为，
如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），
∴，，
∴，
∴正方形美术作品的面积为，
故选：C．
【分析】 先算出等腰直角三角形的总面积，再算出所有裁剪纸条的总面积，两者相减即可得到正方形美术作品的面积。
19．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
.
故答案为：B.
【分析】 利用完全平方公式的变形求得，再通过x的取值范围计算出的值.
20．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：设小长方形的长、宽分别为a、b，
根据题意得：a+2b=，
∴ 图2中两块阴影部分的周长和为 2+2(4-2b)+2(4-a)
= 2+8-4b+8-2a= 2+16-2(a+2b)
=2+16+2×=16.
故答案为：B.
【分析】设小长方形的长、宽分别为a、b，则a+2b=，图2中两块阴影部分的周长和为 2+2(4-2b)+2(4-a)，然后整理代入计算即可.
21．【答案】12
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：
如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.
设AD=x(x>0)米.
∵AC的坡比为1∶，
∴CD=x米.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC===2x(米)，
∴2x=240，
解得x=120，
∴AD=120米.
在Rt△ABD中，∵∠B=45°，
∴BD=AD=120米，
∴AB==120(米).
由题意可知小亮到达山顶所用的时间为240÷24=10(分)，
∴若小强和小亮同时到达山顶A，则小强的攀登速度为120÷10=12(米/分).
故答案为：12.
【分析】根据直角三角形根据勾股定理得AC、AB的长，再根据“路程=速度×时间”计算小强的速度.
22．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：若多项式，，，（是实数）是一组黄金多项式，有三种情况，
①
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时：舍去，
②
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时，符合题意；
③
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时；
综上所述，的值为．
故答案为：
【分析】
按照新定义的概念分三种情况进行讨论，即：①；②；③，再进一步计算并检验即可.
23．【答案】
【知识点】二次根式的实际应用；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过D作DF⊥AB于F，交BC于G，如图：
∵DE=DB，DF⊥AB，
∴，
设AE=x，则，
∴；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，BC=AB，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF=∠AFD-∠A=30°，
∴AD=2AF；
则
解得：；
∴；
故答案为：.
【分析】过D作DF⊥AB于F，交BC于G；根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形底边上的中线、顶角的角平分线，底边上的高重合可得；设AE=x，求出，；根据等边三角形的三个角都是60°，三条边都相等；直角三角形两锐角互余可得∠ADF=30°；根据直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半可得AD=2AF；即可列出方程式，求出x的值，即可求解.
24．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵根据题意可知阴影部分的长方形纸条的宽都为，且长方形的四个角都是直角，
∴△ANL、是等腰直角三角形，
∴AN=NL，，
∵DF∥BC，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理可知：右边5个三角形都是腰为的等腰直角三角形，
而是边长为的等腰直角三角形，
∴S阴影部分总面积=S△ABC-5S等腰直角三角形-S△ANL=
，
故答案为：．
【分析】 先算出等腰直角三角形的总面积，再确定能裁剪出的纸条数量和每条纸条的长度，求出所有纸条的总面积，即可得到阴影部分的总面积。
25．【答案】（1）解：∵，
∴.
（2）解：，，
，
，
∴
．
（3）解：∵，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）运用完全平方公式的变形求解；
（2）分别求出再求出的值，然后配成完全平方，接着代入求值；
（3）将变形为完全平方：，再整体代入求解．
（1）解：∵，
∴；
（2）解：，，
，
，
则
．
（3）解：∵，，
∴．
26．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，
∴两个正方形的边长分别为3和；
∴阴影部分的面积为：.
故答案为：C.
【分析】利用正方形的面积可求出两个正方形的边长，利用平移法将两个阴影部分放在一起，可得到一个矩形，边长分别为和；然后利用矩形的面积公式矩形计算即可.
27．【答案】C
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，大正方形的边长，
小正方形的边长，
∴阴影部分的面积，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的面积求出大、小正方形的边长，然后计算阴影部分面积即可．
28．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法；勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知，所需要钢材长度=AB+BC+AC+BD=AB+BC+(AD+DC)+BD，
∵ AD=4m，DC=1m，BD=2m，
∴ 钢材长度=AB+BC+(4+1)+2=AB+BC+7，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AB=，
在Rt△BDC中，由勾股定理可得：BC=，
∴ 所需钢材长度=，
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理算出直角三角形 ABD 和 BCD 的斜边 AB 与 BC 的长度，再把所有边长相加，即可得到焊接钢架所需的总钢材长度。
29．【答案】
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：一个三角形的三边长分别为，2，，
设，
S
．
这个三角形的面积为．
故答案为．
【分析】直接代入秦九韶公式求出面积即可．
30．【答案】解：∵如图所示：
由题意得：四边形ABGE，四边形CGFH，四边形EFMN都是正方形，且四边形ABGE的面积为24，四边形EFMN的面积为3，
∴，，FG=FH.
∴.
∴.
∴
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】先标出字母，由题意表示出①和③两个正方形的边长，利用大正方形边长－小正方形边长，即可得到阴影部分的正方形②的边长，进而可得阴影部分的长和宽，最后利用长方形的面积公式计算即可.
31．【答案】解：如图，作DF⊥AE于点F，DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H，则DF=GA，DC=GH=2，AF=DG=CH.
由题意，得
∴斜面BC的坡度为
答：处于同一水平面上引桥底部AB的长约为17.5m.
【知识点】二次根式的实际应用；含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】先通过俯角30°和斜面ED的长度，用三角函数算出D点到E点正下方的垂直和水平距离，从而得
到D点的高度和水平位置；再利用斜面BC的坡比为1：4，求出BC的水平长度；最后把各段水平距离相加，得到引桥底部AB的长度。
32．【答案】解：∵BD⊥AC于点D，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，BD=2，CD=1，
∴BC=，
∵BD：AD=1：2，
∴AD=2BD=2×2=4，
在Rt△ABD中，BD=2，AD=4，
AB=，
∴ 做这个钢架需要钢材：AB+BC+CD+AD+BD=++1+4+2=(7+)m.
答：做这个钢架需要钢材(7+)m.
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的实际应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】先根据BD：AD=1：2求出AD的长度，再用勾股定理算出斜边AB和BC的长度，最后把钢架的所有边长相加得到总钢材长度。
33．【答案】解：∵扶梯AB的坡比（BE与AE长度之比）为4：3，AE=30dm，
∴BE=40dm，
∴，，
∵CD的坡比（CF与DF长度之比）为1：2，
∴FD=2CF=2×40=80（dm），
∴，
∴他所经过的总路程是：.
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】首先在直角三角形ABE中求得AB和BE，然后就可以知道CF的长，在直角三角形CFD中求得CD的长，则他所经过的总路程就是AB+BC+CD.
34．【答案】解：∵AC= ，BC= ，
∴S△ABC= AC·BC= ×( )( )=
∵AB2=AC2 + BC2=( )2+( )2=10，
∴AB=
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】利用三角形面积公式，得出S△ABC= AC·BC，得出结果。再利用勾股定理，可以得出AB2=AC2 + BC2=( )2+( )2=10，再得出结果。
35．【答案】（1）解：如图①，过点C作CM⊥AB于点M.
∵AC=BC=20 cm，∠ACB=90°，
∴AB===40(cm)，
∴CM=AB=20 cm.
=2，且2<2<3，
∴按题图①中的裁法最多能得到2条长方形纸条；
20÷5=4，
∴按题图②中的裁法最多能得到3条长方形纸条.
（2）解：如图②，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=EF=5 cm，
∴EQ=40-5-5=(40-10)cm，
同理可得：DP=40-10-10=(40-20)cm，
∴按题图①中的裁法得到的长方形纸条的总长度=EQ+DP=40-10+40-20=(80-30)cm；
如图③，
同理可知△LNB是等腰直角三角形，且BL=LN=5 cm，
∴NR=20-5=15(cm)，KT=15-5=10(cm)，…，
∴按题图②中的裁法得到的长方形纸条的总长度=15+10+5=30(cm).
（3）12.5
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：如图④，
按题图①中的裁法，可知SG==(20-)cm，
则FG=SG-SF=20--5=(20-)cm；
按题图②中的裁法，可知SG==(cm)，
则FG=SG-SF=-5=(cm).
∵20-<，
∴这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为()2=12.5(cm2).
故答案为12.5.
【分析】⑴计算等腰直角三角形AB边上的高，再根据小长方形的宽计算其数量即可.
⑵根据两种裁剪方法，分别计算所得每个长方形的长度，从而确定其总长度即可.
⑶分别计算两种裁剪方法所得正方形的边长并作比较，再计算正方形的最大面积即可.
36．【答案】（1）正确
（2）解：该三角形是可爱三角形，理由如下：
∴该三角形是可爱三角形；
（3）解：①∵ 等腰三角形是可爱三角形， 并且有一边长为 ，
当为腰时，设该等腰三角形的底边长为c，
根据题意得
或
解得，
∴这个三角形的周长为；
当为底边时，设该等腰三角形的腰长为d，
根据题意，得
或，
解得
∴这个三角形的周长为，
综上该三角形的周长为；
②或
【知识点】二次根式的混合运算；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）设等边三角形的边长为a，
∵a2+a2=2a2，
∴等边三角形一定是可爱三角形；
故答案为：正确；
（3）②设该直角三角形另一条直角边为m，斜边为n，由勾股定理得；
∴
根据可爱三角形定义得或；
∴或
解得或，
∴该三角形斜边得长为或.
故答案为：或.
【分析】（1）设等边三角形的边长为a，然后根据“可爱三角形”定义判断即可；
（2）根据二次根式的性质分别算出三角形三边长的平方，然后根据“可爱三角形”定义判断即可；
（3）①分类讨论：当为腰时，设该等腰三角形的底边长为c，当为底边时，设该等腰三角形的腰长为d，分别根据可爱三角形的定义列出方程，求解得出c、d的值，再根据三角形周长计算公式计算可得答案；
②设该直角三角形另一条直角边为m，斜边为n，由勾股定理得，进而根据可爱三角形定义得或，再根据等量代换可得关于字母n的方程，求解即可.
37．【答案】（1）解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC=BC= 20 cm，∠ACR= 90°，
∴AB=AC=x20 = 40( cm)，
∴CD=AB=20 cm
∵，且2<<3，
∴如题图①救法最多能得到2条长方形纸条
∵=4
∴如题图②裁法最多能得到3条长方形纸条，
（2）解：
如图①，∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠A=45° ，
∴△AEF是等腰直角三角彩，EF=AF=5 cm， ．
． EQ= 40-5-5= (40-10 )cm，
同理得DP= 40-10-10 =(40-20 )cm，
∴图①裁法得到长方形纸条的总长度= EQ+DP= 40- 10+40-20=(80-30)cm．
如图②，同理可知OPEB是等顾直角三角形，且BE=5 cm，
∴PD= 20-5= 15 (cm) ，QG= 15-5= 10 (cm)，……
∴图②裁法得到长力形纸条的总长度= 15+10+5=30 (cm)．
（3）解：如图③。
如图①执法：PC=cm，
FG=PG-PF=cm．
如图②裁法：PG= (cm)，
FG=PC-PF (cm)，
∵
∴这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFCH的最大面积==12.5(cm2)．
【知识点】二次根式的混合运算；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，根据等腰直角三角形的性质得CD=20 cm，，可得图①救法最多能得到2条长方形纸条，=4，可得最多能得到3条长方形纸条；
（2）根据等腰直角三角形的性质分别计算图①，图②中长方形纸条的总长度，即可得解；
（3）如图①裁法：cm．如图②裁法：，根据正方形面积公式，计算求解即可.
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