2.1 一元二次方程和它的解—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共24分
1．（2025八下·杭州期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）．
A．3x+5y=0 B．5x+2=0 C． D．
2．（2023八下·桐城期末）在一元二次方程中，常数项为（ ）
A．2 B． C．5 D．-5
3．把一元二次方程(2一x)(x+3)=1化成一般形式，正确的是 ( )
A． B． C． D．
4． 若a-b+c=0，则关于x的一元二次方程 必有一根是 （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．无法确定
5．若关于x的方程 是一元二次方程，则m 的值是 （ ）
A．3 B．2 C．-2 D．±2
6．下列说法中，正确的是 （ ）
A．形如 的方程叫做一元二次方程
B．方程 不含常数项
C．一元二次方程中，一次项系数、常数项不能为0
D．是一元二次方程
7．下表是某同学求代数式 的值的情况，根据表格可知方程 的根是 （ ）
x …… -2 -1 0 1 2 3 ……
…… 6 2 0 0 2 6 ……
A．x=-1 B．x=-1或x=2 C．x=0或x=1 D．x=0
8．（2025八下·崇左期末）如图，在长、宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如图中阴影部分），要使空白部分面积是，若设路宽为，则x应满足的方程是
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
9． 若 是关于 x的一元二次方程，则a 的取值范围是 .
10．（2022八下·台江期末）若关于的方程的一个根是–1，则的值是 .
11．（2025八下·诸暨期末）已知关于x的一元二次方程x2-3x+2=0中一次项的系数是 .
12．（2025八下·浙江期中）若是方程的一个根，则代数式的值为 ．
13．（2023八下·肇源期中）关于的方程是关于一元二次方程，则m ．
14．（2025八下·临平月考）已知k是关于x的一元二次方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0（其中m为实数）的一个非零实数根，若记m（k+）-2k+2为y，则y与m的关系是 .
三、解答题（共4题，共38分）
15．当m分别取何值时，关于x 的方程 满足下列条件
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程.
16．
（1）请写出一个关于x的一元二次方程，它的常数项为0，且它的一个根为2；
（2）请写出一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为1，且它的一个根为-1，另一个根为2.
17．判断未知数的值：x= 是不是方程 的根.
18．如图，在一块长为，宽为的长方形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路．两条道路各与长方形的一条边平行，剩余部分种上草坪．已知草坪的面积为，设道路宽为，写出关于的方程．该方程是一元二次方程吗 如果是，把它化成一元二次方程的一般形式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.是二元一次方程，不是一元一次方程；
B.是一元一次方程，不是一元二次方程；
C.是一元二次方程；
D.是分式方程，不是一元二次方程；
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义“ 一元二次方程的定义是只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程 ”逐项判断解题即可.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】 由一元二次方程 可知， 常数项为 -2.故B符题意.
故答案为：B.
【分析】本题属一元二次方程，考查一元二次方程的概念，为基本知识点.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：(2-x)(x+3)=1，
2x+6-x2-3x=1，
-x2-x+5=0
x2+x-5=0
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是常数目a≠0)的一般形式，a、b、c分别是二次项系数：一次项系数、常数项，可得答案.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：对于 一元二次方程 ，当x=1时， a-b+c=0 ，
∴x=1是 一元二次方程 的一个根，
故答案为：B.
【分析】根据 一元二次方程 及 a-b+c=0， 判断x=1是方程的一根.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的方程(m-2)+x+1=0是一元二次方程，
∴m-2≠0且m2-2=2，
解得 m=-2.
故选C.
【分析】根据一元二次方程的定义知m-2≠0且m2-2=2，求解得m的值即可.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A选项 只有当a≠0时，该方程才是 一元二次方程，故A不正确；
B选项 可变形为 ，该方程的常数项为-6，故B不正确；
C选项对于一元二次方程2x2=0， 一次项系数、常数项均为0，故C不正确；
D选项 可整理成：x2-4x+4=0， 是一元二次方程 ，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义作答即可.
7．【答案】B
【知识点】判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由表格知，当x=-1或x=2时，x2-x=2成立，即方程x2-x=2的根是x=-1或x=2.
故选B.
【分析】根据 的值的情况分析作答即可.
8．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设路宽为，根据题意可得：
，
故选A．
【分析】设路宽为，根据题意建立方程即可求出答案.
9．【答案】a≠1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵是关于 x的一元二次方程，
∴a-1≠0，
∴a≠1，
故答案为：a≠1.
【分析】根据一元二次方程的定义作答.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把代入方程可得：，
解得：；
故答案为：.
【分析】由题意把x=-1代入关于x的方程可得关于a的方程，解之可求解.
11．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：方程 x2-3x+2=0 ，其中一次项是-3x，所以一次项的系数是-3.
故答案为：-3.
【分析】在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）中，bx是一次项，b是一次项的系数；即可直观得出答案.
12．【答案】2033
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解；∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由一元二次方程的解的概念得，再化原式为，最后再整体代入计算即可．
13．【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得，且，
解得m=2，
故答案为：2．
【分析】的
本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题关键．
一元二次方程的定义：只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，
根据一元二次方程的定义可得：，且，解得：m=2，由此可得出答案．
14．【答案】y=m+1
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵k是关于x的一元二次方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0（其中m为实数）的一个非零实数根，
∴（m-2）k2-（m-1）k+m=0，
两边都除以k，得（m-2）k-（m-1）+=0，
∴mk-2k+=m-1，
∴mk+-2k+2=m+1，
∵记m（k+）-2k+2为y，
∴y=m+1.
故答案为：y=m+1.
【分析】根据方程解的意义，将解代入方程中，再两边都除以k，可化为mk-2k+=m-1，两边同加上2，左边就是y，右边为m+1，由此得结果.
15．【答案】（1）解：原方程可化为(m2-1)x2+(m-1)x-4=0.
当m2-1≠0，即m≠±1时，原方程是一元二次方程.
（2）解：当m2-1=0，且m-1≠0，即m=-1时，原方程是一元一次方程.
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】⑴根据一元二次方程定义得m2-1≠0，从而得出m的取值范围；
⑵根据一元一次方程定义得m2-1=0，且m-1≠0，从而得出m的取值范围.
16．【答案】（1）解：x2-2x=0 (答案不唯一).
（2）解：x2-x-2=0.
【知识点】列一元二次方程
【解析】【分析】⑴按要求写一元二次方程x（x-2）=0化成一般式即可.
⑵按要求写一元二次方程（x+1）（x-2）=0化成一般式即可.
17．【答案】解：当x=-1时，，故x=-1是方程的根；
当x=1时，故x=1不是方程得的根；
当时，故是方程的根；
综上所述，x=-1和x=是方程2x2+x-1=0的根；x=1不是方程2x2+x-1=0的根.
【知识点】判断是否为一元二次方程的根
【解析】【分析】根据方程的根的定义进行验证即可.
18．【答案】解：设道路的宽为x米，草坪的长为（22-x）米，宽为（17-x）米，
由题意得：
该方程是一元二次方程，
化为一般形式为：
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；列一元二次方程
【解析】【分析】设道路的宽为x米，根据平移的思想可得草坪的长为（22-x）米，宽为（17-x）米的长方形，代入长方形面积公式可得一元二次方程，然后化为一般形式即可.
1 / 12.1 一元二次方程和它的解—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共24分
1．（2025八下·杭州期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）．
A．3x+5y=0 B．5x+2=0 C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.是二元一次方程，不是一元一次方程；
B.是一元一次方程，不是一元二次方程；
C.是一元二次方程；
D.是分式方程，不是一元二次方程；
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义“ 一元二次方程的定义是只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程 ”逐项判断解题即可.
2．（2023八下·桐城期末）在一元二次方程中，常数项为（ ）
A．2 B． C．5 D．-5
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】 由一元二次方程 可知， 常数项为 -2.故B符题意.
故答案为：B.
【分析】本题属一元二次方程，考查一元二次方程的概念，为基本知识点.
3．把一元二次方程(2一x)(x+3)=1化成一般形式，正确的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：(2-x)(x+3)=1，
2x+6-x2-3x=1，
-x2-x+5=0
x2+x-5=0
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是常数目a≠0)的一般形式，a、b、c分别是二次项系数：一次项系数、常数项，可得答案.
4． 若a-b+c=0，则关于x的一元二次方程 必有一根是 （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：对于 一元二次方程 ，当x=1时， a-b+c=0 ，
∴x=1是 一元二次方程 的一个根，
故答案为：B.
【分析】根据 一元二次方程 及 a-b+c=0， 判断x=1是方程的一根.
5．若关于x的方程 是一元二次方程，则m 的值是 （ ）
A．3 B．2 C．-2 D．±2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的方程(m-2)+x+1=0是一元二次方程，
∴m-2≠0且m2-2=2，
解得 m=-2.
故选C.
【分析】根据一元二次方程的定义知m-2≠0且m2-2=2，求解得m的值即可.
6．下列说法中，正确的是 （ ）
A．形如 的方程叫做一元二次方程
B．方程 不含常数项
C．一元二次方程中，一次项系数、常数项不能为0
D．是一元二次方程
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A选项 只有当a≠0时，该方程才是 一元二次方程，故A不正确；
B选项 可变形为 ，该方程的常数项为-6，故B不正确；
C选项对于一元二次方程2x2=0， 一次项系数、常数项均为0，故C不正确；
D选项 可整理成：x2-4x+4=0， 是一元二次方程 ，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义作答即可.
7．下表是某同学求代数式 的值的情况，根据表格可知方程 的根是 （ ）
x …… -2 -1 0 1 2 3 ……
…… 6 2 0 0 2 6 ……
A．x=-1 B．x=-1或x=2 C．x=0或x=1 D．x=0
【答案】B
【知识点】判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由表格知，当x=-1或x=2时，x2-x=2成立，即方程x2-x=2的根是x=-1或x=2.
故选B.
【分析】根据 的值的情况分析作答即可.
8．（2025八下·崇左期末）如图，在长、宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如图中阴影部分），要使空白部分面积是，若设路宽为，则x应满足的方程是
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设路宽为，根据题意可得：
，
故选A．
【分析】设路宽为，根据题意建立方程即可求出答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
9． 若 是关于 x的一元二次方程，则a 的取值范围是 .
【答案】a≠1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵是关于 x的一元二次方程，
∴a-1≠0，
∴a≠1，
故答案为：a≠1.
【分析】根据一元二次方程的定义作答.
10．（2022八下·台江期末）若关于的方程的一个根是–1，则的值是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把代入方程可得：，
解得：；
故答案为：.
【分析】由题意把x=-1代入关于x的方程可得关于a的方程，解之可求解.
11．（2025八下·诸暨期末）已知关于x的一元二次方程x2-3x+2=0中一次项的系数是 .
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：方程 x2-3x+2=0 ，其中一次项是-3x，所以一次项的系数是-3.
故答案为：-3.
【分析】在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）中，bx是一次项，b是一次项的系数；即可直观得出答案.
12．（2025八下·浙江期中）若是方程的一个根，则代数式的值为 ．
【答案】2033
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解；∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由一元二次方程的解的概念得，再化原式为，最后再整体代入计算即可．
13．（2023八下·肇源期中）关于的方程是关于一元二次方程，则m ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得，且，
解得m=2，
故答案为：2．
【分析】的
本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题关键．
一元二次方程的定义：只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，
根据一元二次方程的定义可得：，且，解得：m=2，由此可得出答案．
14．（2025八下·临平月考）已知k是关于x的一元二次方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0（其中m为实数）的一个非零实数根，若记m（k+）-2k+2为y，则y与m的关系是 .
【答案】y=m+1
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵k是关于x的一元二次方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0（其中m为实数）的一个非零实数根，
∴（m-2）k2-（m-1）k+m=0，
两边都除以k，得（m-2）k-（m-1）+=0，
∴mk-2k+=m-1，
∴mk+-2k+2=m+1，
∵记m（k+）-2k+2为y，
∴y=m+1.
故答案为：y=m+1.
【分析】根据方程解的意义，将解代入方程中，再两边都除以k，可化为mk-2k+=m-1，两边同加上2，左边就是y，右边为m+1，由此得结果.
三、解答题（共4题，共38分）
15．当m分别取何值时，关于x 的方程 满足下列条件
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程.
【答案】（1）解：原方程可化为(m2-1)x2+(m-1)x-4=0.
当m2-1≠0，即m≠±1时，原方程是一元二次方程.
（2）解：当m2-1=0，且m-1≠0，即m=-1时，原方程是一元一次方程.
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】⑴根据一元二次方程定义得m2-1≠0，从而得出m的取值范围；
⑵根据一元一次方程定义得m2-1=0，且m-1≠0，从而得出m的取值范围.
16．
（1）请写出一个关于x的一元二次方程，它的常数项为0，且它的一个根为2；
（2）请写出一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为1，且它的一个根为-1，另一个根为2.
【答案】（1）解：x2-2x=0 (答案不唯一).
（2）解：x2-x-2=0.
【知识点】列一元二次方程
【解析】【分析】⑴按要求写一元二次方程x（x-2）=0化成一般式即可.
⑵按要求写一元二次方程（x+1）（x-2）=0化成一般式即可.
17．判断未知数的值：x= 是不是方程 的根.
【答案】解：当x=-1时，，故x=-1是方程的根；
当x=1时，故x=1不是方程得的根；
当时，故是方程的根；
综上所述，x=-1和x=是方程2x2+x-1=0的根；x=1不是方程2x2+x-1=0的根.
【知识点】判断是否为一元二次方程的根
【解析】【分析】根据方程的根的定义进行验证即可.
18．如图，在一块长为，宽为的长方形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路．两条道路各与长方形的一条边平行，剩余部分种上草坪．已知草坪的面积为，设道路宽为，写出关于的方程．该方程是一元二次方程吗 如果是，把它化成一元二次方程的一般形式．
【答案】解：设道路的宽为x米，草坪的长为（22-x）米，宽为（17-x）米，
由题意得：
该方程是一元二次方程，
化为一般形式为：
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；列一元二次方程
【解析】【分析】设道路的宽为x米，根据平移的思想可得草坪的长为（22-x）米，宽为（17-x）米的长方形，代入长方形面积公式可得一元二次方程，然后化为一般形式即可.
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