2.2 一元二次方程的解法（3）配方法—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·吴兴期末）把方程的左边配方后可得方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
.
故选：.
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程，核心步骤是“移项、配方（加一次项系数一半的平方)".先移项得；再配方：两边同时加，得，即.
2．（2025八下·江北期末）用配方法解方程x2+4x-10=0时，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x-2）2=12 B．（x+2）2=12 C．（x-2）2=14 D．（x+2）2=14
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2+4x-10=0，
移项得，x2+4x=10，
配方得，x2+4x+4=10+4，
即 （x+2）2=14 .
故答案为：D.
【分析】先移项，再根据完全平方式配方，即可求得.
3．（2025八下·温州期末）王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示．
上述求解过程中，错误的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
等式两边同时除以2，得到；等式两边同时加2，得到，甲步骤正确；
利用完全平方公式变形，得到，；等式两边同时加2，得到，乙步骤错误；
故答案为：B．
【分析】本题根据配方法解一元二次方程的一般步骤，首先对系数进行化简，然后利用完全平方公式变形，即可发现乙步骤是错误的，即可选出答案。
4．（2025八下·杭州期中）若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程（x+3)2=2c，则c的值是（ ）
A．-3 B．0 C．3 D．9
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
解得
故答案为：C.
【分析】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得 可得 解方程即可得c的值.
5．（2025八下·浙江月考）小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（ ）
（1）小聪认为找不到实数x，使得值为0；
（2）小明认为只有当时，的值为4；
（3）小伶发现没有最小值；
（4）小刚发现没有最大值．
A．（1）（2） B．（1）（3）
C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4）
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴，
故不存在实数x，使得值为0，
当时，有最小值为4，不存在最大值，
当时，解得：；
故（1）（2）（4）正确，（3）错误；
故答案为：C．
【分析】先将代数式进行配方，根据完全平方式的非负性即可求得代数式的范围，再逐一判断.
6． 如果 ， 那么 的值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
∴ a=4，4=4m，c=m2，
即a=4，m=1，c=1
故答案为：C.
【分析】将完全平方式展开后，二次项，一次项和常数项的系数相同，即可求得.
7．（2025八下·温州期中） 一元二次方程 可以通过配方法转化为 的形式，则配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程为：
故答案为：A.
【分析】根据配方法的步骤包括将常数项移到右边、补全平方以及化简为完全平方形式，据此计算即可.
8．（2019八下·瑞安期末）欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，以 和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝ ，则图中哪条线段的长是方程x2+ax＝b2的解？答：是（ ）
A．AC B．AD C．AB D．BC
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；配方法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解： x2+ax＝b2 ，
即x2+ax-b2=0 ，
∴
∵∠ACB=90°，
∴AB=，
则
故答案为：B.
【分析】解一元二次方程，由求根公式求得，已知AC、BC，由勾股定理求得AB，则AD等于AB和BD之差，比较AD的长度和x的解即可知结论。
二、填空题（每空3分，共24分）
9．（2011八下·新昌竞赛）一元二次方程 可以配方成 .
【答案】5
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解 ：∵
∴ ，
即 ，
∴
【分析】根据配方法解一元二次方程的方法，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并成一个非负常数即可。
10．（【全品作业本】浙教版数学八下2.2第2 课时 开平方法和用配方法解二次项系数为1的一元二次方程）若将方程 用配方法化为(x- ，则m= ，n= .
【答案】-6；1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵(x-3)2=n
∴x2-6x+9-n=0，
∴m=-6，9-n=8
∴n=1.
故答案为：-6，1.
【分析】把(x-3)2=n化成一般式，然后根据题意即可得到m和n的值.
11．（2025八下·新昌期中）把一元二次方程化为（a，b为常数）后，则 .
【答案】5
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项：
两边同时加9，得：
即：
所以，
故答案为：5.
【分析】将一元二次方程的一般式配方后，对比确定a、b的值，在代入求值即可解答.
12．（1） 若方程 可以配方成 ， 则 ．
（2） 已知三角形的两边长是 4 和 6 ， 第三边的长是方程 的根， 则此三角形的周长为 ．
【答案】（1）-3
（2）15
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴x2-2nx+n2-5=0，
∵方程 可以配方成 ，
∴，解得：，
∴m+n=（-4）+1=-3，
故答案为：-3.
（2）∵ 方程 ，
∴x1=1，x2=5，
∵ 三角形的两边长是 4 和 6 ， 第三边的长是方程 的根，
∴第三边的长为5，
∴三角形的周长为4+5+6=15，
故答案为：15.
【分析】（1）利用完全平方公式展开，再利用待定系数法可得，解得：，最后求出m+n的值即可；
（2）先求出方程的解，再利用三角形三边的关系求出第三边的长，最后利用三角形的周长公式求解即可.
13．（2023八下·柯桥期中）用配方法解一元二次方程x2-mx＝1时，可将原方程配方成（x-3）2＝n，则m+n的值是 ．
【答案】16
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-mx=1，
∴(x-)2=1+.
∵(x-3)2=n，
∴=3，1+=n，
∴m=6，n=10，
∴m+n=16.
故答案为：16.
【分析】对原方程进行配方可得(x-)2=1+，结合题意可得=3，1+=n，求出m、n的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
14．（初中数学浙教版八下精彩练第二章质量评估卷）若关于
的一元二次方程
通过配方法可以化成
的形式，则
的值可以是 .(写出一个符合要求的
值).
【答案】8(只要满足k≤9)
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】方程
变形得
，
配方得
，即
，
∴ ，即只要满足
.
故答案为：8(只要满足k≤9)
【分析】先把方程配方得出
，再根据偶次方的非负性得出
，写出一个小于等于9的数即可.
三、解答题（共4题，共32分）
15．（2025八下·柯桥月考）解下列方程：
（1）
（2）2x2－5x+2=0
【答案】（1）解：配方得：=1+9，
可得；解得：
；
（2）解：分解因式得：（2，得：=0.5，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)根据配方法解答即可；
（2）根据因式分解法解答即可.
16．（2025八下·杭州月考）解方程：
（1）x2+4x﹣12＝0；
（2）．
【答案】（1）解：x2+4x+22-22-12=0
(x+2)2=16
x+2=±4
x1=2，x2=-6
（2）解：3x(2x+1)-2(2x+1)=0
(2x+1)(3x-2)=0
∴2x+1=0或3x-2=0
∴，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）根据配方法，把一元二次方程变形为(x+2)2=16形式，利用直接开平方的法计算一元二次方程的解；
（2）把方程3x(2x+1)=2(2x+1)，此方程有公因式2x+1，右边的式子2(2x+1)移项到等式的左边，用因式分解法解方程.
17．（2025八下·北仑期末） 小北同学解一元二次方程的过程如下图所示：
解方程： 解：……第①步 ……第②步 或……第③步 ，……第④步
（1）小北同学选用了 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第 步开始出现错误．
（2）请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答．
【答案】（1）配方法；②
（2）（2）解：，
，
或，
，，
故答案为：，.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1） 北同学将方程x2-4x-5=0先变形为x2-4x=5，然后试图将左边配成完全平方式，这种做法符合配方法解一元二次方程的特征，所以小北同学选用了配方法；从小北同学的解法，先将常数项移到右边，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方，所以第②步出现错误；
【分析】(1)根据小北同学的解一元二次方程的步骤可知方法，按配方法的步骤即可判断小北同学的错误；
（2）选择合适的方法解一元二次方程.
18．（2024八下·杭州期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式关于 对称；
（2）若关于的多项式关于对称，则 ；
（3）关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解．
【答案】（1）-3
（2）4
（3）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为，
∵关于的多项式关于对称，且最小值为3，
∴，
∴，
∴方程即为方程，
∴，
解得
【知识点】配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）
，
∵，
∴，
∴当，即时，多项式有最小值，
∴多项式关于对称，
故答案为：；
（2）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，
∴关于的多项式关于对称，
又∵关于的多项式关于对称，
∴，
故答案为：4；
【分析】（1） 由新定义知，关于的二次多项式中，当二次项系数为1时，可把常数项拆成两个数字的代数和，使其中一个数字为一次项系数一半的平方，则可以把这个二次多项式转化成一个完全平方式与常数和即的形式，则其对称轴为；
（2）由于，显然其对称轴为；
（3）由于，则其对称轴为，所以，又当时， 多项式有最小值，即，解得，则 方程 变成，配方得，即，所以
（1）解：
，
∵，
∴，
∴当，即时，多项式有最小值，
∴多项式关于对称，
故答案为：；
（2）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，
∴关于的多项式关于对称，
又∵关于的多项式关于对称，
∴，
故答案为：4；
（3）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为，
∵关于的多项式关于对称，且最小值为3，
∴，
∴，
∴方程即为方程，
∴，
解得．
1 / 12.2 一元二次方程的解法（3）配方法—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·吴兴期末）把方程的左边配方后可得方程（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·江北期末）用配方法解方程x2+4x-10=0时，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x-2）2=12 B．（x+2）2=12 C．（x-2）2=14 D．（x+2）2=14
3．（2025八下·温州期末）王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示．
上述求解过程中，错误的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2025八下·杭州期中）若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程（x+3)2=2c，则c的值是（ ）
A．-3 B．0 C．3 D．9
5．（2025八下·浙江月考）小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（ ）
（1）小聪认为找不到实数x，使得值为0；
（2）小明认为只有当时，的值为4；
（3）小伶发现没有最小值；
（4）小刚发现没有最大值．
A．（1）（2） B．（1）（3）
C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4）
6． 如果 ， 那么 的值分别为( )
A． B． C． D．
7．（2025八下·温州期中） 一元二次方程 可以通过配方法转化为 的形式，则配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019八下·瑞安期末）欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，以 和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝ ，则图中哪条线段的长是方程x2+ax＝b2的解？答：是（ ）
A．AC B．AD C．AB D．BC
二、填空题（每空3分，共24分）
9．（2011八下·新昌竞赛）一元二次方程 可以配方成 .
10．（【全品作业本】浙教版数学八下2.2第2 课时 开平方法和用配方法解二次项系数为1的一元二次方程）若将方程 用配方法化为(x- ，则m= ，n= .
11．（2025八下·新昌期中）把一元二次方程化为（a，b为常数）后，则 .
12．（1） 若方程 可以配方成 ， 则 ．
（2） 已知三角形的两边长是 4 和 6 ， 第三边的长是方程 的根， 则此三角形的周长为 ．
13．（2023八下·柯桥期中）用配方法解一元二次方程x2-mx＝1时，可将原方程配方成（x-3）2＝n，则m+n的值是 ．
14．（初中数学浙教版八下精彩练第二章质量评估卷）若关于
的一元二次方程
通过配方法可以化成
的形式，则
的值可以是 .(写出一个符合要求的
值).
三、解答题（共4题，共32分）
15．（2025八下·柯桥月考）解下列方程：
（1）
（2）2x2－5x+2=0
16．（2025八下·杭州月考）解方程：
（1）x2+4x﹣12＝0；
（2）．
17．（2025八下·北仑期末） 小北同学解一元二次方程的过程如下图所示：
解方程： 解：……第①步 ……第②步 或……第③步 ，……第④步
（1）小北同学选用了 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第 步开始出现错误．
（2）请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答．
18．（2024八下·杭州期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式关于 对称；
（2）若关于的多项式关于对称，则 ；
（3）关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
.
故选：.
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程，核心步骤是“移项、配方（加一次项系数一半的平方)".先移项得；再配方：两边同时加，得，即.
2．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2+4x-10=0，
移项得，x2+4x=10，
配方得，x2+4x+4=10+4，
即 （x+2）2=14 .
故答案为：D.
【分析】先移项，再根据完全平方式配方，即可求得.
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
等式两边同时除以2，得到；等式两边同时加2，得到，甲步骤正确；
利用完全平方公式变形，得到，；等式两边同时加2，得到，乙步骤错误；
故答案为：B．
【分析】本题根据配方法解一元二次方程的一般步骤，首先对系数进行化简，然后利用完全平方公式变形，即可发现乙步骤是错误的，即可选出答案。
4．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
解得
故答案为：C.
【分析】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得 可得 解方程即可得c的值.
5．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴，
故不存在实数x，使得值为0，
当时，有最小值为4，不存在最大值，
当时，解得：；
故（1）（2）（4）正确，（3）错误；
故答案为：C．
【分析】先将代数式进行配方，根据完全平方式的非负性即可求得代数式的范围，再逐一判断.
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
∴ a=4，4=4m，c=m2，
即a=4，m=1，c=1
故答案为：C.
【分析】将完全平方式展开后，二次项，一次项和常数项的系数相同，即可求得.
7．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程为：
故答案为：A.
【分析】根据配方法的步骤包括将常数项移到右边、补全平方以及化简为完全平方形式，据此计算即可.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；配方法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解： x2+ax＝b2 ，
即x2+ax-b2=0 ，
∴
∵∠ACB=90°，
∴AB=，
则
故答案为：B.
【分析】解一元二次方程，由求根公式求得，已知AC、BC，由勾股定理求得AB，则AD等于AB和BD之差，比较AD的长度和x的解即可知结论。
9．【答案】5
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解 ：∵
∴ ，
即 ，
∴
【分析】根据配方法解一元二次方程的方法，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并成一个非负常数即可。
10．【答案】-6；1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵(x-3)2=n
∴x2-6x+9-n=0，
∴m=-6，9-n=8
∴n=1.
故答案为：-6，1.
【分析】把(x-3)2=n化成一般式，然后根据题意即可得到m和n的值.
11．【答案】5
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项：
两边同时加9，得：
即：
所以，
故答案为：5.
【分析】将一元二次方程的一般式配方后，对比确定a、b的值，在代入求值即可解答.
12．【答案】（1）-3
（2）15
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴x2-2nx+n2-5=0，
∵方程 可以配方成 ，
∴，解得：，
∴m+n=（-4）+1=-3，
故答案为：-3.
（2）∵ 方程 ，
∴x1=1，x2=5，
∵ 三角形的两边长是 4 和 6 ， 第三边的长是方程 的根，
∴第三边的长为5，
∴三角形的周长为4+5+6=15，
故答案为：15.
【分析】（1）利用完全平方公式展开，再利用待定系数法可得，解得：，最后求出m+n的值即可；
（2）先求出方程的解，再利用三角形三边的关系求出第三边的长，最后利用三角形的周长公式求解即可.
13．【答案】16
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-mx=1，
∴(x-)2=1+.
∵(x-3)2=n，
∴=3，1+=n，
∴m=6，n=10，
∴m+n=16.
故答案为：16.
【分析】对原方程进行配方可得(x-)2=1+，结合题意可得=3，1+=n，求出m、n的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
14．【答案】8(只要满足k≤9)
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】方程
变形得
，
配方得
，即
，
∴ ，即只要满足
.
故答案为：8(只要满足k≤9)
【分析】先把方程配方得出
，再根据偶次方的非负性得出
，写出一个小于等于9的数即可.
15．【答案】（1）解：配方得：=1+9，
可得；解得：
；
（2）解：分解因式得：（2，得：=0.5，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)根据配方法解答即可；
（2）根据因式分解法解答即可.
16．【答案】（1）解：x2+4x+22-22-12=0
(x+2)2=16
x+2=±4
x1=2，x2=-6
（2）解：3x(2x+1)-2(2x+1)=0
(2x+1)(3x-2)=0
∴2x+1=0或3x-2=0
∴，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）根据配方法，把一元二次方程变形为(x+2)2=16形式，利用直接开平方的法计算一元二次方程的解；
（2）把方程3x(2x+1)=2(2x+1)，此方程有公因式2x+1，右边的式子2(2x+1)移项到等式的左边，用因式分解法解方程.
17．【答案】（1）配方法；②
（2）（2）解：，
，
或，
，，
故答案为：，.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1） 北同学将方程x2-4x-5=0先变形为x2-4x=5，然后试图将左边配成完全平方式，这种做法符合配方法解一元二次方程的特征，所以小北同学选用了配方法；从小北同学的解法，先将常数项移到右边，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方，所以第②步出现错误；
【分析】(1)根据小北同学的解一元二次方程的步骤可知方法，按配方法的步骤即可判断小北同学的错误；
（2）选择合适的方法解一元二次方程.
18．【答案】（1）-3
（2）4
（3）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为，
∵关于的多项式关于对称，且最小值为3，
∴，
∴，
∴方程即为方程，
∴，
解得
【知识点】配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）
，
∵，
∴，
∴当，即时，多项式有最小值，
∴多项式关于对称，
故答案为：；
（2）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，
∴关于的多项式关于对称，
又∵关于的多项式关于对称，
∴，
故答案为：4；
【分析】（1） 由新定义知，关于的二次多项式中，当二次项系数为1时，可把常数项拆成两个数字的代数和，使其中一个数字为一次项系数一半的平方，则可以把这个二次多项式转化成一个完全平方式与常数和即的形式，则其对称轴为；
（2）由于，显然其对称轴为；
（3）由于，则其对称轴为，所以，又当时， 多项式有最小值，即，解得，则 方程 变成，配方得，即，所以
（1）解：
，
∵，
∴，
∴当，即时，多项式有最小值，
∴多项式关于对称，
故答案为：；
（2）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，
∴关于的多项式关于对称，
又∵关于的多项式关于对称，
∴，
故答案为：4；
（3）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为，
∵关于的多项式关于对称，且最小值为3，
∴，
∴，
∴方程即为方程，
∴，
解得．
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